采用改進(jìn)魚群算法的張拉整體結(jié)構(gòu)找形方法

林 敏,李團(tuán)結(jié),紀(jì)志飛

(西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西西安 710071)

采用改進(jìn)魚群算法的張拉整體結(jié)構(gòu)找形方法

林 敏,李團(tuán)結(jié),紀(jì)志飛

(西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西西安 710071)

針對傳統(tǒng)力密度法求解大規(guī)模、不規(guī)則張拉整體結(jié)構(gòu)找形效率不高的問題,提出了一種力密度法與改進(jìn)魚群算法相結(jié)合的找形方法.先基于力密度法建立結(jié)構(gòu)的平衡方程組,然后采用改進(jìn)的魚群算法在力密度空間內(nèi)進(jìn)行全局搜索,找出一組合適的力密度值使得平衡矩陣的秩滿足求解條件,從而找到結(jié)構(gòu)的平衡構(gòu)形.該算法加入了全局最優(yōu)人工魚信息,引入了吞食行為和跳躍行為,并采用了自適應(yīng)步長,比傳統(tǒng)魚群算法搜索效率更高,不容易陷入局部極值.以擴(kuò)展八面體張拉整體結(jié)構(gòu)為例,用該方法進(jìn)行了找形,并和傳統(tǒng)魚群算法的找形結(jié)果進(jìn)行了對比分析.仿真結(jié)果表明,該找形方法的找形結(jié)果可靠,并且收斂精度和平均最優(yōu)值較傳統(tǒng)魚群算法均有所提高.

張拉整體結(jié)構(gòu);魚群算法;靜力平衡;找形;群智能

張拉整體結(jié)構(gòu)是近年來在國內(nèi)外迅速發(fā)展起來的一種新型空間結(jié)構(gòu)體系,它具有質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)緊湊、強(qiáng)度大、易建模、幾何非線性、形態(tài)可調(diào)等特點.這些特性使張拉整體結(jié)構(gòu)在建筑學(xué)[1]、可展開天線[2]方面得到了廣泛的應(yīng)用.在過去的30年,國外的學(xué)者Rhode-Barbarigos[3]、Skelton[4]、Zhang[5]、Murakami[6]以及Sultan[7]等對張拉整體結(jié)構(gòu)的幾何形態(tài)學(xué)、找形、穩(wěn)定性、靜力學(xué)、動力學(xué)與振動控制等領(lǐng)域開展了研究,而且已經(jīng)形成了相對完善的理論體系.

張拉整體結(jié)構(gòu)在給定的邊界條件下,所施加的預(yù)應(yīng)力的分布和大小同所形成的結(jié)構(gòu)初始形狀是相互關(guān)聯(lián)的.所以,如何獲得滿足自應(yīng)力平衡的張拉整體結(jié)構(gòu)的幾何形態(tài)(即張拉整體結(jié)構(gòu)的找形分析)是其設(shè)計中的一個很關(guān)鍵的技術(shù)問題.針對這一問題,國內(nèi)外的學(xué)者們提出了很多數(shù)值和解析方法[8-9],其中常用的方法有力密度法、動力松弛法、幾何分析法、坐標(biāo)縮減法.力密度法[10-11]是通過選擇一組合適的構(gòu)件的內(nèi)力與構(gòu)件當(dāng)前長度之比值(即力密度值)作為一個任意張拉整體結(jié)構(gòu)的力平衡方程組中的已知值,而得到關(guān)于節(jié)點坐標(biāo)的線性方程組,從而求得節(jié)點的真實坐標(biāo),這樣便能立即生成所分析結(jié)構(gòu)的幾何外形.該方法使找形問題線性化,從而避免了坐標(biāo)初始值問題及其他方法的收斂性問題.但是,滿足要求的力密度值的選取需要一定的經(jīng)驗,而且當(dāng)結(jié)構(gòu)不規(guī)則或者比較復(fù)雜時,力密度值的確定就會變得比較困難.動力松弛法[12]通過虛擬質(zhì)量和粘滯阻尼將靜力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為動力學(xué)問題,跟蹤結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)動能變化,直到其穩(wěn)定在靜力平衡狀態(tài).該方法對于大體系結(jié)構(gòu)收斂性較差,從而制約了該方法在大規(guī)模結(jié)構(gòu)方面的應(yīng)用.幾何分析法[8]利用幾何的對稱性進(jìn)行分析從而得到找形結(jié)果,因此此方法只適用于對稱結(jié)構(gòu).坐標(biāo)縮減法[13]利用虛功原理得到構(gòu)件廣義坐標(biāo)之間的關(guān)系,能很好地控制結(jié)構(gòu)形狀,但是該方法對于非對稱的結(jié)構(gòu)求解比較復(fù)雜.對于任意規(guī)模的對稱或者不對稱結(jié)構(gòu),需要尋找一種通用的找形方法.

針對這一問題,筆者提出了一種基于力密度與改進(jìn)魚群算法的找形方法.該方法以力密度作為基本變量,建立結(jié)構(gòu)的節(jié)點平衡方程組,以確定改進(jìn)魚群算法的優(yōu)化模型.利用改進(jìn)魚群算法在力密度空間進(jìn)行全局搜索,找出一組合適的力密度值,代入結(jié)構(gòu)平衡方程組便可確定結(jié)構(gòu)的平衡構(gòu)形.為了改進(jìn)傳統(tǒng)魚群算法[14]尋優(yōu)精度不高、后期收斂速度變慢等不足,筆者加入了當(dāng)前全局最優(yōu)人工魚的信息,引入了吞食行為和跳躍行為,并采用了自適應(yīng)步長,使得算法的運行時間明顯降低,后期收斂速度和精度都得到了加強(qiáng)[14-16].該方法有效地避免了大量的矩陣分解運算,同時因為此方法不要求結(jié)構(gòu)的對稱性,所以能很好地處理非對稱結(jié)構(gòu)的找形問題.

1 力密度法原理

圖1所示的為擴(kuò)展八面體張拉整體結(jié)構(gòu),其中粗實線表示桿構(gòu)件,細(xì)實線表示索構(gòu)件.圖2表示為結(jié)構(gòu)中的一個節(jié)點i和與之相連接的節(jié)點和構(gòu)件.

圖1 擴(kuò)展八面體張拉整體結(jié)構(gòu)

圖2 張拉整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點和構(gòu)件

張拉整體結(jié)構(gòu)是一種自平衡體系,忽略了重力影響,在自應(yīng)力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定,即結(jié)構(gòu)所受的外力為零.對于具有m個構(gòu)件、n個節(jié)點的張拉整體結(jié)構(gòu),力平衡方程組為

其中,X、Y、Z分別為節(jié)點在x、y、z方向上的坐標(biāo)列向量,D為n×n階平衡矩陣.平衡矩陣D中各元素如下:

其中,φ表示與節(jié)點i相連接的所有構(gòu)件的構(gòu)件號;力密度qk=Tklk,lk表示構(gòu)件k的當(dāng)前長度,Tk為構(gòu)件k的內(nèi)力.當(dāng)Tk為拉力時,qk取正值;當(dāng)Tk為壓力時,qk取負(fù)值.

顯然,D的每一行及每一列元素的和均為零.那么,不管力密度取值如何,矩陣D都至少有一個特征值為零,且對應(yīng)的特征向量為一個全為1的n×1階的向量.由文獻(xiàn)[8]可知,該特征向量不能作為可行的節(jié)點坐標(biāo)向量,因此對于一個d維的、n個節(jié)點的張拉整體自應(yīng)力結(jié)構(gòu),能夠求出該結(jié)構(gòu)的平衡構(gòu)形,平衡矩陣D的秩必須滿足的條件為

2 基于改進(jìn)魚群算法的張拉整體結(jié)構(gòu)找形

2.1 數(shù)學(xué)模型

由第1節(jié)可知,當(dāng)一組合適的力密度qk(k=1～m)使得平衡矩陣D的秩滿足式(3)時,利用式(2)便可以求出結(jié)構(gòu)的平衡構(gòu)形.因此,張拉整體結(jié)構(gòu)的找形問題便可轉(zhuǎn)化為如何搜索出合適的力密度矩陣qk使得平衡矩陣D的秩滿足找形要求.因為矩陣的秩不小于非零特征值的個數(shù),所以可以通過矩陣D的零特征值的個數(shù)來判定該矩陣的秩是否滿足式(3).因此可建立如下優(yōu)化模型:

約束條件

其中,λj是D的第j個特征值(特征值從小到大排列),t=3(二維結(jié)構(gòu))或者4(三維結(jié)構(gòu)).顯然,α的最小值是零,即矩陣D至少有t個零特征值(t=d+1).β函數(shù)是保證每個力密度值不能接近零或者等于零.qii為經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理之后的力密度,其計算方法為

2.2 改進(jìn)魚群算法

魚群算法[14](AFSA)是一種群智能優(yōu)化算法,通過構(gòu)造人工魚來模仿魚群的覓食、聚群、追尾及隨機(jī)行為.每條人工魚根據(jù)這些行為的尋優(yōu)結(jié)果來選擇當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的行為執(zhí)行,從而實現(xiàn)尋優(yōu).

隨著優(yōu)化問題復(fù)雜程度和規(guī)模的不斷擴(kuò)大,該算法在應(yīng)用中也暴露出不足.例如,后期收斂速度較慢,而且收斂精度不高,容易陷入局部極值.筆者對傳統(tǒng)魚群算法采用了以下改進(jìn)策略:

(1)如果算法在連續(xù)5次迭代后,最優(yōu)人工魚的目標(biāo)函數(shù)值之差都小于跳躍閾值ε,說明此時人工魚陷入了局部極值區(qū)域,那么就以一定的跳躍概率δt選擇人工魚,對其進(jìn)行強(qiáng)制初始化.

人工魚數(shù)量越多,魚群算法的收斂速度越快.目標(biāo)函數(shù)值差的人工魚對算法的性能影響很小,卻增加了算法的復(fù)雜度.算法經(jīng)過nt次迭代后(nt取大于總迭代次數(shù)的一半),每隔一定迭代次數(shù)nb進(jìn)行一次吞食行為.將每條人工魚的目標(biāo)函數(shù)值和吞食閾值η進(jìn)行比較,釋放高于(最小值問題)吞食閾值的所有人工魚的空間,并且更新當(dāng)前人工魚總數(shù)N.

(2)為了提高魚群算法的全局搜索能力,現(xiàn)將公告板上記錄的當(dāng)前全局最優(yōu)人工魚的信息加入人工魚的位置更新公式中,這樣容易避免個體趨同、早熟現(xiàn)象,從而不易陷入局部極值.

人工魚覓食、聚群及追尾行為的位置更新公式如下:

覓食行為

聚群行為

追尾行為

其中,st為移動的步長,r為0～1的隨機(jī)數(shù)和分別為人工魚i第t次和第t+1次的位置信息,t為迭代次數(shù).Xm為當(dāng)前覓食行為探索到的新位置信息,Xc為當(dāng)前聚群行為探索到的伙伴中心位置信息,Xj為當(dāng)前追尾行為探索到的新信息.Xbest為當(dāng)前全局最優(yōu)人工魚的位置信息.

(3)步長的隨機(jī)性使得尋優(yōu)精度難以提高,同時也使收斂速度減慢,所以采用自適應(yīng)步長,即

其中,s為基礎(chǔ)步長,st為自適應(yīng)步長,Yv為搜索的新點的目標(biāo)函數(shù)值,Y為當(dāng)前狀態(tài)的目標(biāo)函數(shù)值.

由此可知,算法中移動步長的大小取決于當(dāng)前狀態(tài)和視野中所感知到的狀態(tài).采用了自適應(yīng)步長后,每個人工魚個體可以根據(jù)魚群的狀態(tài)自動地選擇并適時地調(diào)整自身的步長,從而簡化了參數(shù)設(shè)定,提高了收斂速度和尋優(yōu)精度.

3 仿真實現(xiàn)

用擴(kuò)展八面體張拉整體結(jié)構(gòu)作為算例來檢測上述方法的可靠性和有效性.擴(kuò)展八面體張拉整體結(jié)構(gòu)如圖1所示,有12個節(jié)點,6個桿,24個索.節(jié)點編號和桿單元編號(25～30)、索單元編號(1～24)均在圖1中標(biāo)明.設(shè)24個索的力密度均為q1,6個桿的力密度均為q2.改進(jìn)人工魚群算法的參數(shù)設(shè)置如下:人工魚總數(shù)N=200,最大迭代次數(shù)nmax=100,擁擠度因子δ=8,δt=0.4,視野v=20,s=10,覓食行為的最大嘗試次數(shù)ns=10,ε=0.1,η=20,nt=60,nb=15.將求得的一組力密度值(0.453 0,-0.679 5)代入式(2),可得矩陣D的4個零特征值對應(yīng)的特征向量,選取合適的作為結(jié)構(gòu)的各節(jié)點坐標(biāo),從而確定找形平衡構(gòu)形,如圖3所示.

圖3 擴(kuò)展八面體張拉整體結(jié)構(gòu)的找形平衡形態(tài)

圖4 魚群分布圖

在改進(jìn)魚群算法的迭代過程中,魚群的分布如圖4所示.Tibert等[8]首先利用結(jié)構(gòu)的對稱性得到平衡矩陣D,然后利用高斯消去法得到力密度矩陣的簡化行梯陣式,從而得出桿與索的力密度關(guān)系滿足q2=-1.5q1時,矩陣的秩滿足求解條件.但是該方法不適用于不規(guī)則結(jié)構(gòu).圖4中,魚群分布的直線為q2=-1.5q1,可以看出,隨著迭代次數(shù)的增加,人工魚開始聚集,最后大部分人工魚都聚集在該直線附近.說明該方法用于張拉整體結(jié)構(gòu)找形是有效的.

為了更好地驗證改進(jìn)魚群算法(IAFSA)的優(yōu)越性,用傳統(tǒng)魚群算法(AFSA)及相同的算例和測試平臺進(jìn)行了一組對比實驗.傳統(tǒng)魚群算法中的參數(shù)設(shè)置和改進(jìn)魚群算法相同,兩種算法分別獨立隨機(jī)運行10次,兩種算法的10次平均收斂曲線如圖5所示,找形結(jié)果對比如表1所示.迭代收斂曲線是獨立運行10次程序取目標(biāo)函數(shù)的平均值得到的.從圖5可以看出,改進(jìn)的魚群算法在優(yōu)化前期,目標(biāo)函數(shù)值的下降幅度較大,隨后下降幅度逐漸變緩,最后目標(biāo)函數(shù)值趨向于一個恒定值,這個過程反映了該算法具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和很好的收斂性.由于加入了當(dāng)前全局最優(yōu)人工魚的位置信息,使得算法前期收斂速度比傳統(tǒng)魚群算法快,更容易找到最優(yōu)值.又因為采用了自適應(yīng)步長,改進(jìn)人工魚群算法的前期步長較大,更容易找到最優(yōu)值,不容易陷入局部極值;后期步長較小,可進(jìn)行更細(xì)化的搜索,收斂精度更高.

從表1可以看出,改進(jìn)魚群算法的最優(yōu)值為5.031 1×10-14,比傳統(tǒng)魚群算法的最優(yōu)值(2.886 7×10-5)小得多,且精度高很多.從兩種算法的平均最優(yōu)值和最優(yōu)值的數(shù)量級可以看出,改進(jìn)魚群算法的優(yōu)化結(jié)果每次精度差別不大,而傳統(tǒng)的魚群算法的優(yōu)化結(jié)果精度差別比較大,說明傳統(tǒng)魚群算法的尋優(yōu)結(jié)果不穩(wěn)定.從表1中兩種算法的平均運行時間可以看出,改進(jìn)魚群算法比傳統(tǒng)的魚群算法運行時間短,說明改進(jìn)魚群算法具有更高的尋優(yōu)效率.

圖5 兩種算法的平均收斂曲線

表1 AFSA與IAFSA運行10次的找形結(jié)果對比

4 總 結(jié)

針對傳統(tǒng)力密度法對不規(guī)則、大規(guī)模張拉整體結(jié)構(gòu)的找形問題求解效率不高的問題,筆者提出了一種基于力密度法與改進(jìn)魚群算法的找形方法.在對大規(guī)模結(jié)構(gòu)找形時,該方法能夠避免大量矩陣分解運算.改進(jìn)的魚群算法保持了傳統(tǒng)魚群算法易實現(xiàn)、要求簡單等特點,而且提高了尋優(yōu)效率和尋優(yōu)精度.以擴(kuò)展八面體張拉整體結(jié)構(gòu)作為算例,對改進(jìn)魚群算法和傳統(tǒng)魚群算法的找形結(jié)果進(jìn)行了對比,仿真結(jié)果表明,改進(jìn)的魚群算法無論是在收斂精度還是在平均最優(yōu)值上都有很大改善,而且該方法很好地平衡了全局搜索能力和局部搜索能力,算法的收斂速度和穩(wěn)定性都比傳統(tǒng)的魚群算法有所提高.因為該方法對結(jié)構(gòu)的對稱性沒有要求,而且不需要進(jìn)行大量矩陣分解運算,所以該方法可以應(yīng)用于不規(guī)則的或者大規(guī)模的結(jié)構(gòu).

[1]Korkmaz S,Ali N B H,Smith I F C.Configuration of Control System for Damage Tolerance of a Tensegrity Bridge[J]. Advanced Engineering Informatics,2012,26(1):145-155.

[2]Fazli N,Abedian A.Design of Tensegrity Structures for Supporting Deployable Mesh Antennas[J].Scientia Iranica, 2011,18(5):1078-1087.

[3]Rhode-Barbarigos L,Schulin C,Ali N B H,et al.Mechanism-based Approach for the Deployment of a Tensegrity-ring Module[J].Journal of Structural Engineering,2012,138(4):539-548.

[4]Skelton R E,Nagase K.Tensile Tensegrity Structures[J].International Journal of Space Structures,2012,27(2-3): 131-137.

[5]Zhang J Y,Guest S D,Connelly R,et al.Dihedral‘Star’Tensegrity Structures[J].International Journal of Solids and Structures,2010,47(1):1-9.

[6]Murakami H,Nishimura Y.Static and Dynamic Characterization of Regular Truncated Icosahedral and Dodecahedral Tensegrity Modules[J].International Journal of Solids and Structures,2001,38(50-51):9359-9381.

[7]Sultan C.Stiffness Formulations and Necessary and Sufficient Conditions for Exponential Stability of Prestressable Structures[J].International Journal of Solids and Structures,2013,50(14-15):2180-2195.

[8]Tibert A G,Pellegrino S.Review of Form-finding Methods for Tensegrity Structures[J].International Journal of Space Structures,2003,18(4):209-223.

[9]Juan S H,Mirats Tur J M.Tensegrity Frameworks:Static Analysis Review[J].Mechanism and Machine Theory, 2008,43(7):859-881.

[10]Koohestani K,Guest S D.A New Approach to the Analytical and Numerical Form-finding of Tensegrity Structures[J]. International Journal of Solids and Structures,2013,50(19):2995-3007.

[11]Tran H C,Lee J.Form-finding of Tensegrity Structure Using Double Singular Value Decomposition[J].Engineering with Computers,2013,29(1):71-86.

[12]Ali N B H,Rhode-Barbarigos L,Smith I F C.Analysis of Clustered Tensegrity Structures Using a Modified Dynamic Relaxation Algorithm[J].International Journal of Solids and Structures,2011,48(5):637-647.

[13]Sultan C,Corless M,Skelton R E.Reduced Prestressability Contidions For Tensegrity Structures[C]//Proceedings of the AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structrures,Structural Dynamics,and Materials Conference.Reston:AIAA, 1999:12-15.

[14]李曉磊.一種新型的智能優(yōu)化算法——人工魚群算法[D].杭州:浙江大學(xué),2003.

[15]Jiang M Y,Cheng Y M,Yuan D F.Improved Artifical Fish Swarm Algorithm[C]//Proceedings of the 5th International Conference on Natural Computation.Piscataway:IEEE Press,2009:281-285.

[16]Cheng Y M,Jiang M Y,Yuan D F.Novel Clustering Algorithms Based on Improved Artificial Fish Swarm Algorithm [C]//Proceedings of the 6th International Conference on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery.Piscataway:IEEE, 2009:141-145.

(編輯:郭 華)

Form-finding of tensegrity structures based on IAFSA

LIN Min,LI Tuanjie,JI Zhifei
(School of Mechano-electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

To solve the form-finding problem of large-scale and nonregular tensegrity structures,an improved artificial fish swarm algorithm(IAFSA)is proposed on the basis of the force density formation of a tensegrity structure.First,the equilibrium equations for a tensegrity structure are developed based on the force density method.Then,a set of appropriate values of force density is found by the IAFSA in the force density space to make the rank of the equilibrium matrix satisfy the required conditions.As a consequence, the equilibrium configurations of the tensegrity structure can be derived.Furthermore,by employing the position information of the current global best artificial fish and the behaviors of swallowing and leaping of the artificial fish,the IAFSA has a higher search efficiency.Moreover,the use of leaping behaviors of the artificial fish makes the IAFSA have the ability to find global extremums.With the expandable octahedron as an example,its form-finding problem is conducted by using the IAFSA.Experimental results indicate that the form-finding results of the IAFSA are reliable.Compared with the conventional artificial fish swarm algorithm,the IAFSA has a higher convergence precision and a better average optimum value.

tensegrity structure;artificial fish swarm algorithm;static balance;form-finding;swarm intelligence

TP18

A

1001-2400(2014)05-0112-06

2013-05-16< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間:

時間:2014-01-12

國家自然科學(xué)基金資助項目(51375360)

林 敏(1984-),女,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:structmlin@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1001-2400.2014.05.019.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2014.05.019