分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組的范數(shù)最小化設(shè)計方法

王 瑋,張子敬

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點實驗室,陜西西安 710071)

分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組的范數(shù)最小化設(shè)計方法

王 瑋,張子敬

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點實驗室,陜西西安 710071)

根據(jù)分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組的系統(tǒng)范數(shù)評價指標(biāo),提出通過最小化系統(tǒng)混合范數(shù)設(shè)計有限長脈沖響應(yīng)數(shù)字綜合濾波器的優(yōu)化方法.該混合范數(shù)性能測度是基于誤差信號的能量和峰值.提出的方法先將分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組誤差系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個等價的有限維多輸入多輸出線性時不變數(shù)字系統(tǒng),然后給出數(shù)字系統(tǒng)在混合范數(shù)性能指標(biāo)下基于線性矩陣不等式描述的凸優(yōu)化問題.仿真實驗表明,新方法設(shè)計的分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組重構(gòu)信號誤差小于傳統(tǒng)算法設(shè)計系統(tǒng)的重構(gòu)信號誤差.

分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組;混合范數(shù);線性矩陣不等式

現(xiàn)今越來越多的領(lǐng)域需要高速、高精度模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器(ADC)進行超寬帶模擬信號的采樣,如遠(yuǎn)程通信、有源/無源雷達(dá)信號處理系統(tǒng)等.對于超寬帶模擬信號,很難用單個模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器直接進行采樣.為了達(dá)到高速模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換,基于廣義采樣理論提出的并行通道采樣是一種有效的方法[1-4].

圖1(a)所示為一個高速的模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器采樣模型,用來獲得期望的高分辨數(shù)字信號.輸入信號f(t)先通過抗混疊模擬濾波器φ0(t)(其拉普拉斯變換為(s)),輸出的信號經(jīng)過采樣周期為h的理想采樣器Sh后得到期望的高分辨數(shù)字信號y(n),y(n)=f(nh).在理想情況下,設(shè)計的分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組輸出信號等于期望信號y(n)延遲m0后的樣本,即然而,由于設(shè)計的分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組系統(tǒng)存在模擬電路實現(xiàn)誤差及設(shè)計過程中產(chǎn)生的計算誤差等,上述等式不可能完全成立.令y(n-m0),為系統(tǒng)的重構(gòu)誤差信號.在抗混疊濾波器和延遲已知的條件下,筆者設(shè)計了有限長脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字綜合濾波器使得e(n)在某種誤差準(zhǔn)則下最小.

圖1(b)所示的系統(tǒng)利用一組并行高精度低速率模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器獲得了等效的高采樣率模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器(見圖1(a)),稱為分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組(FHFB)系統(tǒng)[5].輸入信號f(t)為寬帶模擬信號,輸出信號(n)為重構(gòu)的數(shù)字信號.信號f(t)先通過M個并行的抗混疊模擬濾波器φi(t)(其拉普拉斯變換為(s),復(fù)變量s=jω),i={1,…,M};然后其輸出的各路信號分別經(jīng)過各路延遲算子exp(-Dis)后用采樣周期為Mh的理想低速采樣器SMh進行采樣,其中延遲Di用于補償各路信號不同的到達(dá)時間,為大于零的常量;采樣后的信號通過上采樣器(↑M)增加采樣率;最后數(shù)字綜合濾波器綜合各路信號得到最終的數(shù)字重構(gòu)信號(n).

圖1 期望的高速率采樣系統(tǒng)與低速率分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組采樣系統(tǒng)

文獻[6]通過最小化重構(gòu)誤差范數(shù)的上確界設(shè)計FIR濾波器來近似分?jǐn)?shù)延遲算子.然而,文獻[6]僅討論了單速率系統(tǒng),因此可看做筆者討論的結(jié)構(gòu)的特殊情況,即M=1的情況.文獻[5]使用H∞范數(shù)優(yōu)化方法設(shè)計了分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組,然而用此方法設(shè)計的系統(tǒng)在一些采樣時間點上的輸出誤差信號e(n)可能存在不可接受的幅度誤差[7],并且H∞優(yōu)化問題的解不惟一[8].為了解決上述問題,除了利用H∞范數(shù)測度,筆者還加入了H2范數(shù)測度,最終求解一個混合H2H∞優(yōu)化問題,得到有限脈沖響應(yīng)綜合濾波器系數(shù)向量.用筆者提出的算法設(shè)計的分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組系統(tǒng)與文獻[5]中算法設(shè)計的系統(tǒng)相比,系統(tǒng)有更低的重構(gòu)誤差.

以下用到的符號說明:線性時不變(LTI)模擬單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)用(s)表示,與其相對應(yīng)的模擬系統(tǒng)表示為GS;模擬多輸入或多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)用(s)表示,與其相對應(yīng)的系統(tǒng)表示為GM.模擬線性時不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)表示為

類似地,數(shù)字線性時不變系統(tǒng)及其傳遞函數(shù)有相似的表示形式,即

其中,z表示二變換中的復(fù)變量.

1 問題模型

圖2 混合多速率誤差系統(tǒng)ˉK

系統(tǒng)ˉK涉及兩個不同采樣周期的采樣器Sh和SMh.令符號↓M表示下采樣器,有SMh=(↓M)Sh.因此,通過引入下采樣器,多速率系統(tǒng)ˉK中的采樣器可以表示為具有相同采樣周期h的采樣器Sh.此時利用范數(shù)不變離散化方法[9]可將混合系統(tǒng)ˉK的模擬時間部分離散化為有限維數(shù)字系統(tǒng).因為每通道的連續(xù)時間部分傳遞函數(shù)是嚴(yán)格真的,令其離散化后傳遞函數(shù)的空間表示記為

因為式(3)中存在上采樣與下采樣算子,所以系統(tǒng)Kd是時變的.

提升Kd的輸入輸出信號并利用式(3)～(5),類似文獻[5]的推導(dǎo),可得到離散時間線性時不變誤差系統(tǒng)Σd,如圖3所示.圖3中的up(k)為有限維輸入信號且與f(t)有相等的能量[5],ep(k)表示e(k)提升后的信號,(z)表示與產(chǎn)生高分辨信號系統(tǒng)(即圖1(a)系統(tǒng))H∞范數(shù)等價的離散時間線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù).由于提升運算保留了l2范數(shù)[9],所以系統(tǒng)Σd與混合系統(tǒng)ˉK的H∞范數(shù)等價.

總結(jié)上述過程可得,對于混合多速率誤差系統(tǒng)ˉK,存在一個離散時間有限維輸入輸出線性時不變系統(tǒng)Σd,使得兩個系統(tǒng)的H∞范數(shù)等價.系統(tǒng)Σd如圖3所示,且其傳遞函數(shù)為

最小化J∞,得到有限脈沖響應(yīng)綜合濾波器的問題可等價為如下的模型匹配問題:

由式(1)和式(7),可得H∞性能測度

最小化J∞表示最小化系統(tǒng)輸出誤差信號的能量[9].但是當(dāng)系統(tǒng)輸出的誤差信號能量最小時,誤差信號在某些時間點的幅值大小可能仍然不能滿足系統(tǒng)需求[7].如果系統(tǒng)輸出誤差信號在某些時間點上幅值過大,設(shè)計的系統(tǒng)仍然是不可接受的.并且因為式(7)是一個H∞優(yōu)化問題,所以解不惟一[8].為解決上述問題,筆者在式(8)表示系統(tǒng)的性能指標(biāo)基礎(chǔ)上,給系統(tǒng)加上H2范數(shù)性能測度,使得系統(tǒng)輸出的誤差信號幅值限定在一個可接受的范圍內(nèi)且得到的問題的解是惟一的.

圖3 離散時間線性時不變誤差系統(tǒng)Σd

2 有限脈沖響應(yīng)綜合濾波器設(shè)計

其中,δ(t)表示單位沖激信號.由等價系統(tǒng)的推導(dǎo)過程可得,系統(tǒng)Σd和ˉK的H2范數(shù)也等價[11].因此最小化等價于最小化

定義空間l∞表示所有時域幅值有界離散實信號組成的集合,且l∞空間中的信號可以是向量.對于信號up(k)∈l∞,空間l∞上的范數(shù)定義為

定義性能測度

式(11)衡量了系統(tǒng)輸入信號up(k)屬于l2空間時,輸出誤差信號ep(k)的l∞范數(shù)的大小.若圖3中系統(tǒng)Σd的傳遞函數(shù)(z)穩(wěn)定,有[8]

于是引入新的性能指標(biāo)J2后,有限脈沖響應(yīng)數(shù)字綜合濾波器設(shè)計問題可陳述為:“給定嚴(yán)格真的有理傳遞函數(shù),正的分?jǐn)?shù)延遲,期望的系統(tǒng)延遲m0和系統(tǒng)采樣周期h＞0,設(shè)計因果穩(wěn)定的有限脈沖響應(yīng)數(shù)字綜合濾波器使混合系統(tǒng)ˉK的性能指標(biāo)J2最小且J∞滿足J∞＜γ,其中γ＞0”.此問題稱為混合H2H∞范數(shù)優(yōu)化問題.

因為系統(tǒng)Σd與ˉK的H2范數(shù)和H∞范數(shù)均等價,由式(6)～(8)和式(11)～(12)可知,上述混合H2H∞范數(shù)優(yōu)化問題可寫為

其中,符號diagk(a1,…,ak)表示將對角化,ai可以是標(biāo)量、向量或者矩陣.

引理1給定正的常量β和系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣(z),不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣Y和S,使得下面的線性矩陣不等式是可行的:

其中,符號tr(·)表示矩陣的跡,矩陣L＞0(或＜0)表示矩陣L是正定的(或負(fù)定的).[8]

利用引理1及文獻[5]中的性質(zhì)5,混合H2H∞范數(shù)優(yōu)化問題(13)可表述為如下凸的半定規(guī)劃問題:

其中,矩陣P的含義與文獻[5]中的相同.問題(19)中的γ必須是可行的,即γ需滿足條件γopt表示利用文獻[5]中性質(zhì)5求解H∞優(yōu)化問題得到的γ值.問題(19)的解表示在所有具有相同穩(wěn)健性能的H∞優(yōu)化解中找到具有最好總體性能的解.利用混合H2H∞范數(shù)優(yōu)化設(shè)計分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組系統(tǒng)的算法流程總結(jié)如下:

(2)輸出.綜合濾波器系數(shù)向量.

3 仿真實驗

本節(jié)給出了一個兩通道分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組仿真實例(M=2).抗混疊傳遞函數(shù)取其中ωc=0.5,i=0,1,2.在性能仿真中,令采樣周期h=1,系統(tǒng)延遲m0=10,分?jǐn)?shù)延遲D1=1.2, D2=0.6.有限脈沖響應(yīng)綜合濾波器長度取N=n M=22.圖4給出了用混合H2H∞范數(shù)優(yōu)化方法設(shè)計得到的綜合濾波器(z)和(z)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng).為比較筆者提出方法與文獻[5]中方法設(shè)計的分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組系統(tǒng)的重構(gòu)性能,給圖1(b)系統(tǒng)輸入兩個模擬信號f(t),利用設(shè)計的分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組系統(tǒng)求得系統(tǒng)輸出信號(n),并與系統(tǒng)期望輸出y(n-10)進行比較.

圖4 綜合濾波器幅度和相位響應(yīng)

首先給圖1(b)系統(tǒng)輸入一帶限信號f(t)=cos(0.3t)+cos(0.8t).兩種方法設(shè)計的分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組系統(tǒng)對應(yīng)的重構(gòu)誤差如圖5所示.文獻[5]中方法的最大誤差和均方根誤差分別為0.007 9和0.001 9,而筆者提出的基于混合H2H∞范數(shù)優(yōu)化方法的最大誤差和均方根誤差僅為0.003 8和0.001 5.第2個輸入測試信號為連續(xù)時間單位階躍信號.用筆者提出的方法設(shè)計的分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組系統(tǒng)輸出信號(n)及重構(gòu)誤差信號如圖6所示.表1給出了筆者提出的方法與文獻[5]方法設(shè)計的分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組系統(tǒng)在不同輸入信號情況下性能的比較.由表1可知,相比文獻[5]中方法設(shè)計的分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組系統(tǒng),筆者提出的方法設(shè)計的系統(tǒng)重構(gòu)信號的最大誤差和均方根誤差要低得多;當(dāng)輸入信號不是帶限信號時,筆者提出的方法設(shè)計的系統(tǒng)重構(gòu)信號的穩(wěn)態(tài)誤差明顯優(yōu)于文獻[5]中方法的.

圖5 重構(gòu)誤差信號(輸入f(t)=cos(0.3t)+cos(0.8t))

圖6 重構(gòu)信號及誤差信號(階躍信號輸入)

表1 筆者提出的方法與文獻[5]中方法所得分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組性能指標(biāo)比較 V

4 總 結(jié)

筆者提出了一種新的算法設(shè)計分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組.先將分?jǐn)?shù)延遲混合濾波器組系統(tǒng)推廣為一個混合誤差系統(tǒng),此誤差系統(tǒng)在H2和H∞范數(shù)意義上等價于一個多輸入多輸出數(shù)字系統(tǒng).通過數(shù)字系統(tǒng)模型,利用線性矩陣不等式方法可求得有限脈沖響應(yīng)數(shù)字綜合濾波器.仿真結(jié)果表明,筆者提出的方法設(shè)計的系統(tǒng)對重構(gòu)輸入信號達(dá)到了較好的水平,重構(gòu)信號能力優(yōu)于傳統(tǒng)的設(shè)計方法.

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(編輯:郭 華)

Design of hybrid filter banks with fractional delays using mixed norm performance measures

WANG Wei,ZH ANG Zijing
(National Key Lab.of Radar Signal Processing,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

A mixed norm performance measure is presented to design finite impulse response(FIR)digital synthesis filters of hybrid filter banks with fractional delays.The mixed norm performance measure is based on the peak value as well as the energy of the error signal.The FIR filters are designed to minimize the performance measure of a hybrid error system.This hybrid and multirate problem is reduced to a mixed norm optimization problem involving only the linear time-invariant,discrete-time system.The theory of linear matrix inequalities offers a tractable solution to such a synthesis problem.Numerical experiments show that the proposed approach yields a better performance compared to existing techniques.

hybrid filter bank;mixed norm;linear matrix inequality

TN911.5

A

1001-2400(2014)05-0061-06

2013-05-17< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間:

時間:2014-01-12

國家自然科學(xué)基金資助項目(61172137,60872155)

王 瑋(1984-),男,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:wangweidaiyu@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1001-2400.2014.05.011.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2014.05.011