跨聲速風(fēng)洞測(cè)力模型的降階及H∞減振控制

佘重禧，陳衛(wèi)東，邵敏強(qiáng)

（南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016）

跨聲速風(fēng)洞測(cè)力模型的降階及H∞減振控制

佘重禧，陳衛(wèi)東，邵敏強(qiáng)

（南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016）

在風(fēng)洞測(cè)力試驗(yàn)中，尾部支撐是一種廣泛采用的模型安裝方式。以該方式安裝的風(fēng)洞測(cè)力模型中，總體呈現(xiàn)低剛度特性。在試驗(yàn)進(jìn)入大攻角狀態(tài)時(shí)，低頻氣流脈動(dòng)壓力極易引起模型低頻大幅俯仰振動(dòng)，導(dǎo)致測(cè)試精度降低，甚至以疲勞方式破壞試驗(yàn)設(shè)備。針對(duì)一種采用尾部支撐方式的跨聲速風(fēng)洞測(cè)力模型，建立其有限元模型，結(jié)合模態(tài)截?cái)嗉捌胶饨惦A兩種方法，對(duì)高維有限元模型進(jìn)行降階；基于低維的降階模型及柔性結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，采用簡(jiǎn)化的混合靈敏度優(yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)試中模型低頻俯仰振動(dòng)的主動(dòng)抑制。仿真分析表明該主動(dòng)減振方案有效且易于實(shí)現(xiàn)，對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)具有重要的實(shí)用價(jià)值。

振動(dòng)與波；主動(dòng)減振；模型降階；H∞控制；風(fēng)洞模型

在飛行器的風(fēng)洞測(cè)力試驗(yàn)中，模型的安裝方式有很多種，包括尾撐、腹撐、背撐、張線支撐等傳統(tǒng)的安裝方式，以及像磁懸浮支撐這樣的高技術(shù)安裝方式，還有將幾種支撐技術(shù)相結(jié)合的安裝方式[1]。目前，在國(guó)內(nèi)的低速風(fēng)洞測(cè)試中廣泛采用尾部支撐的模型安裝方式，被測(cè)模型、測(cè)力天平及支桿共同構(gòu)成一個(gè)近似于帶集中質(zhì)量的懸臂式結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在總體上呈現(xiàn)低剛度特性。在跨聲速風(fēng)洞測(cè)力試驗(yàn)中，主要由于激波振蕩現(xiàn)象引起的氣流脈動(dòng)壓力分布在低頻階段，其能量主要集中在幾Hz到大約100 Hz范圍之間[2，3]，且脈動(dòng)壓力的強(qiáng)度及分布受被測(cè)對(duì)象幾何形狀、氣流馬赫數(shù)及測(cè)試攻角大小的影響，一般在較大攻角時(shí)達(dá)到一個(gè)極值。在模型進(jìn)入大攻角測(cè)試階段時(shí)，極易產(chǎn)生模型結(jié)構(gòu)低階固有頻率與低頻脈動(dòng)壓力的耦合共振，導(dǎo)致模型結(jié)構(gòu)出現(xiàn)低頻大幅俯仰振動(dòng)，嚴(yán)重影響測(cè)試數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，并有可能以疲勞失效的方式損壞測(cè)試儀器及設(shè)備。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)試中模型低頻大幅俯仰振動(dòng)的抑制，文獻(xiàn)[1]中通過改變支撐設(shè)備的設(shè)計(jì)，來減小頻率耦合的可能性；陳衛(wèi)東等[4]采用學(xué)習(xí)控制方法對(duì)某一跨聲速風(fēng)洞測(cè)力模型的主動(dòng)減振做了試驗(yàn)研究；邵敏強(qiáng)[5]在其博士論文中詳細(xì)闡述了基于外擾估計(jì)及輸出時(shí)滯的LQG主動(dòng)減振控制方法，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了該主動(dòng)控制方法在風(fēng)洞測(cè)力模型上的有效性。振動(dòng)主動(dòng)控制技術(shù)由于具有效果好，適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)越性，已經(jīng)在航空、航天、土木、汽車等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[6]。本文結(jié)合模態(tài)截?cái)嗯c平衡降階兩種方法對(duì)高維有限元模型進(jìn)行降階，在此基礎(chǔ)上采用一種簡(jiǎn)化的H∞混合靈敏度控制方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)模型低頻大幅俯仰振動(dòng)的主動(dòng)抑制，并以仿真的方式驗(yàn)證了模型降階及振動(dòng)抑制的效果。

1 有限元建模及初步模態(tài)分析

1.1 尾部支撐系統(tǒng)簡(jiǎn)介及建模時(shí)的處理

風(fēng)洞模型尾部支撐系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式多種多樣，但其基本原理都是一致的，即：被測(cè)模型經(jīng)測(cè)力天平和模型支桿固支于由俯仰機(jī)構(gòu)和偏航機(jī)構(gòu)組成的支架上，如圖1所示，并置于風(fēng)洞的試驗(yàn)段。被測(cè)模型、測(cè)力天平和模型支桿共同構(gòu)成一個(gè)懸臂式結(jié)構(gòu)（以下簡(jiǎn)稱被控結(jié)構(gòu)），其剛度比由俯仰機(jī)構(gòu)、偏航機(jī)構(gòu)等組成的支架的剛度要小得多。因此，針對(duì)本案的建模可以近似為將由被測(cè)模型、測(cè)力天平和模型支桿組成的被控結(jié)構(gòu)固支于理想固定支架上。同時(shí)，假設(shè)被控結(jié)構(gòu)內(nèi)部及被控結(jié)構(gòu)與支架之間的聯(lián)接為理想固聯(lián)，并忽略模型上的小孔及倒角等不致影響結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的細(xì)微因素。

1.2 被控結(jié)構(gòu)有限元建模及模態(tài)分析

基于1.1節(jié)的近似處理，采用Patran/Nastran軟件平臺(tái)建立被控結(jié)構(gòu)的有限元分析模型。根據(jù)被控對(duì)象的特點(diǎn)，采用四面體網(wǎng)格對(duì)被控結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元離散，并采用Lanczos法求解模型的低階模態(tài)。由于本案只考慮被控結(jié)構(gòu)的低頻振動(dòng)，這里僅列出被控結(jié)構(gòu)的前5階固有頻率，如表1所示。結(jié)合有限元分析及跨聲速風(fēng)洞測(cè)力試驗(yàn)的實(shí)際情況，可以知道被控結(jié)構(gòu)的第2及第4階固有振動(dòng)對(duì)被控對(duì)象在測(cè)試條件下的低頻大幅俯仰振動(dòng)的貢獻(xiàn)最大，而這兩階模態(tài)振動(dòng)正是后續(xù)章節(jié)設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)力圖要抑制的對(duì)象。應(yīng)用Matlab軟件通過簡(jiǎn)單的編程可以直接從Nastran計(jì)算的結(jié)果文檔中提取被控結(jié)構(gòu)離散化后的質(zhì)量、剛度矩陣及節(jié)點(diǎn)的排列順序，用以建立被控結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。最終得到被控結(jié)構(gòu)30 276×30 276維的質(zhì)量矩陣M及剛度矩陣K。

表1 被控結(jié)構(gòu)的前5階固有頻率單位：Hz

圖1 風(fēng)洞模型尾部支撐系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

2 被控結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模型降階

考慮到被控結(jié)構(gòu)的大幅振動(dòng)主要發(fā)生在低頻階段，而高頻振動(dòng)由于阻尼的存在將很快衰減掉，如果直接將高階模態(tài)截?cái)?，而又保留不至太少的低階模態(tài)，得到一個(gè)中型的降階模型，然后再利用平衡降階法進(jìn)一步降階，就能很容易得到適合控制器設(shè)計(jì)的低階模型。

M∈Rnxn,K∈Rnxn,D∈Rnxn；q∈Rnx1為系統(tǒng)物理坐標(biāo)；Bo∈Rnxs為系統(tǒng)輸入矩陣；Coq∈Rrxn，Cov∈Rrxn為系統(tǒng)輸出矩陣；n為系統(tǒng)總的自由度數(shù)；u∈Rsx1為輸入向量，s為輸入的個(gè)數(shù)；y∈Rrx1為輸出向量，r為輸出的個(gè)數(shù)。采用Lanczos法求取系統(tǒng)的前h階模態(tài)振型向量Φ∈Rnxh及系統(tǒng)前h階固有頻率矩陣Ω=diag(ωi)，i=1,2,...,h.。

取q=Φqm，qm∈Rhx1為模態(tài)坐標(biāo)，代入(1)式，得到

式（2）即為經(jīng)初步降階后的h維系統(tǒng)。為了后續(xù)處理的方便，先將式(2)稍作變換，可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式(3)

求解李雅普諾夫方程(4)，得到式(3)的能控、能觀性Gram矩陣Wc及Wo。在模態(tài)坐標(biāo)下，Wc和Wo為對(duì)角占優(yōu)矩陣[10]，Wc和Wo可近似等價(jià)于由其對(duì)角元組成的對(duì)角矩陣，即

Wc?diag(wciI2)，Wo?diag(woiI2)，i=1,2,...,h.，作為模型降階指標(biāo)的Hankel奇異值矩陣可表示為對(duì)Index列矩陣的元素按降序排列，同時(shí)按Index排序時(shí)相同的行交換規(guī)則對(duì)式(3)的行和列重新排列。舍棄那些對(duì)應(yīng)Hankel奇異值很小的模態(tài)即可達(dá)到模型降階的目的。假設(shè)最后保留的模態(tài)數(shù)為k,則降階模型的狀態(tài)空間表達(dá)式為

堿提：準(zhǔn)確稱取羊肚菌粉于試管中，加入一定濃度的氫氧化鈉溶液，放置恒溫水浴鍋中堿提，離心，分離上清液和濾渣。

3 H∞控制器混合靈敏度優(yōu)化設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)控制理論和方法幾乎都是基于被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型已知或者外部干擾的特性在一定程度上已知的假設(shè)條件。事實(shí)上，要得到被控對(duì)象的精確模型很困難，甚至是不可能的，而且外部干擾本身就不確定。因此，在某種意義上說，這種假設(shè)本身就具有不合理性。人們發(fā)現(xiàn)，許多控制問題都可以歸結(jié)為：對(duì)于一個(gè)廣義被控對(duì)象，尋求一個(gè)內(nèi)部穩(wěn)定的控制器，使得從外部干擾輸入到被控輸出的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)最小或者小于某一設(shè)定值，這就是后來

尋找優(yōu)化的控制器Kˉ保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且使∥Ψ∥∞最小。這里，P，Q，R分別為靈敏度函數(shù)，∥P∥∞,∥Q∥∞,∥R∥∞分別表示系統(tǒng)對(duì)干擾、加性不確定性及乘性不確定性的抑制能力，W1，W2，W3分別為對(duì)應(yīng)的加權(quán)函數(shù)。加權(quán)函數(shù)的選擇是至關(guān)重要的，它不但直接影響控制系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)，而且還直接影響控制器的復(fù)雜程度，文獻(xiàn)[12]對(duì)此作了詳細(xì)的描述。權(quán)函數(shù)的選擇是一個(gè)基于經(jīng)驗(yàn)和反復(fù)嘗試的繁瑣過程，但也是可以被簡(jiǎn)化的。由于被控對(duì)象柔性結(jié)構(gòu)的特性，帶加權(quán)函數(shù)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的無窮范數(shù)∥Ψ∥∞近似等價(jià)于這里如(7)式所示的H∞標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)及次最優(yōu)控制問題。這種H∞控制思想首先由加拿大學(xué)者Zames于1981年提出[11]，并在后來幾十年中經(jīng)過眾多學(xué)者的共同努力形成了比較完善的理論體系[12]。

針對(duì)跨聲速風(fēng)洞測(cè)力模型，由于建模的結(jié)構(gòu)誤差、參數(shù)誤差及氣流脈動(dòng)外擾同時(shí)存在，采用H∞混合靈敏度優(yōu)化方法來實(shí)現(xiàn)對(duì)振動(dòng)的抑制，即選取目標(biāo)函數(shù)

其中加權(quán)函數(shù)W1，W2，W3的作用被其對(duì)應(yīng)式(1)中輸入或輸出矩陣的列向量或者行向量的正實(shí)數(shù)加權(quán)因子所取代，加權(quán)因子的大小取決于W1，W2，W3在系統(tǒng)固有頻率處的傳遞函數(shù)增益值[10]。這樣，我們就將復(fù)雜的加權(quán)函數(shù)選擇工作簡(jiǎn)化為選擇對(duì)應(yīng)的輸入或者輸出向量的加權(quán)因子，同時(shí)，降低了廣義被控對(duì)象的維數(shù)，便于控制器的求解。在模態(tài)坐標(biāo)下，甚至還可以通過只調(diào)整感興趣的模態(tài)所對(duì)應(yīng)的加權(quán)因子，達(dá)到對(duì)特定模態(tài)的控制而不影響無關(guān)的模態(tài)。

4 控制系統(tǒng)數(shù)值仿真分析

根據(jù)被控結(jié)構(gòu)的幾何特點(diǎn)、模態(tài)分析及以往經(jīng)驗(yàn)，選擇系統(tǒng)的輸入和輸出點(diǎn)位置如圖2所示，且作用方向都垂直于水平面。除了在圖2中第3點(diǎn)有外擾w1直接作用于被控結(jié)構(gòu)上，設(shè)有輸入噪聲αw2、輸出噪聲βw3分別作用于控制輸入及控制輸出，α＞0和β＞0為上節(jié)中討論的輸入、輸出加權(quán)因子。采用速度反饋方式，即式(1)中y為速度向量，結(jié)合H∞混合靈敏度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法得到式(1)中的Bo, Cov，由于在輸出y中僅包括速度輸出，得到Coq=0，同時(shí)系統(tǒng)直連矩陣為

圖2 被控結(jié)構(gòu)上輸入、輸出點(diǎn)位置

應(yīng)用第2節(jié)中的方法先將系統(tǒng)初步降階至包含100個(gè)模態(tài)的中型系統(tǒng)，然后采用平衡降階法進(jìn)一步降階至只包含對(duì)系統(tǒng)俯仰振動(dòng)貢獻(xiàn)最大且固有頻率低于100 Hz的2階模態(tài)，得到的低階模型如下

(α=β=300，且設(shè)D=M+0.3×10-6×K)

暫稱先后得到的降階模型分別為模型(1)與模型(2)，它們的單位脈沖響應(yīng)曲線及幅頻特性曲線分別如圖3和圖4所示（外擾點(diǎn)激勵(lì)，控制輸出點(diǎn)響應(yīng)）。

圖3 模型(1)與模型(2)的單位脈沖響應(yīng))

從圖3和圖4可以看出模型(2)雖然只保留了對(duì)被控結(jié)構(gòu)低頻大幅俯仰振動(dòng)貢獻(xiàn)最大的兩階模態(tài)，但已經(jīng)可以足夠精確地描述被控結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。

圖4 模型(1)與模型(2)的幅頻響應(yīng)

應(yīng)用第3節(jié)中的方法設(shè)計(jì)H∞控制器，并將控制作用施加于模型(1)來模擬對(duì)原被控結(jié)構(gòu)的控制效果。圖5、圖6分別顯示了在有控/無控時(shí)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)及單位脈沖響應(yīng)特性。

圖5 系統(tǒng)有控/無控時(shí)的幅頻響應(yīng)

圖6 系統(tǒng)有控/無控時(shí)的單位脈沖響應(yīng)

從圖5可以看出，在施加控制作用后，原開環(huán)系統(tǒng)的共振峰得到了明顯的抑制；從圖6可看出在有控制作用時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)將很快衰減。

假設(shè)有頻率分別為12.3 Hz與29 Hz的簡(jiǎn)諧外擾，且幅值為100 N，圖7、圖8分別顯示外擾激勵(lì)位于系統(tǒng)第1階、第4階固有頻率附近時(shí)的控制效果。

假設(shè)實(shí)際被控結(jié)構(gòu)存在結(jié)構(gòu)不確定性，當(dāng)結(jié)構(gòu)模型被轉(zhuǎn)換到模態(tài)空間以后，由(3)式中系統(tǒng)矩陣A的塊對(duì)角形式可以看出，結(jié)構(gòu)的不確定性可以近似等價(jià)于對(duì)各階固有頻率的攝動(dòng)?，F(xiàn)假設(shè)有一個(gè)結(jié)構(gòu)不確定性表現(xiàn)為各階固有頻率+10%的攝動(dòng)，在外擾激勵(lì)頻率為別為13.5 Hz和32 Hz時(shí)，分別用原控制器作用于該實(shí)際被控對(duì)象，得到的控制效果見圖9和圖10；系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及幅頻特性如圖11和圖12。

圖7 外擾頻率12.3 Hz，速度響應(yīng)

圖8 外擾頻率29 Hz，速度響應(yīng)

從圖9、圖10、圖11及圖12可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)依然是穩(wěn)定的，且對(duì)外擾響應(yīng)的抑制效果仍然很好，即控制系統(tǒng)具有良好的魯棒穩(wěn)定性及魯棒性能。

5 結(jié)語

本文針對(duì)一種采用尾部支撐方式的跨聲速風(fēng)洞測(cè)力模型，通過有限元建模、模型降階、H∞混合靈敏度優(yōu)化控制器設(shè)計(jì)的途徑，實(shí)現(xiàn)了對(duì)被控對(duì)象在測(cè)試過程中低頻大幅俯仰振動(dòng)的有效抑制。仿真分析表明：模態(tài)截?cái)嗯c平衡降階相結(jié)合的方法對(duì)大型復(fù)雜柔性結(jié)構(gòu)的降階易于實(shí)現(xiàn)、可靠性高；H∞混合靈敏度優(yōu)化控制設(shè)計(jì)與柔性結(jié)構(gòu)的特性相結(jié)合降低了控制器設(shè)計(jì)難度，并能保證控制系統(tǒng)具有良好的魯棒穩(wěn)定性及魯棒性能。

圖9 外擾頻率13.5 Hz，+10%攝動(dòng)，速度響應(yīng)

圖10 外擾頻率32 Hz，+10%攝動(dòng)，速度響應(yīng)

圖11 單位脈沖響應(yīng)，+10%攝動(dòng)

圖12 幅頻響應(yīng)，+10%攝動(dòng)

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Model Reduction and Active Vibration Suppression of Control a Wind Tunnel Test Model by H∞

SHE Chong-xi,CHEN Wei-dong,SHAO M in-qiang

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

In wind tunnel testing,the test model is usually mounted by an axially supported beam inserted at the rear.The whole structure of the test model and the support is flexible with low natural frequencies.In transonic testing with a large angle of attack,the low-frequency pulsating pressure by airflow can easily cause the pitching vibration of the model with low frequency and large amplitude,which can lead to poor accuracy of measurement and fatigue damage of the test device.In this article,a FEM model is established for the transonic wind-tunnel testing model with its rear supported by a beam.Using balancing and modal truncation methods,the order of the model can be reduced.According to the feature of low-dimension,low-order and flexible structure of the model,an H∞r(nóng)obust control method is used to fulfill the active vibration suppression of the low-frequency pitching vibration of the model.Simulation and analysis show that this active vibration suppression strategy is applicable and efficient,and has practical significance for the analysis of large complex flexible structures.

vibration and wave;active vibration suppression;model reduction;H∞control;wind tunnel model

TB52

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.016

1006-1355(2014)01-0067-05

2012-12-27

第五十二批中國(guó)博士后科學(xué)基金面上資助(基金編號(hào)：2012M 521072)

佘重禧(1979-)，男，四川遂寧人，碩士，目前從事結(jié)構(gòu)振動(dòng)主動(dòng)控制研究。

E-mail:cxshe@nuaa.edu.cn