一般尺度法的振動(dòng)疲勞強(qiáng)化系數(shù)分析

程軍圣，袁毅，喻鎮(zhèn)濤，袁輝

(1.湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室長(zhǎng)沙410082；2.東風(fēng)汽車(chē)公司技術(shù)中心試驗(yàn)部，湖北十堰441004)

一般尺度法的振動(dòng)疲勞強(qiáng)化系數(shù)分析

程軍圣1，袁毅1，喻鎮(zhèn)濤2，袁輝2

(1.湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室長(zhǎng)沙410082；2.東風(fēng)汽車(chē)公司技術(shù)中心試驗(yàn)部，湖北十堰441004)

在Dirlik模型的基礎(chǔ)之上，結(jié)合一般尺度法（General scaling law）提出適用于平穩(wěn)寬帶隨機(jī)過(guò)程的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型。一般尺度法認(rèn)為結(jié)構(gòu)在原始載荷和強(qiáng)化后載荷下的應(yīng)力響應(yīng)功率譜各階譜矩成簡(jiǎn)單的線性關(guān)系；與Dirlik寬帶疲勞損傷模型結(jié)合，便得到適用于平穩(wěn)寬帶隨機(jī)過(guò)程的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型。為了驗(yàn)證模型的有效性，分別在原始加速度功率譜和經(jīng)一般尺度法強(qiáng)化后的加速度功率譜載荷下；對(duì)懸臂梁采用雨流計(jì)數(shù)(Rainflow counting)和M iner損傷準(zhǔn)則進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測(cè)，得到它們的疲勞強(qiáng)化系數(shù)，并與疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型得到的疲勞強(qiáng)化系數(shù)進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明：提出的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型精度為99.7%，由此可驗(yàn)證疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型的有效性。

振動(dòng)與波；一般尺度法；振動(dòng)疲勞；疲勞強(qiáng)化系數(shù)；疲勞壽命預(yù)測(cè)

疲勞失效是指零件在經(jīng)歷一定循環(huán)加載之后，產(chǎn)生裂紋并最終失效（斷裂）[1]。在產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行耐久性分析主要采用有限元法[2，3]；在產(chǎn)品檢驗(yàn)階段，耐久性分析主要通過(guò)振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)試驗(yàn)[4]。目前很多零件的疲勞壽命都超過(guò)107次循環(huán)，稱(chēng)之為超高周疲勞零件[5]。對(duì)于這類(lèi)零件，采用傳統(tǒng)的疲勞試驗(yàn)方法是很耗時(shí)的。因此，尋求一種強(qiáng)化疲勞試驗(yàn)方法來(lái)縮短試驗(yàn)時(shí)間是非常必要的。

目前，國(guó)內(nèi)對(duì)于振動(dòng)疲勞強(qiáng)化試驗(yàn)中的關(guān)鍵技術(shù)—疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型研究較少。國(guó)外只有Allegri研究了適用于平穩(wěn)窄帶隨機(jī)過(guò)程的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型[6]。Allegri對(duì)平穩(wěn)窄帶隨機(jī)過(guò)程的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型進(jìn)行的推導(dǎo)存在兩個(gè)明顯問(wèn)題，用隨機(jī)應(yīng)力響應(yīng)的均方根值代替S-N曲線中的應(yīng)力值，用應(yīng)力響應(yīng)正穿越0點(diǎn)的次數(shù)代替單位時(shí)間的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)。以上兩點(diǎn)對(duì)于平穩(wěn)窄帶隨機(jī)過(guò)程可以很好解釋?zhuān)谄椒€(wěn)窄帶隨機(jī)過(guò)程中可認(rèn)為應(yīng)力循環(huán)的次數(shù)等于應(yīng)力響應(yīng)正穿越0點(diǎn)的次數(shù)；應(yīng)力峰值分布只與功率譜密度的0階譜矩有關(guān)。對(duì)平穩(wěn)寬帶隨機(jī)過(guò)程而言，Dirlik提出的應(yīng)力幅值概率密度模型與功率譜密度的0、1、2和4階譜矩都有關(guān)，而且單位時(shí)間內(nèi)應(yīng)力循環(huán)正穿越0點(diǎn)的次數(shù)小于應(yīng)力循環(huán)的次數(shù)。

一般尺度法[6]認(rèn)為結(jié)構(gòu)在原始載荷下的應(yīng)力功率譜和強(qiáng)化載荷后的應(yīng)力功率譜具有相同的譜形狀和頻率范圍，而且使得它們所對(duì)應(yīng)的譜矩具有相同比例關(guān)系。由于Dirlik疲勞損傷模型只與0、1、2和4階譜矩有關(guān)，所以結(jié)合一般尺度法與Dirlik疲勞損傷模型就可以得到強(qiáng)化載荷前后疲勞壽命之間的強(qiáng)化關(guān)系——寬帶隨機(jī)過(guò)程下的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型。

為了驗(yàn)證疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型的有效性，需要對(duì)懸臂梁分別在原始加速度功率譜和經(jīng)一般尺度法強(qiáng)化后的加速度功率譜載荷下進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測(cè)，得到它們的疲勞強(qiáng)化系數(shù)。目前對(duì)隨機(jī)振動(dòng)載荷下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命預(yù)測(cè)已經(jīng)產(chǎn)生了很多不同的方法。結(jié)合雨流計(jì)數(shù)法[7]（Rainflow counting）和Palmgren-M iner[8]線性累計(jì)損傷準(zhǔn)則的時(shí)域疲勞壽命預(yù)測(cè)方法憑借其完善的理論基礎(chǔ)[9-10]和較好的預(yù)測(cè)結(jié)果[11-12]已經(jīng)被普遍接受。

本文首先通過(guò)有限元分析獲得懸臂梁危險(xiǎn)點(diǎn)在兩種不同載荷下的應(yīng)力功率譜；接著采用三角級(jí)數(shù)法對(duì)兩種不同載荷下應(yīng)力功率譜進(jìn)行時(shí)域模擬；然后采用雨流計(jì)數(shù)法（Rainflow counting）和Good-man[13]平均應(yīng)力修正模型，并結(jié)合Palmgren-M iner線性累計(jì)損傷準(zhǔn)則分別對(duì)兩種不同載荷下的懸臂梁進(jìn)行了疲勞壽命預(yù)測(cè)，得到它們的疲勞強(qiáng)化系數(shù)；最后將根據(jù)本文提出的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型得到的疲勞強(qiáng)化系數(shù)和經(jīng)雨流計(jì)數(shù)得到的疲勞強(qiáng)化系數(shù)進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明：本文提出的平穩(wěn)寬帶隨機(jī)過(guò)程疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型精度為99.7%，驗(yàn)證了疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型的有效性。

1 基于一般尺度法的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型

為了計(jì)算疲勞強(qiáng)化系數(shù)，本文首先采用一般尺度法對(duì)載荷的加速度功率譜密度進(jìn)行強(qiáng)化，得到強(qiáng)化之后載荷的加速度功率譜密度與原始載荷的加速度功率譜密度之間的關(guān)系，結(jié)合有限元理論得到強(qiáng)化載荷下應(yīng)力響應(yīng)的功率譜密度與原始載荷下應(yīng)力響應(yīng)的功率譜密度之間的關(guān)系，計(jì)算應(yīng)力響應(yīng)譜譜矩之間的關(guān)系，最后結(jié)合以Dirlik幅值概率密度模型為基礎(chǔ)的Dirlik疲勞損傷模型得到強(qiáng)化載荷之后的疲勞壽命和原始載荷下的疲勞壽命之間的關(guān)系—疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型。基本思路如圖1所示。

圖1 疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型推導(dǎo)過(guò)程

1.1 基本假設(shè)

為了得到一個(gè)推導(dǎo)相對(duì)一致的疲勞損傷，有必要做出一些假設(shè)：

(1)材料是線彈性的；

(2)不存在非線性（只有小應(yīng)力出現(xiàn)）；

(3)隨機(jī)信號(hào)是零均值的穩(wěn)態(tài)高斯分布；

(4)等效應(yīng)力也滿足S-N曲線。

1.2 一般尺度法

將實(shí)際條件下的加速度功率譜密度進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性放大得到試驗(yàn)室條件下的加速度功率譜密度，兩者頻率范圍和形狀相同，只是對(duì)應(yīng)頻率處幅值進(jìn)行了相同比例的放大。兩者關(guān)系如式（1）所示

式中Gsa表示試驗(yàn)室條件下的加速度功率譜密度，Gra表示實(shí)際條件下的加速度功率譜密度，Ksr表示線性放大系數(shù)。

材料承受循環(huán)應(yīng)力是結(jié)構(gòu)產(chǎn)生疲勞失效的重要原因，這些應(yīng)力必然的帶來(lái)一定損傷，當(dāng)損傷達(dá)到一定程度就會(huì)產(chǎn)生斷裂破壞（失效）。因此，必須將外加載荷的加速度功率譜密度轉(zhuǎn)換成應(yīng)力功率譜密度。

結(jié)合有限元基本理論可以推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)中每個(gè)單元的應(yīng)力功率譜密度[6]

式中上標(biāo)(e)表示結(jié)構(gòu)中的任意單元，Gs表示應(yīng)力功率譜密度矩陣，D表示結(jié)構(gòu)的材料和形函數(shù)矩陣，U表示結(jié)構(gòu)響應(yīng)矩陣相關(guān)的函數(shù)，G表示節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)速度之間的轉(zhuǎn)化矩陣，Ga表示加速度功率譜密度矩陣。

要推導(dǎo)試驗(yàn)條件下的應(yīng)力功率譜和實(shí)際條件下的應(yīng)力譜之間的關(guān)系，還需要做如下假設(shè)：

(1)試驗(yàn)測(cè)試的結(jié)構(gòu)和實(shí)際條件是嚴(yán)格一致的；

(2)試驗(yàn)條件下的約束和實(shí)際條件是嚴(yán)格一致的；

在上述假設(shè)情況下，聯(lián)合式（1）和式（2）得到

式中Gss表示試驗(yàn)條件下的應(yīng)力功率譜密度，Grs表示實(shí)際條件下的應(yīng)力功率譜密度。

定義單側(cè)功率譜密度的譜矩為

聯(lián)立式（3）和式（4）可以得到

由上式可知，經(jīng)過(guò)一般尺度法的強(qiáng)化之后，試驗(yàn)條件下的譜矩和實(shí)際條件下的對(duì)應(yīng)譜矩也成簡(jiǎn)單的線性關(guān)系。

1.3 Dirlik幅值分布模型

Dirlik通過(guò)Monte Carlo技術(shù)時(shí)域模擬，將寬帶平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)的幅值概率密度由一個(gè)指數(shù)分布和兩個(gè)瑞利（Rayleigh）分布的近似[14]

上述Dirlik幅值概率分布模型看似復(fù)雜，其實(shí)只有四個(gè)基本參數(shù)即譜矩M0、M1、M2和M4。

1.4 Dirlik疲勞損傷模型

寬帶隨機(jī)分布的損傷模型為

Dirlik疲勞損傷模型為

1.5 基于一般尺度法的疲勞強(qiáng)化系數(shù)

通過(guò)式（5）我們可以知道，式（8）中D1、D2、D3、Q、R和E(P)都不會(huì)因?yàn)閷?duì)應(yīng)力功率譜進(jìn)行放大而放大。因此，可以簡(jiǎn)單的得到實(shí)際條件下?lián)p傷和試驗(yàn)條件下?lián)p傷之間的關(guān)系為

又由式（6）譜矩之間的關(guān)系得到

疲勞壽命和損傷之間的倒數(shù)關(guān)系表示為

因此可以得到疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型為

從式（13）中可以看出，本文提出的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型只與加速度功率譜線性放大系數(shù)以及材料參數(shù)m有關(guān)。

2 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的寬帶隨機(jī)過(guò)程疲勞損傷模型的有效性，首先通過(guò)有限元分析獲得懸臂梁危險(xiǎn)點(diǎn)在兩種不同載荷下的應(yīng)力功率譜。接著采用三角級(jí)數(shù)法對(duì)兩種不同載荷下應(yīng)力功率譜進(jìn)行時(shí)域模擬。然后采用雨流計(jì)數(shù)法（Rainflow counting）和Good-man平均應(yīng)力修正模型，并結(jié)合Palmgren-M iner線性累計(jì)損傷準(zhǔn)則對(duì)兩種不同載荷下的懸臂梁進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測(cè)，得到它們的疲勞強(qiáng)化系數(shù)。最后將經(jīng)過(guò)本文的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型得到的疲勞強(qiáng)化系數(shù)和經(jīng)雨流計(jì)數(shù)方法得到的疲勞強(qiáng)化系數(shù)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證?；舅悸啡鐖D2所示。

2.1 問(wèn)題描述

結(jié)構(gòu)尺寸如圖3所示的懸臂梁承受來(lái)自基座的隨機(jī)振動(dòng)，左端固定約束，材料為45鋼，右圓孔直徑4.1 mm，配重m=2 kg，梁厚度為1 mm，材料參數(shù)m=-10.635 6，左端圓孔為激勵(lì)加載點(diǎn)，載荷方向垂直紙面向上。加載載荷為一恒幅加速度功率譜，頻率范圍0～200 Hz。其中原始加速度功率譜幅值為，強(qiáng)化加速度功率譜幅值為

圖2 疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型驗(yàn)證過(guò)程

圖3 懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖（mm）

2.2 振動(dòng)疲勞分析

首先對(duì)懸臂梁進(jìn)行模態(tài)分析，得到其前6階固有頻率分別為2.88 Hz、14.49 Hz、149.23 Hz、1 027.6 Hz、1 057.7 Hz、1 798.4 Hz，隨機(jī)振動(dòng)載荷（頻率為1～200 Hz）會(huì)引起結(jié)構(gòu)共振，采用雨流計(jì)數(shù)法（Rainflow counting）和Good-man平均應(yīng)力修正模型，并結(jié)合Palmgren-M iner線性累計(jì)損傷準(zhǔn)則對(duì)兩種不同載荷進(jìn)行了疲勞壽命預(yù)測(cè)。

圖4-1 原始載荷下的應(yīng)力功率譜圖

2.2.1 確定危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力譜

通過(guò)有限元分析可以確定危險(xiǎn)部位的位置，并得到危險(xiǎn)部位的應(yīng)力響應(yīng)功率譜圖。如圖4-1和圖4-2所示，分別為原始載荷的應(yīng)力功率譜圖和強(qiáng)化載荷的應(yīng)力功率譜圖。

2.2.2 應(yīng)力譜時(shí)域模擬

三角級(jí)數(shù)法也稱(chēng)諧波疊加法，是一種成熟的時(shí)域模擬方法，適用于各種譜形隨機(jī)過(guò)程的時(shí)域模擬，基本思想是采用離散譜逼近目標(biāo)隨機(jī)過(guò)程的模擬[15，16]。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幅值由隨機(jī)振動(dòng)的過(guò)程下的均方根值確定，頻率取自功率譜密度的頻率點(diǎn)，初相位服從0～2π的均勻分布。不斷調(diào)整初相位，得到一組不同的子樣本，計(jì)算每個(gè)子樣本隨機(jī)過(guò)程的不規(guī)則因子[1]均值為0.206 6，屬于典型的寬帶隨機(jī)過(guò)程。

圖4-2 強(qiáng)化載荷下的應(yīng)力功率譜圖

圖5-1 原始載荷下的應(yīng)力雨流計(jì)數(shù)

圖5-2 載荷強(qiáng)化后的應(yīng)力雨流計(jì)數(shù)

2.2.3 雨流計(jì)數(shù)

將不規(guī)則的隨機(jī)的載荷-時(shí)間歷程，轉(zhuǎn)化成為一系列循環(huán)的方法，稱(chēng)為“循環(huán)計(jì)數(shù)法”。本文采用簡(jiǎn)單實(shí)用且與變幅循環(huán)載荷下的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)一致的雨流計(jì)數(shù)法。雨流計(jì)數(shù)結(jié)果如圖5-1和圖5-2所示。

2.2.4 平均應(yīng)力修正

平均應(yīng)力大于零表示拉伸平均應(yīng)力，S-N曲線下移，表示同樣應(yīng)力幅值作用下的壽命下降，或者說(shuō)在同樣壽命下的疲勞強(qiáng)度降低，對(duì)疲勞有不利的影響。平均應(yīng)力小于零，S-N曲線上移，表示同樣應(yīng)力幅值作用下的壽命增大，或者說(shuō)在同樣壽命下的疲勞強(qiáng)度提高，壓縮平均應(yīng)力對(duì)疲勞的影響是有利的。因此，必須對(duì)經(jīng)雨流計(jì)數(shù)的應(yīng)力循環(huán)進(jìn)行Good-man平均應(yīng)力修正。

2.2.5 損傷計(jì)算及壽命預(yù)測(cè)

經(jīng)過(guò)Good-man平均應(yīng)力修正模型修正后的應(yīng)力循環(huán)，結(jié)合Palmgren-M iner線性累計(jì)損傷準(zhǔn)則得到原始載荷下懸臂梁的疲勞壽命為2.197 3×1010min，強(qiáng)化之后載荷下的疲勞壽命為5.492 6×108min。懸臂梁的疲勞壽命強(qiáng)化40.005倍。

2.3 模型驗(yàn)證

將原始載荷的加速度功率譜和經(jīng)一般尺度法強(qiáng)化的加速度功率譜幅值代入式（13）得到

因此，經(jīng)本文提出的寬帶隨機(jī)振動(dòng)疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型計(jì)算得到的疲勞強(qiáng)化系數(shù)為39.885 7倍，而經(jīng)雨流計(jì)數(shù)和M iner損傷準(zhǔn)則進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測(cè)得到的強(qiáng)化系數(shù)40.005倍。模型驗(yàn)證表明：本文提出的適用于寬帶隨機(jī)過(guò)程的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型精度為99.7%，驗(yàn)證了模型的有效性。

3 結(jié)語(yǔ)

采用本文提出的適用于寬帶隨機(jī)過(guò)程的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型進(jìn)行有關(guān)寬帶隨機(jī)過(guò)程的加速疲勞試驗(yàn)，只需在知道材料參數(shù)m的前提下按照一般尺度法將原始加速度功率譜按照同等比例進(jìn)行放大作為強(qiáng)化后的加速度功率譜載荷進(jìn)行疲勞試驗(yàn)。然后結(jié)合本文提出的疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型就可以得到結(jié)構(gòu)在正常載荷下的疲勞壽命。

（1）從模型驗(yàn)證的結(jié)果來(lái)看，該疲勞強(qiáng)化模型能較好的預(yù)測(cè)載荷強(qiáng)化之后的疲勞壽命；

（2）疲勞強(qiáng)化系數(shù)只與材料的S-N曲線在雙對(duì)數(shù)直線圖中的斜率有關(guān)；

（3）該疲勞強(qiáng)化系數(shù)模型是基于Dirlik模型推導(dǎo)出來(lái)的，所以也只適用于平穩(wěn)高斯信號(hào)，并不適合非高斯信號(hào)。

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Analysis of Vibration Fatigue Strength Coefficient Based on General Scaling Law

CHENG Jun-sheng1,YUAN Yi1,YU Zhen-tao2,YUAN Hui2

(1.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body,
Hunan University,Changsha 410082,China; 2.Test Department,Dongfeng Motor Corporation Technical Center,Shiyan 441004,Hubei China）

Based on Dirlik model and combining with the general scaling law,this paper proposes a new model for analyzing the fatigue strength coefficient,which is suitable to the stationary wide-band random vibration loading.The general scaling law considers that the spectral moments of different orders of the stress-response power-spectra of the structure under original loading and strengthened loading have a simple linear relationship.Combination of the spectral moments with the Dirlik wide-band fatigue damage model can lead to the model of the fatigue strength coefficient for the stationary wide-band random vibration loading.To verify the effectiveness of this model,the rainflow counting method and M iner damage criterion are used to predict the fatigue lifespan of a cantilever beam under the original acceleration powerspectral loads.And the result of the fatigue strength coefficient is compared with that calculated by the current model under the present acceleration power-spectral loads strengthened by general scaling law.It is shown that the accuracy rate of the current model of fatigue strength coefficient proposed here can reach 99.7%.Thus,the effectiveness of this model is validated.

vibration and wave;general scaling law;vibration fatigue;fatigue strength coefficient;fatigue life prediction

TB52；V215.5

代碼： A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.012

1006-1355(2014)01-0047-05

2013-03-13

程軍圣(1968-)，男，湖南永州人，湖南大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)椋?.動(dòng)態(tài)信號(hào)分析與處理；2.機(jī)電設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷；3.振動(dòng)與噪聲控制。

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