關(guān)于線性代數(shù)課程教學(xué)方法的探討

摘要：線性代數(shù)是工科數(shù)學(xué)的一門重要的基礎(chǔ)課。通過(guò)對(duì)該門數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力以及處理問(wèn)題能力都能夠得到提高。本文具體介紹了筆者在線性代數(shù)課程教學(xué)中如何使用的講授法和啟發(fā)式教學(xué)法，并在多年的教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，介紹了在教學(xué)中如何以教材為基礎(chǔ)，以充分的備課為前提，以激情四射的講解為平臺(tái)，深入淺出地講解線性代數(shù)，大力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，全面提高學(xué)習(xí)效果。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)方法；啟發(fā)式教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）22-0070-02

線性代數(shù)是以工科為特色的高校開設(shè)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。課程設(shè)置的主要目的是讓學(xué)生通過(guò)抽象性、邏輯性、應(yīng)用性的必要訓(xùn)練，逐步形成運(yùn)用線性代數(shù)[1]的原理和方法解決實(shí)際問(wèn)題的思維模式和思維習(xí)慣，并為后繼課程如隨機(jī)過(guò)程、矩陣分析及抽象代數(shù)等課程提供學(xué)習(xí)所必需的代數(shù)知識(shí)。線性代數(shù)教學(xué)效果的好壞，直接影響到學(xué)生的培養(yǎng)質(zhì)量。可以說(shuō)，代數(shù)代數(shù)的理論和方法[2][3]是許多課程的重要基礎(chǔ)。同時(shí)線性代數(shù)的抽象性強(qiáng)，概念較多，常常使初學(xué)者感到吃力。關(guān)于線性代數(shù)課程教學(xué)方法的探討[4]是數(shù)學(xué)教育工作者所廣泛關(guān)注的問(wèn)題。什么是線性代數(shù)（Linear Algebra）？代數(shù)一詞源于阿拉伯語(yǔ)，原意是“結(jié)合在一起”。也就是說(shuō)代數(shù)的作用是把許多看似不相關(guān)的事物“結(jié)合在一起”，即進(jìn)行抽象。抽象的目的當(dāng)然不是為了顯示數(shù)學(xué)家本人智商有多高，而是為了更深刻地描述問(wèn)題，解決問(wèn)題。要想看得更遠(yuǎn)，我們只有站得更高。比如正因?yàn)槲覀円肓司€性代數(shù)中的抽象概念——線性空間，才得以對(duì)宇宙間的所有的線性空間類的集合的性質(zhì)有了深入的研究。而這樣的集合在我們生活中又是普遍存在的。抽象的神奇和美妙由此可見一斑也。在工科院校的大多數(shù)專業(yè)中，線性代數(shù)都是重要的課程。它不僅是各專業(yè)的后繼課程的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)人才所必需的思維能力、提高學(xué)生解決問(wèn)題能力的途徑。盡管線性代數(shù)的教學(xué)方法多種多樣，但不管采取何種方法，都應(yīng)以盡可能使學(xué)生通過(guò)課堂的學(xué)習(xí)得到更大的收獲為原則?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)方法很多，如啟發(fā)式問(wèn)題教學(xué)法、講授法、引導(dǎo)探索式教學(xué)法等。以下分別談?wù)勚v授法與啟發(fā)式教學(xué)法。

一、講授法

線性代數(shù)往往采用大班授課方式，學(xué)生人數(shù)多，學(xué)時(shí)數(shù)有限，因此講授法在線性代數(shù)課程教學(xué)中必然占據(jù)重要的地位。講授法是指教師直接講解，通過(guò)簡(jiǎn)明、生動(dòng)的口頭語(yǔ)言，向?qū)W生系統(tǒng)地傳授知識(shí)、發(fā)展學(xué)生智力的方法。線性代數(shù)的主要內(nèi)容是行列式與矩陣。行列式不僅是克拉默法則的準(zhǔn)備知識(shí)，也是研究矩陣的一個(gè)工具。矩陣是線性映射的刻畫，矩陣的特征值與特征向量是研究線性變換過(guò)程中的變與不變的必然途徑。這些知識(shí)的引入本身是自然，美妙又生動(dòng)的。但如果在講授過(guò)程中沒有注意到這一點(diǎn)，只是對(duì)著書本或者課件泛泛而談，必定枯燥乏味，效果亦可想而知。因此我們?cè)谥v授一門課之前首先應(yīng)該博覽群書，虛心請(qǐng)教教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的老師，然后花大量時(shí)間認(rèn)真?zhèn)湔n。在線性代數(shù)課程中，特別應(yīng)注意到對(duì)這幾個(gè)數(shù)學(xué)概念的講解：（1）行列式的來(lái)龍去脈，行列式的作用；（2）矩陣的來(lái)龍去脈，矩陣的秩是什么；（3）為什么要研究相似矩陣，為什么要引入特征值，特征向量；（4）為什么要研究二次型。同時(shí)，應(yīng)在授課過(guò)程中用板書的形式加強(qiáng)對(duì)這以下幾個(gè)重要的計(jì)算方法的訓(xùn)練：（1）行列式的計(jì)算；（2）矩陣的初等行變換（重中之重）；（3）線性方程組的求解；（4）特征值與特征向量的計(jì)算（重中之重，工科學(xué)生后續(xù)課程必備能力之一）；（5）相似對(duì)角化的計(jì)算；（6）二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算。之所以采用講授法，主要是因?yàn)榈谝唬涸摲ǖ恼n堂效率比較高，能在有限的時(shí)間內(nèi)使用更多的教學(xué)手段，盡可能使學(xué)生獲得更大的知識(shí)量。第二：能充分發(fā)揮教師在教學(xué)中的主導(dǎo)作用，有利于教學(xué)任務(wù)的順利完成。講授法的缺點(diǎn)在于它以單向的信息傳輸方式，任課教師不能“抓住”學(xué)生的注意力，便會(huì)不利于學(xué)生的發(fā)揮自身的主觀能動(dòng)性。愛因斯坦有句名言：“興趣是最好的老師”，濃厚的學(xué)習(xí)興趣、強(qiáng)烈的求知欲，是學(xué)生獲得學(xué)習(xí)成功的關(guān)鍵因素之一。因此在授課時(shí)還要注意千方百計(jì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，比如適當(dāng)介紹與代數(shù)緊密相關(guān)的前沿問(wèn)題（比如費(fèi)馬大定理），介紹代數(shù)的發(fā)展史（比如數(shù)的發(fā)展），介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)人物（比如伽羅瓦，阿貝爾），既能吸引學(xué)生的注意力，又能提高學(xué)生對(duì)代數(shù)的認(rèn)識(shí)并激發(fā)他們對(duì)高等代數(shù)的熱愛。在授課方式上，可采用多媒體與板書相結(jié)合的方式。

二、啟發(fā)式教學(xué)法

為了彌補(bǔ)單純的講授法的不足，應(yīng)在線性代數(shù)的課堂上融入啟發(fā)式教育，引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行各種思維的思考模式下的思考，比如發(fā)散性思維，聯(lián)想思維，這也是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要手段。比如我們?cè)诮榻B完矩陣的乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算之后，可以“趁機(jī)”引導(dǎo)學(xué)生們思考“為什么矩陣不定義除法運(yùn)算”。再比如在介紹矩陣的跡運(yùn)算，可以介紹如下不等式：tr2（AB）≤（trAAT）（trBBT），A.B∈Mn（R）。然后“借題發(fā)揮”，然后介紹定積分運(yùn)算，期望運(yùn)算下的同形式的不等式，最后介紹內(nèi)積的運(yùn)算與Cauchy-Schwartz不等式[5，6]。矩陣的研究在線性代數(shù)中占重要的筆墨?，F(xiàn)行教學(xué)中的矩陣都是基于數(shù)域（大多為實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域）上，那么我們能不能對(duì)基于交換環(huán)上的矩陣[7]展開研究呢？這是一個(gè)很有趣的問(wèn)題。我們可以以此啟發(fā)學(xué)生，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)他們?nèi)ゲ殚嗁Y料。矩陣的秩，矩陣的相抵，矩陣的特征值，矩陣的相似，矩陣的相合，這些數(shù)學(xué)概念都是從一些不同科學(xué)領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題經(jīng)過(guò)高度抽象高度提煉而得到的，是前人創(chuàng)性工作的成果，是經(jīng)歷過(guò)時(shí)間的檢驗(yàn)的，他們的形成過(guò)程本身就是一個(gè)個(gè)體現(xiàn)創(chuàng)新思維的過(guò)程。僅僅局限于教材的話，學(xué)生根本看不到鮮活的、曲折的、有趣的創(chuàng)造過(guò)程，看到的只是那些經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化整理的論證形態(tài)，其敘述順序與發(fā)現(xiàn)過(guò)程往往是相反的，這是造成學(xué)生們學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)感到困難的一個(gè)原因。作為教師，所以我們要補(bǔ)充一些對(duì)知識(shí)的來(lái)龍去脈的講解。比如我在講解矩陣的特征值與特征向量時(shí)，經(jīng)常會(huì)說(shuō)一下他們的幾何意義。我們知道特征值與特征向量的定義：滿足Aα=λα的非零實(shí)數(shù)λ與向量α。矩陣乘以一個(gè)向量的結(jié)果仍是同維數(shù)的一個(gè)向量，也就相當(dāng)于把一個(gè)向量變成同維數(shù)的另一個(gè)向量，即對(duì)該向量做了一個(gè)變換，那么變換的結(jié)果是如何？一個(gè)變換的特征向量其實(shí)是這樣的向量，它經(jīng)過(guò)這種特定的變換后保持方向不變，只是進(jìn)行長(zhǎng)度上的伸縮而已，其實(shí)也就對(duì)應(yīng)到該變換下的不變子空間。另外，談?wù)務(wù)n堂例題與課后作業(yè)題的相關(guān)問(wèn)題。眾所周知的是，數(shù)學(xué)知識(shí)的講解與學(xué)習(xí)是離不開做題的。目前的情況是，理工科的線性代數(shù)課程一般是40～48學(xué)時(shí)，學(xué)時(shí)比較少，內(nèi)容比較多。很多學(xué)生在課堂上基本能夠聽懂，但沒有及時(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，也沒有做一定數(shù)目的習(xí)題，完全達(dá)不到熟練運(yùn)用的程度。因此，一方面我們應(yīng)花大力氣對(duì)作為課堂的例題的題目反復(fù)斟酌，精挑細(xì)選，以求我們?cè)谡n堂的例題能夠更有效的幫助學(xué)生們掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技巧，也使我們選擇的例題更容易給學(xué)生們留下深刻的印象。另一方面，我們還需重視布置的課后習(xí)題選取，這不僅能幫助學(xué)生掌握和鞏固所學(xué)知識(shí)，也能讓讓教師通過(guò)作業(yè)完全情況獲得學(xué)生近期學(xué)習(xí)情況的信息。我們對(duì)作業(yè)的批改必須非常仔細(xì)，因?yàn)樽鳂I(yè)是老師與學(xué)生個(gè)體進(jìn)行交流的主要途徑。錯(cuò)誤的地方要給出批示，我們還要按時(shí)講評(píng)作業(yè)，這樣才能提高我們的教學(xué)質(zhì)量。我們應(yīng)督促學(xué)生對(duì)課后的知識(shí)點(diǎn)、不同題型其解題方法以及解題技巧進(jìn)行歸納總結(jié)，提醒并鼓勵(lì)學(xué)生們相互之間的交流與學(xué)習(xí)，及時(shí)幫助他們解決學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的困難，幫助他們提高學(xué)習(xí)效率與效果。

隨著時(shí)代的變遷，學(xué)生的特點(diǎn)也在發(fā)生改變。我們只有與時(shí)俱進(jìn)，不斷改進(jìn)我們的教學(xué)方法，才能使教學(xué)質(zhì)量得到提高。

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基金項(xiàng)目：重慶郵電大學(xué)信息計(jì)算科學(xué)，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)提升計(jì)劃；重慶郵電大學(xué)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目。

作者簡(jiǎn)介：孫春濤（1980—），男，重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，講師；蹇紅（1980—），女，重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，講師。endprint