夏遠(yuǎn)梅,林安,趙克全
向量?jī)?yōu)化中改進(jìn)集的一些拓?fù)湫再|(zhì)
夏遠(yuǎn)梅,林安,趙克全
(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶401331)
主要研究改進(jìn)集的一些拓?fù)溥\(yùn)算性質(zhì).首先在改進(jìn)集條件下給出了拓?fù)湎蛄靠臻g中兩個(gè)非空集之和的拓?fù)鋬?nèi)部的一些運(yùn)算性質(zhì).進(jìn)一步,利用改進(jìn)集獲得了Flores-Baz′an和Hern′andez提出的假定B的一個(gè)加強(qiáng)形式.此外,給出了一些例子對(duì)主要結(jié)果進(jìn)行了解釋.
改進(jìn)集;假定B;拓?fù)湫再|(zhì);向量?jī)?yōu)化
文獻(xiàn)[1-3]利用凸性假設(shè)給出了兩個(gè)非空集合之和的拓?fù)鋬?nèi)部的一些性質(zhì).這些性質(zhì)在最優(yōu)化理論及應(yīng)用研究中是非?;竞椭匾?因此,如何在其它一些假設(shè)條件下獲得這些結(jié)果將是非常有意義的研究主題.為了處理數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題,文獻(xiàn)[4]引入了一類(lèi)新的工具—free disposal集.基于comprehensive集的思想,文獻(xiàn)[5]提出了改進(jìn)集的概念并研究了它的一些性質(zhì).進(jìn)而利用改進(jìn)集定義了向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的一類(lèi)統(tǒng)一的解—E-有效解,并建立了這類(lèi)解的存在性定理.進(jìn)一步,文獻(xiàn)[6]將改進(jìn)集的概念推廣到了一般的實(shí)局部凸Hausdorf f拓?fù)湎蛄靠臻g.改進(jìn)集與free disposal集之間具有密切的聯(lián)系,它們?cè)谙蛄績(jī)?yōu)化問(wèn)題研究中扮演十分重要的角色[7-10].
受文獻(xiàn)[1,3,6,8,11]中研究工作的啟發(fā),本文首先在改進(jìn)集條件下獲得了兩個(gè)非空集之和的拓?fù)鋬?nèi)部的一些運(yùn)算性質(zhì).這些運(yùn)算性質(zhì)是對(duì)經(jīng)典的凸性條件下相應(yīng)結(jié)果的改進(jìn)與推廣.進(jìn)一步,在改進(jìn)集條件下獲得了由Flores-Baz′an和Hern′andez提出的假定B的一個(gè)加強(qiáng)形式,給出了改進(jìn)集的一個(gè)充分性條件.此外,提出了一些具體例子對(duì)主要結(jié)果進(jìn)行了解釋.
本文設(shè)Y是拓?fù)湎蛄靠臻g,K是Y中具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐,Rn是n維歐幾里得空間,和分別表示非負(fù)象限錐和正象限錐.A是Y中的非空集合,cl A,int A和YA分別表示A的拓?fù)溟]包,拓?fù)鋬?nèi)部和補(bǔ)集.稱(chēng)A是關(guān)于K的free disposal集,若A+K=A[4].
下面,首先給出一些基本概念和引理.
引理1.1[1]設(shè)A和B是Y中的兩個(gè)非空集合.如果int A/=?,則int A+B?int(A+B).
定義1.1[5-6]設(shè)E是Y中的非空集合.如果0/∈E且E+K=E,則稱(chēng)E是關(guān)于K的改進(jìn)集.
引理1.2[6]設(shè)E是Y中的非空集合.如果E是關(guān)于K的改進(jìn)集,則int(cl E)=int E.
引理1.3[8]設(shè)E是Y中的非空集合.如果E是關(guān)于K的改進(jìn)集,則int E=E+int K.
基于Tanaka和Kuroiwa在文獻(xiàn)[1,3]中的結(jié)果,給出改進(jìn)集的一些拓?fù)鋬?nèi)部性質(zhì).Tanaka和Kuroiwa在文獻(xiàn)[1]中獲得了下面的結(jié)果:
定理2.1設(shè)E1和E2是Y中具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的子集.如果E1和E2是凸集,則
注2.1如果E1和E2不是凸集,(1)式也可能成立.
例2.1令
顯然,E1和E2不是凸集.然而,int(E1+E2)=int E1+int E2=E1.即可以驗(yàn)證E1和E2是關(guān)于K=R2+的改進(jìn)集.
下面利用改進(jìn)集給出(1)式成立的一個(gè)新的充分條件.
定理2.2設(shè)K1和K2是Y中具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的閉凸錐,E1和E2是Y中的非空集合.如果E1和E2分別是關(guān)于K1和K2的改進(jìn)集,則
(i)int(E1+E2)=int E1+int E2;(ii)int(E1+E2)=int E1+E2;
(iii)int(E1+E2)=int E1+cl E2.
證明只需證明(i)和(iii).因?yàn)镋1和E2分別是關(guān)于K1和K2的改進(jìn)集,所以
因此,E1+E2=E1+E2+K1+K2,即E1+E2是關(guān)于K1+K2的free disposal集.此外,由定理2.1可得int(K1+K2)=int K1+int K2.又由引理1.3,可知
又int E1+int E2?int E1+cl E2.由引理1.1可得,int E1+cl E2?int(E1+cl E2).再由文獻(xiàn)[6]中的命題1.4(a)可得,cl E2是關(guān)于K2的free disposal集.因此,由(i)可得,
從而由引理1.2有int E1+int(cl E2)=int E1+int E2,即int E1+cl E2?int E1+int E2.
因此,int E1+int E2=int E1+cl E2.由(i)可得(iii)成立.
推論2.1設(shè)K1和K2是Y中具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的閉凸錐,E1和E2是Y中的非空集合.如果E1和E2分別是關(guān)于K1和K2的改進(jìn)集,則
(i)int(E1+E2)=E1+int E2;(ii)int(E1+E2)=cl E1+int E2.
證明由定理2.2的證明過(guò)程可知結(jié)論成立.
Tanaka和Kuroiwa在文獻(xiàn)[3]中獲得了下面的結(jié)果:
定理2.3設(shè)E1和E2是Y中的子集.如果E1是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸集,E2是開(kāi)集,則int(E1+E2)=int E1+int E2.
注2.2如果E1是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸集,E2不是開(kāi)集,則定理2.3也可能成立.
例2.2令
顯然,E1是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸集,E2是閉集.然而,
下面,利用改進(jìn)集提出(1)式成立的另一個(gè)充分條件.
定理2.4設(shè)E1和E2是Y中的兩個(gè)非空集合.如果E1是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸集,E2是關(guān)于K的改進(jìn)集,則
(i)int(E1+E2)=int E1+int E2;(ii)int(E1+E2)=int E1+E2;
(iii)int(E1+E2)=int E1+cl E2.
證明僅需證明(i)和(iii).因?yàn)镋2是關(guān)于K的改進(jìn)集,所以E1+E2=E1+(E2+K),即E1+E2是關(guān)于K的free disposal集.從而由引理1.3可得,
因此,
下面,證明(iii)成立.顯然,int E1+int E2?int E1+cl E2.此外,由文獻(xiàn)[6]中的命題1.4(a),cl E2是關(guān)于K的free disposal集.從而由(i),引理1.1和引理1.2可得,
因此,int E1+int E2=int E1+cl E2.則由(i)可知(iii)成立.
定理2.5設(shè)E1和E2是Y中的非空集合.如果E1是開(kāi)集,E2是關(guān)于K的改進(jìn)集,則
(i)int(E1+E2)=int E1+int E2;(ii)int(E1+E2)=int E1+E2;
(iii)int(E1+E2)=int E1+cl E2.
證明僅需證明(i)和(iii).因?yàn)镋2是關(guān)于K的改進(jìn)集,由定理2.4的證明過(guò)程可知E1+E2是關(guān)于K的free disposal集.此外,由E1是開(kāi)集和引理1.3可得,
下證(iii).顯然,int E1+int E2?int E1+cl E2.由文獻(xiàn)[6]中的命題1.4(a),(i)以及引理1.2可得,
從而由引理1.1可得,
因此,int E1+int E2=int E1+cl E2.從而由(i)可知(iii)成立.
注2.3如果E1不是關(guān)于K1的改進(jìn)集,則定理2.2不一定成立;如果E1不是凸集,則定理2.4不一定成立;如果E1不是開(kāi)集,則定理2.5不一定成立.下面的例子可以解釋這一點(diǎn).
例2.3令
顯然,E1是非凸的拓?fù)溟]集且不是關(guān)于K1的改進(jìn)集,E2是關(guān)于K2的改進(jìn)集.此外,
因此,
注2.4由前面的證明過(guò)程可知,關(guān)于K是改進(jìn)集這一假設(shè)條件可以放松到關(guān)于K是free disposal集.
Flores-Baz′an和Hern′andez在文獻(xiàn)[11]中提出了假定B如下:
定理3.1設(shè)E是Y中的非空集合.如果E是關(guān)于K的改進(jìn)集,則
證明僅需證明
可以驗(yàn)證int(Y(?int E))/=?,即Y(?cl E)/=?.若不然,Y(?cl E)=?,則cl E=Y.利用引理1.2可得,int E=int(cl E)=int Y=Y.因此,E=Y,這與0/∈E矛盾.
下面,證明Y(?int E)是關(guān)于K的free disposal集.顯然,Y(?int E)?Y(?int E)+K.因此只需證明:
若存在x∈Y(?int E)+K,x/∈Y(?int E).因?yàn)閤∈Y(?int E)+K,則存在y∈Y(?int E)和z∈K,使得x=y+z.則y∈Y且?y/∈int E.由x/∈Y(?int E)可得x∈Y且?x∈int E.從而由文獻(xiàn)[6]中的命題1.4(b),?y=?x+z∈int E+K=int E,矛盾.因此由引理1.3可得,
注3.1改進(jìn)集蘊(yùn)含假定B.事實(shí)上,只要固定q∈int K,由K是凸錐可知, Y(?int E)+R++q?Y(?int E)+int K=int(Y(?E)).
注3.2定理3.1的逆定理不一定成立.下面的例子可以解釋這一點(diǎn).
例3.1令
可以驗(yàn)證,
然而,
即E不是關(guān)于K的改進(jìn)集.
定理3.2設(shè)E是Y中的非空集合.如果cl(Y(?E))+K=int Y(?E)且0/∈E,則E是關(guān)于K的改進(jìn)集.
證明假設(shè)E不是改進(jìn)集,則存在x∈E+K使得x/∈E.由x∈E+K可知,存在y∈E,即?y∈?E且z∈K,使得x=y+z.因?yàn)閤/∈E,所以?x/∈?E.從而?x∈Y(?E)?cl(Y(?E)).因此,
這與?y∈?E矛盾.
[1]Tanaka T,Kuroiwa D.The convexity of A and B assures int A+B=int(A+B)[J].Applied Mathematics Letters,1993,6(1):83-86.
[2]Tanaka T,Kuroiwa D.Some general conditions assuring int A+B=int(A+B)[J].Applied Mathematics Letters,1993,6(3):51-53.
[3]Tanaka T,Kuroiwa D.Another observation on conditions assuring int A+B=int(A+B)[J].Applied Mathematics Letters,1994,7(1):19-22.
[4]Debreu G.Theory of Value[M].New York:John Wiley,1959.
[5]Chicco M,Mignanego F,Pusillo L,et al.Vector optimization problem via improvement sets[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2011,150(3):516-529.
[6]Guti′errez C,Jim′enez B,Novo V.Improvement sets and vector optimization[J].European Journal of Operational Research,2012,223(2):304-311.
[7]Zhao Kequan,Yang Xinmin.A unif i ed stability result with perturbations in vector optimization[J].Optimization Letters,2013,7(8):1913-1919
[8]Zhao Kequan,Yang Xinmin.E-Benson proper efficiency in vector optimization[J].Optimization,2013,doi: 10.1080/02331934.2013.798321.
[9]Zhao Kequan,Yang Xinmin,Peng Jianwen.Weak E-optimal solution in vector optimization[J].Taiwanese Journal of Mathematics,2013,17(4):1287-1302.
[10]Zhao Kequan,Yang Xinmin.E-proper saddle points and E-proper duality in vector optimization with set-valued maps[J].Taiwanese Journal of Mathematics,2014,18(2):483-495.
[11]Flores-Baz′an F,Hern′andez E.A unif i ed vector optimization problem:complete scalarizations and applications[J].Optimization,2011,60(12):1399-1419.
Some topological properties of improvement sets in vector optimization
Xia Yuanmei,Lin An,Zhao Kequan
(College of Mathematics Science,Chongqing Normal University,Chongqing401331,China)
In this paper,topological operational properties of improvement sets are studied.Some operational characterizations of topological interior of sum for two nonempty sets are presented by using improvement sets in topological vector space.Furthermore,a strong version of Assumption B proposed by Flores-Baz′an and Hern′andez is obtained by improvement sets.Moreover,some examples are given to illustrate our main results.
improvement sets,assumption B,topological properties,vector optimization
O221.6
A
1008-5513(2014)06-0604-06
10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.009
2014-05-03.
國(guó)家自然科學(xué)基金(11301574,11271391,11171363).
夏遠(yuǎn)梅(1990-),碩士生,研究方向:最優(yōu)化理論及應(yīng)用.
2010 MSC:90C26,90C29,90C30