長尾寬上限相依的不同分布的隨機(jī)變量和的精確大偏差

華志強(qiáng),董瑩,玄海燕

長尾寬上限相依的不同分布的隨機(jī)變量和的精確大偏差

華志強(qiáng)1,董瑩2,玄海燕3

(1.內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古通遼028000;2.大連民族學(xué)院理學(xué)院,遼寧大連116600; 3.蘭州理工大學(xué)理學(xué)院,甘肅蘭州730050)

研究了服從長尾分布族上的隨機(jī)變量和的精確大偏差問題,其中假設(shè)代表索賠額的隨機(jī)變量序列是一列寬上限相依的、不同分布的隨機(jī)變量序列.在給定一些假設(shè)條件下,得到了部分和與隨機(jī)和的兩種一致漸近結(jié)論.

長尾分布;精確大偏差;不同分布;寬上限相依

1 引言及預(yù)備知識

服從重尾分布的精確大偏差的研究集中在對P(Sn>x)和P(SN(t)>x)～在某些區(qū)域上的一致漸近估計.其中代表索賠額的隨機(jī)變量序{Xn,n≥1}是一列取值非負(fù)的、獨(dú)立的隨機(jī)變量,其分布為F,具有有限的均值μ,而和SN(t)=為隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}的部分和與隨機(jī)和;而{N(t),t≥0}是一個由取非負(fù)整數(shù)值的獨(dú)立隨機(jī)變量序列而產(chǎn)生的計數(shù)過程,與隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}相互獨(dú)立,對所有的t≥0有λ(t)=EN(t)<∞,但當(dāng)t→∞時有λ(t)→∞.許多研究只關(guān)注于隨機(jī)變量之間獨(dú)立同分布的情形[1?4].文獻(xiàn)[5-6]研究了獨(dú)立不同分布的部分和與隨機(jī)和的精確大偏差;文獻(xiàn)[7]研究了獨(dú)立的長尾分布族上的隨機(jī)變量和的精確大偏差;文獻(xiàn)[8]研究了延拓負(fù)相依的隨機(jī)變量序列的精確大偏差;文獻(xiàn)[9]研究了寬相依的隨機(jī)變量序列的尾概率;由文獻(xiàn)[10]知長尾分布族包含了控制收斂尾分布族.本文研究了帶寬相依的長尾分布族上的隨機(jī)變量序列,得到了不同分布的隨機(jī)變量和的精確大偏差,對文獻(xiàn)[7]的相應(yīng)結(jié)論進(jìn)行了推廣.

定義1.1[7]稱某一非負(fù)隨機(jī)變量X或其分布F為重尾的,如果不存在指數(shù)矩.即對任意的γ>0,EeγX不存在.稱非負(fù)分布F(x)屬于長尾分布族,如果對一切y>0成立(或等價地,對y=1成立).長尾分布族是重尾分布族的子族.

定義1.2[9]設(shè){Xn,n≥1}是隨機(jī)變量序列,如果存在有限實值序列{gU(n),n≥1},滿足對于任意的n=1,2,···以及任意的n個實數(shù)x1,x2,···,xn,有

成立,則稱隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}為寬上限相依的,其中g(shù)U(n)稱為控制系數(shù).

引理1.1[10]F屬于長尾分布族的等價條件是:

2 部分和的精確大偏差

首先給出定理所需的假設(shè)條件.假設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}的控制系數(shù)gU(n)滿足假設(shè)條件1:存在某個α∈(0,1),有分布列{Fn,n ≥1}和分布F滿足假設(shè)條件2:存在某個正數(shù)X0,對于所有的x≥X0一致地有設(shè){N(t),t≥0}是由取非負(fù)整數(shù)值的獨(dú)立隨機(jī)變量序列產(chǎn)生的計數(shù)過程,滿足假設(shè)條件3:當(dāng)t→∞時,

定理2.1設(shè){Xn,n≥1}為帶有控制系數(shù)gU(n)的非負(fù)的、寬上限相依的隨機(jī)變量序列,分布列為{Fn,n≥1}和均值列為{μn,n≥1}.設(shè)X為一非負(fù)的隨機(jī)變量,其分布F屬于長尾分布族,有有限的均值μ,且EX2<∞.若控制系數(shù)gU(n)滿足假設(shè)條件1,分布列{Fn,n≥1}和分布F滿足假設(shè)條件2,則對于任意固定的常數(shù)γ>0,有

證明由于F屬于長尾分布族,則存在滿足引理1.1的正函數(shù)h(x).由假設(shè)條件2可知,對于任意的ε>0和充分大的n,有

由于F屬于長尾分布族,所以有

又由假設(shè)條件2和EX2<∞,有

將(2)式和(3)式代入到(1)式中,令ε↓0,定理2.1得證.

下例滿足定理2.1中的假設(shè)條件.

例2.1設(shè)X是服從帕累托分布的非負(fù)的隨機(jī)變量,其尾分布函數(shù)為x≥0,其中α>2,β>0.設(shè){Xn,n≥1}是一個(非負(fù)的)、非同分布的服從帕累托分布的隨機(jī)變量序列,其中對應(yīng)的尾分布函數(shù)為x≥0,n≥1,其中αn=α, βn=β?εn,且當(dāng)n→∞時εn↓0;對任意的n≥1,(X1,X2,···,Xn)的聯(lián)合尾概率分布為:

對于任意的i≥1,由于βi<β有從而對任意的n≥1,有

對任意的1≤i0,有

取某個正整數(shù)M∈(1,n),有

從而當(dāng)n→∞時有,

由(4)式和(5)式可知假設(shè)條件2成立.

3 隨機(jī)和的精確大偏差

定理3.1設(shè){Xn,n≥1}和X滿足定理2.1的條件,計數(shù)過程{N(t),t≥0}與{Xn}相互獨(dú)立,且滿足假設(shè)條件3,則對于任意的常數(shù)γ>0,有

證明對于任意的0<δ<1,有

綜上可得:

[1]Kl¨uppelberg C,Mikosch T.Large deviations of heavy-tailed random sums with applications in insurance and f i nance[J].Journal of Applied Probability,1997,34:293-308.

[2]Mikosch T.Large deviations of heavy-tailed sums with applications in insurance[J].Extremes,1998,1(1):81-110.

[3]Tang Qihe,Su Chun,Jiang Tao,et al.Large deviations of heavy-tailed random sums in compound renewal model[J].Statistics and Probability Letters,2001,52:91-100.

[4]Ng K W,Tang Qihe,Yan Jiaan,et al.Precise large deviations for sums of random variables with consistently varying tails[J].Journal of Applied Probability,2004,41:93-107.

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[7]Fotis L.Precise large deviations for long-tailed distributions[J].Journal of Theoretical Probability,2012,25:913-924.

[8]Yang Yang,Wang Kaiyong.Precise large deviations for dependent random variables with applications to the compound renewal risk model[J].Rocky Mountain Journal of Mathematics,2013,43(4):1395-1413.

[9]Wang Kaiyong,Yang Yang,Lin Jinguan.Precise large deviations for widely orthant dependent random variables with dominatedly varying tails[J].Front Math China,2012,7(5):919-932.

[10]Foss S,Korshunov D,Zachary S.An introduction to heavy-tailed and subexponential distributions(2nd ed.)[M].New York:Springer,2013.

Precise large deviations for sums of non-identical distributed and widely upper orthant dependent random variables with long tails

Hua Zhiqiang1,Dong Ying2,Xuan Haiyan3

(1.College of Mathematics,Inner Mongolia University for the Nationalities,Inner Mongolia,Tongliao 028000,China; 2.College of Science,Dalian Nationalities University,Dalian116600,China; 3.College of Science,Lanzhou University of Technology,Lanzhou730050,China)

This paper investigates the precise large deviations for sums of random variables with long tailed distributions,and the sequence of the claims denoted by random variables is a sequence of non-identically distributed and widely upper orthant dependent random variables.Under some mild assumptions,this paper obtains the uniformly asymptotic results of partial sums and random sums.

long tailed distribution,precise large deviation,non-identical distribution, widely upper orthant dependence

O211.4

A

1008-5513(2014)06-0569-04

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.004

2014-08-01.

國家自然科學(xué)基金(11261031,11371077);內(nèi)蒙古民族大學(xué)自然科學(xué)研究項目(NMD1304).

華志強(qiáng)(1981-),博士,講師,研究方向:概率論與數(shù)理統(tǒng)計.

2010 MSC:60F10