數(shù)學(xué)小方格教學(xué)大智慧

王晶晶

【摘 要】方格圖簡潔直觀、有趣味、易操作，且有多種表征形式，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具。綜觀蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，約有150次使用方格圖，我們應(yīng)從新的視角審視方格圖的現(xiàn)實內(nèi)涵，并以發(fā)展性的眼光審視它的價值取向，以更好地促進學(xué)生空間觀念的形成和發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】方格圖 工具 價值 應(yīng)用 再開發(fā)

方格圖是以若干個小正方形為基本構(gòu)成要素，以信息加工過程的直觀性為形態(tài)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具。借助方格圖，不僅有助于學(xué)生探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果，還可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。

方格圖是一個外延相對寬泛的工具，還有多種表現(xiàn)形式，如點子圖、數(shù)對圖、坐標(biāo)圖等。據(jù)不完全統(tǒng)計，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中方格圖約出現(xiàn)了54次，點子圖8次，數(shù)對圖12次，坐標(biāo)圖78次。教師應(yīng)從新的視角審視數(shù)學(xué)工具的現(xiàn)實內(nèi)涵，并以發(fā)展性的眼光審視它的價值取向，以便更好地促進學(xué)生空間觀念的形成和發(fā)展。德國數(shù)學(xué)家希爾伯特曾說過：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著?！?/p>

一、彰顯工具魅力：方格圖的表征及作用

方格圖簡單、直觀、易操作。教材中使用方格圖，是尊重和順應(yīng)小學(xué)生的認知基礎(chǔ)和需求的表現(xiàn)，能有效地幫助學(xué)生建立方位感和距離感，有利于學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)。

（一）方格圖的特征與表現(xiàn)形式

1.“顯性”表現(xiàn)——方格圖。

一組組相互平行和垂直的線組成了正方形網(wǎng)格圖（如圖1）。通常情況下，方格圖中的每個小正方形的邊長為1cm，為學(xué)生的操作提供標(biāo)準(zhǔn)的單位長度；每兩條直線相交于一點，為操作找準(zhǔn)需要的定點；每兩條直線相交的角成直角，為操作找準(zhǔn)角度、確定方向。

2.“隱性”表現(xiàn)——點子圖。

方格圖還有一種簡化的表現(xiàn)形式，是點子圖（如圖2）。它是由一行行、一列列相互對齊的點組成的，每行、每列點與點之間的距離都相等。正是由于只有點而缺少線了，它為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供了更大的想象空間。

3.“拓展”表現(xiàn)——數(shù)對圖和坐標(biāo)圖。

方格圖的變式表現(xiàn)有數(shù)對圖（如圖3）和坐標(biāo)圖（如圖4），它們都是采用數(shù)字坐標(biāo)形式表示多項地理要素的數(shù)字信息圖像，是二維坐標(biāo)系，有兩個自由度。同時，坐標(biāo)圖還可以為學(xué)生直觀分析現(xiàn)象提供統(tǒng)計依據(jù)。

（二）方格圖的價值取向

1.由“粗略”到“精細”——統(tǒng)一學(xué)生的操作標(biāo)準(zhǔn)。

在實際操作中，學(xué)生測量時會產(chǎn)生距離上的誤差和角度上的偏差。所以，點與點之間的距離、線與線之間的距離和角度應(yīng)該成為引起學(xué)生細致關(guān)注的要點。方格圖的出現(xiàn)，不僅為學(xué)生確定了標(biāo)準(zhǔn)化的距離，還提供了方向上的參照，讓他們在操作中由“粗略”走向“精細”。

2.變“抽象”為“直觀”——培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）把“圖形與幾何”作為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力的一個重要學(xué)習(xí)領(lǐng)域。小學(xué)生的空間想象能力比較薄弱，教學(xué)中如果能充分地運用好方格圖這個工具，就可以把比較抽象的問題直觀化、復(fù)雜的知識簡單化，使學(xué)生的抽象思維能力逐步提高。

3.化“被動”為“主動”——發(fā)揮學(xué)生的主體作用。

方格圖的使用為教師的教與學(xué)生的學(xué)提供了豐富而有效的學(xué)習(xí)素材，如果教師能夠并善用方格圖為學(xué)生創(chuàng)造思考的空間和感悟的條件，不僅能夠發(fā)揮學(xué)生的主體作用，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，不斷地化“被動”為“主動”，真正地做到以學(xué)生為主體、以教師為主導(dǎo)。

4.從“現(xiàn)象”到“本質(zhì)”——體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法。

方格圖中所展現(xiàn)的圖形，都是由圖形與數(shù)學(xué)思想相結(jié)合的復(fù)雜統(tǒng)一體。例如，推導(dǎo)圖形面積公式過程中體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化思想、平移圖形中的一一對應(yīng)思想和用方格圖表示小數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，還有模型思想、演繹推理思想、幾何變換思想、統(tǒng)計與概率思想等，都能透過一系列的現(xiàn)象看到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

二、展現(xiàn)教學(xué)智慧：發(fā)掘方格圖在教學(xué)中的應(yīng)用

方格圖，既樸實清秀又蘊藏智慧?！稑?biāo)準(zhǔn)》中“圖形與幾何”領(lǐng)域主要涉及現(xiàn)實世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換等內(nèi)容，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)很多都要用到方格圖。

（一）生成“標(biāo)準(zhǔn)尺”認識圖形，體現(xiàn)教學(xué)“真”的智慧

數(shù)學(xué)是一門嚴謹?shù)目茖W(xué)，無論是教學(xué)的過程還是結(jié)果，也不管是數(shù)據(jù)還是理論，都必須真實、可靠。

1.生成直尺判斷“平行”，確定“相等”。

通過在方格圖上數(shù)格子，學(xué)生證明了平行四邊形的對邊是互相平行且相等的。接著，教師可以變動一些線段的長度、方向，使其變成豎直的平行四邊形。使學(xué)生拋開了線段長度、方向等非本質(zhì)因素，對平行關(guān)系有了更清晰的認識。

2.生成三角尺畫圖形的“高”。

方格圖中一組組互相垂直的線段恰好可以生成三角尺上的直角，能夠幫助學(xué)生準(zhǔn)確地畫出“高”，以免在角度上產(chǎn)生誤差。方格圖中的線段可以生成“標(biāo)準(zhǔn)尺”來幫助學(xué)生建立圖形的基本特征，理解圖形的根本屬性，體現(xiàn)了教學(xué)“真”的智慧。

（二）提供“統(tǒng)一數(shù)”進行測量，呈現(xiàn)教學(xué)“簡”的智慧

測量是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的空間觀念不可多得的操作活動。方格圖中提供了統(tǒng)一的數(shù)據(jù)，可以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)測量方法。

1.找數(shù)據(jù)，建表象，理關(guān)系。

在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)周長與面積的關(guān)系時，方格圖可以為學(xué)生提供簡單的數(shù)據(jù)提示，以方便他們成功地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更能夠幫助學(xué)生在計算的基礎(chǔ)上建立起“形”的表象。

2.用數(shù)據(jù)，剪移拼，推方法。

在推導(dǎo)多邊形面積的計算公式時，學(xué)生可以利用方格圖發(fā)現(xiàn)和歸納平面圖形的計算方法，并通過自己的計算與推理來感悟各種圖形的面積計算公式。

3.數(shù)數(shù)據(jù)，算格子，估面積。

例如，估測一片樹葉的面積，可以讓學(xué)生數(shù)整格和接近整格的方格個數(shù)，也可以告訴學(xué)生將不滿整格的方格都當(dāng)成半格來計算，最后讓學(xué)生比較兩種數(shù)法的結(jié)果，從而較準(zhǔn)確地估出面積。

（三）改變“點與線”實現(xiàn)運動，展現(xiàn)教學(xué)“美”的智慧

方格圖為學(xué)生學(xué)習(xí)圖形變換提供了重要的工具，為實現(xiàn)圖形運動提供了標(biāo)準(zhǔn)的方向和距離。

1.“動”中藏美。

方格圖為幫助學(xué)生實現(xiàn)圖形的移動確定了方向和距離，生成了移動的尺子。學(xué)生運用對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的方法在方格紙上畫圖，不僅在操作中有了參照與標(biāo)準(zhǔn)，也大大降低了繪圖的難度，在移動中實現(xiàn)了和諧之美。

2.“靜”中展美。

教材中設(shè)計了多樣的操作活動，讓學(xué)生在動手操作中逐步體驗軸對稱圖形的具體特征。有了方格圖，學(xué)生便可以找出另一半圖形所有的對稱點，然后再聯(lián)結(jié)，從而形成一個軸對稱圖形。

（四）巧用“指南針”確定位置，實現(xiàn)教學(xué)“活”的智慧

我們要巧妙地使用方格圖，幫助學(xué)生在方格圖中找到準(zhǔn)確的位置，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的靈活性。

1.由實物圖抽象出方格圖。

二年級上冊“位置與方向”單元出現(xiàn)的一些實物圖（如圖5）是方格圖的最初模型，可以幫助學(xué)生建立行列概念，是學(xué)生用來認識“第幾排第幾個”的好素材。

2.為學(xué)生建立方位提供參照。

五年級下冊“位置”單元明確地引入“數(shù)對”，用一對有序數(shù)來表示一個點在平面中的位置，并借助大量的方格圖來幫助學(xué)生感受數(shù)對與位置之間的一一對應(yīng)關(guān)系，以及數(shù)對中兩個數(shù)的不同含義。

3.為學(xué)生直觀地分析現(xiàn)象提供統(tǒng)計依據(jù)。

為了分析統(tǒng)計數(shù)據(jù)，教材中提供了相應(yīng)的方格圖，讓學(xué)生在方格圖中畫直條，這能使學(xué)生在操作中更加關(guān)注統(tǒng)計的全過程，從而更加全面地了解統(tǒng)計方法。

三、拓展學(xué)習(xí)領(lǐng)域：再度開發(fā)方格圖的創(chuàng)新價值

教師應(yīng)努力地再度開發(fā)方格圖的創(chuàng)新價值，使其與其他學(xué)習(xí)領(lǐng)域建立和諧統(tǒng)一的關(guān)系，從而真正地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)。

（一）數(shù)形結(jié)合，為學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”搭建橋梁

數(shù)形結(jié)合是典型的數(shù)學(xué)思想，也是一種很好的教學(xué)方法。數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！苯處熆梢岳梅礁駡D展示算理，引導(dǎo)學(xué)生“知其然”，然后“知其所以然”。例如，教學(xué)“6的乘法口訣”時，我們可以先出示“5×5”的方格圖，問學(xué)生：一共有多少個小方格？你用的是哪一句乘法口訣？然后教師出示：如果再增加一行，應(yīng)該用什么乘法口訣呢？

（二）動手操作，為學(xué)生解決實際問題打開成功之門

在小學(xué)的綜合實踐活動中，方格圖為學(xué)生解決實際問題提供了標(biāo)準(zhǔn)的測量依據(jù)。例如，教學(xué)《圖形的密鋪》一課，在學(xué)生明晰了正方形、長方形、六邊形的地磚都可以在一塊地面上密鋪之后，讓他們思考還有什么形狀的圖形能密鋪，可以引導(dǎo)他們在方格圖中畫出圖形去實驗，通過實際觀察得出結(jié)論。

（三）開“窗口”巧填數(shù)，為學(xué)生開發(fā)智力推開創(chuàng)造與想象之窗

很多數(shù)學(xué)益智游戲中都會用到方格圖。比如目前流行的九宮格，它是將1～9連續(xù)9個正整數(shù)填入“3×3”的方格中，使每行、每列及對角線上的三個數(shù)的和相等，通常將這個圖形稱為三階幻方或魔方。在此基礎(chǔ)上，教師可以引領(lǐng)學(xué)生提出二階幻方、四階幻方的存在性。

（四）巧制“面積卡”，為學(xué)生解決生活問題提供便攜工具

方格圖制作簡單、方便。在《面積和面積單位之間的進率》一課中，有一張邊長為10厘米的正方形方格紙，我們可以用一張半透明的薄紙或一個透明的塑料板臨摹這張方格紙，這樣就輕便地制作了一張面積卡，讓學(xué)生每人自備一張，不僅有利于他們了解面積單位之間的進率，還為他們解決生活中的數(shù)學(xué)問題提供了方便攜帶的工具。

簡潔直觀的方格圖，為培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力提供了必要的支撐和有效的參照。教師要有意識地發(fā)掘散落在教材中的方格圖，深入理解教材的設(shè)計意圖，再度開發(fā)方格圖的功能。我們希望數(shù)學(xué)工具成為學(xué)生口渴時朝向的水源，借助數(shù)學(xué)工具去解決問題；希望學(xué)生將數(shù)學(xué)工具作為翅膀，愜意地展翅飛翔。

【參考文獻】

[1]吳振奎，劉舒強.數(shù)學(xué)中的美——數(shù)學(xué)美學(xué)初探[M].天津：天津教育出版社，1997.

[2]曾德才.數(shù)形結(jié)合，理解算理[J].小學(xué)教學(xué)研究，2002（7）：26.

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文二等獎

（作者單位：江蘇省連云港師范高等?？茖W(xué)校第一附屬小學(xué)）