分類討論的思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

周劍

摘?要：分類討論的思想在高中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中應(yīng)用非常廣泛，筆者在多年的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在遇到需要通過(guò)分類討論才能解決的問(wèn)題時(shí)，往往失分較多，究其原因主要是不能根據(jù)需要科學(xué)地進(jìn)行分類，不知道以什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分類；分類不完整，討論重復(fù)或者有遺漏；對(duì)分類討論所得到的結(jié)果處理不當(dāng)，答題不完整不規(guī)范。針對(duì)這一現(xiàn)狀筆者總結(jié)了一些心得，希望能給學(xué)生帶來(lái)一些幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；分類討論；標(biāo)準(zhǔn)；步驟

在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中廣泛地存在含有參數(shù)的各類問(wèn)題，這也是近年來(lái)高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一。以數(shù)學(xué)命題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn)，我們可以把含參數(shù)的問(wèn)題大致分為兩種類型：一是根據(jù)參數(shù)的取值范圍，去尋求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果，從而歸納出命題的結(jié)論；二是給定命題的結(jié)論，去尋求參數(shù)的取值范圍或者應(yīng)滿足的條件。然而這些問(wèn)題的求解往往都會(huì)涉及分類討論的思想方法，本文中筆者就分類討論的思想方法在這類問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行一些探討，不妥之處，敬請(qǐng)斧正。

解決含有參數(shù)的問(wèn)題，需要用到分類討論的方法時(shí)，首先要明確需要討論的對(duì)象，再根據(jù)題目的條件和所涉及的數(shù)學(xué)概念、定理、公式、性質(zhì)以及運(yùn)算的需要等進(jìn)行科學(xué)合理的分類，然后逐類進(jìn)行討論，尋求各自的結(jié)果，最后歸納出命題的最終結(jié)論，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。其根本在于化難為易，化繁為簡(jiǎn)，這是比較常見(jiàn)的解題策略和方法。

一、科學(xué)合理的分類

何謂科學(xué)合理的分類，就是把一個(gè)集合A分成若干個(gè)非空真子集Ai（i=1、2、3…n）（n≥2，n∈N+），使集合A中的每一個(gè)元素都屬于且僅屬于某一個(gè)子集。即滿足：

①A1∪A2∪A3∪…∪An=A

②Ai∩Aj=φ（i，j∈N+，且i≠j）

則稱對(duì)集合A進(jìn)行了一次科學(xué)的分類。

科學(xué)的分類需要具備這樣兩個(gè)條件：一是確保分類不能有遺漏，二是確保分類不能有重復(fù)，即通常所說(shuō)的不重不漏。在此基礎(chǔ)之上再根據(jù)題目的條件和性質(zhì)，做到盡可能減少分類。

二、確定分類標(biāo)準(zhǔn)

解題過(guò)程中如果已經(jīng)確定了需要分類討論的對(duì)象，那么接下來(lái)要做的就是以什么樣的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分類，這也是學(xué)生最困惑的地方，同時(shí)也是分類討論的關(guān)鍵。通常情況下我們可以從以下三個(gè)方面入手來(lái)分析確定分類的標(biāo)準(zhǔn)。

1.根據(jù)數(shù)學(xué)中的概念確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如：數(shù)學(xué)中的絕對(duì)值是這樣定義的：

a（a＞0）

│a│=?0（a=0）

-a（a＜0），因而在解

不等式│log?x│+│log?（3-x）│≥

1時(shí)，就要根據(jù)決定log?x和log?（3-

x）正負(fù)的x值1和2將定義域（0，3）分成三段區(qū)間進(jìn)行分類討論，即0＜

x＜1、1≤x≤2以及2＜x＜3三種情況分類討論。

例1?求函數(shù)y=│x+1│+│x-2│-

2的值域。

解：函數(shù)y=│x+1│+│x-2│-2的零點(diǎn)是x=-1和x=2，所以應(yīng)該以-1和2作為分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，將定義域R分成三段，即x＜-1，-1≤x≤2以及x＞2進(jìn)行分類討論：

?。┊?dāng)x＜-1時(shí)，y=-2x-1

ⅱ）當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，y=1

ⅲ）當(dāng)x＞2時(shí)，y=2x-3

綜上所述，

-2x-1（x＜-1）

y=?1（-1≤x≤2）

y=2x-3（x＞2），再由分段函數(shù)的圖象不難得出函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞）。

2.根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理、公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)

高中數(shù)學(xué)中的許多定理、公式和性質(zhì)，在條件發(fā)生變化時(shí)有著不同的結(jié)論，所以在使用過(guò)程中就要注意分類討論，分類討論的依據(jù)是定理、公式和性質(zhì)中的條件。

例如：等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式是分段給出的：

na1（q=1）

Sn=?—（q≠1），所以在解這類問(wèn)題時(shí)，如果q是可以變化的量，就要以q為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。又如，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性是以0＜a＜1和a＞1兩種情況分別定義的，所以在解底數(shù)中含有字母的對(duì)數(shù)不

等式時(shí)就要注意分類討論。比如logx—＞

-1就應(yīng)以底數(shù)0＜x＜1和x＞1進(jìn)行分類討論，即：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，—＜

—，當(dāng)x＞1時(shí)，—＞—。

3.根據(jù)解題中的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如：解不等式組

3＜x＜4

1＜x＜a，顯然，應(yīng)以3，4為標(biāo)準(zhǔn)將a分為1＜a≤3，3＜a≤4以及a＞4三種情況進(jìn)行討論。

例2?已知圓（x-2）2+（y-3）2=1，

求該圓與x軸和y軸的截距相等的切線l 的方程。

解：由題意設(shè)切線l與x軸和y軸的截距分別為a，b，則a=b，根據(jù)直線方程的適用范圍可知必須對(duì)截距a和b是否為零進(jìn)行討論：

ⅰ）若a=b≠0時(shí)，設(shè)l的方程為 —+—=1，即x+y-a=0，因?yàn)橹本€和圓相切，所以圓心（2，3）到直線l的距離等于圓的半徑，故—=1解

得a=5+√2或a=5-√2，所以l的方程為x+y-（5+√2）=0或x+y-（5-√2）=0

ⅱ）若a=b=0時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx，即kx-y=0，所以—=1，

解得k=—或k=—，所以l的方程為（6+2√3）x-3y=0或（6-2√3）x-3y=0

綜上所述：l的方程為x+y-（5+√2）=0或x+y-（5-√2）=0或（6+2√3）x-3y=0或（6-2√3）x-3y=0。

三、分類討論的方法和步驟

通常情況下運(yùn)用分類討論解題時(shí)的常規(guī)步驟應(yīng)分為：①確定是否需要分類討論以及需要討論時(shí)的對(duì)象和它的取值范圍；②確定分類標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理；③逐類進(jìn)行討論得出各類結(jié)果；④歸納各類結(jié)論。

例3? 已知函數(shù)f（x）=sin2x-asin2—（x∈R，a∈R），試用a表示f（x）的最大值。

解：原函數(shù)化為f（x）=-（cosx-

—）2+—，令t=cosx，則-1≤t≤1，

記f（t）=-（t-—）2+—，t∈[-1，

1]，因?yàn)槎魏瘮?shù)y=f（t）的最大值的取得與圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相對(duì)于定義域[-1，1]的位置密切相關(guān)，所以對(duì)—相對(duì)于區(qū)間[-1，1]的位置分三種情況討論：

?。┊?dāng)—＞1，即a＞4時(shí)， f（t）max=

0，此時(shí)t=1

ⅱ）當(dāng)-1≤—≤1，即-4≤a≤

4時(shí)， f（t）max=—，此時(shí)t=—

ⅲ）當(dāng) —＜-1，即a＜-4時(shí)，

f（t）max=-a ，此時(shí)t=1

綜上所述：

0（a＞4）

f（t）max=?—（-4≤a≤4）

-a（a＜-4）。

四、結(jié)束語(yǔ)

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，分類討論是一種非常重要的解題思想，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題目條件分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力很有幫助，同時(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、縝密性和靈活性的提高也有較大的幫助。以上只是筆者對(duì)教學(xué)過(guò)程中一些常見(jiàn)分類討論情況做的簡(jiǎn)單分析，實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中還有很多分類討論的標(biāo)準(zhǔn)和題型，要注意積累，類比分析，找出其規(guī)律和共性所在，總結(jié)出自己的心得才能對(duì)這類問(wèn)題迎刃而解。另外，值得注意的是，并不是所有含參數(shù)的問(wèn)題都得要分類討論，若能綜合利用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸以及數(shù)形結(jié)合等解題思想方法可簡(jiǎn)化或者避免分類討論，同樣可達(dá)到解題迅速、準(zhǔn)確的效果。