淺談參數(shù)問題的解答

陳達(dá)勇

參數(shù)問題，亦即含參問題，是高中數(shù)學(xué)的重要問題類型之一，也是近幾年來高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問題之一，學(xué)生普遍認(rèn)為難于應(yīng)對(duì)。從問題條件、結(jié)論的構(gòu)成來看，含參問題一般分為兩種類型，一種類型是根據(jù)參數(shù)在允許范圍內(nèi)的不同取值（或不同范圍），探求問題可能出現(xiàn)的每一種結(jié)果；另一種類型是給定問題的結(jié)論探求參數(shù)的取值范圍或值（后一種可以轉(zhuǎn)化為前一種）。筆者認(rèn)為，解決參數(shù)問題的方法是常規(guī)法結(jié)合分類討論法，若參數(shù)對(duì)結(jié)論有影響則要結(jié)合分類討論法，若無影響則用常規(guī)法即可。

在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)有多種情況，對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。解決第一種類型的參數(shù)問題，通常要用到分類討論的方法，它實(shí)際上是一種化整為零、各個(gè)擊破的解題策略和方法，其原則是：對(duì)象確定、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏、層次清晰、結(jié)論規(guī)范。此處就第一類問題的常見解題思想方法——分類與討論做一些淺顯的探討。

一、分類要科學(xué)合理

把一個(gè)集合P分成若干個(gè)非空真子集Pi（i=1，2，3…n）（n≥2，n∈N），使集合P中的每一個(gè)元素屬于且僅屬于某一個(gè)子集，即①P1∪P2∪P3∪…∪Pn＝P ②Pi∩Pj＝φ（i,j∈N,且i≠j），則稱對(duì)集合P進(jìn)行了一次科學(xué)合理的分類（或稱一次邏輯劃分）。合理的分類一定要滿足上述兩個(gè)條件：條件①保證分類不遺漏，條件②保證分類不重復(fù)。

二、分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一

在確定討論的對(duì)象之后，最困難的是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，一般來講，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有三種：

1.根據(jù)數(shù)學(xué)定義確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如：絕對(duì)值的定義是：|a|=a (a>0)0 (a=0)-a(a<0)

所以在解含有絕對(duì)值的不等式|log2x|+|log2(4－x)|≥1時(shí)，就必須根據(jù)令log2x、log2（4－x）為零的x值1和3將定義域（0，4）分成三個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論，即分0＜x＜1，1≤x＜3，3≤x＜4三種情況進(jìn)行討論。

例1：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為m，到直線L：x＝2的距離為n，且m+n＝4。

①求點(diǎn)M的軌跡方程。②過原點(diǎn)O作傾斜角為α的直線與點(diǎn)M的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，求弦長|PQ|的最大值及對(duì)應(yīng)的傾斜角α。

解：①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），依題意可得：■+|x-2|=4，根據(jù)絕對(duì)值的概念,軌跡方程取決于x≥2還是x<2，所以以2為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論可得軌跡方程為：y2=4(x+1)(-1≤x<2)-12(x-3)(2≤x≤3)

②如圖1，由于P，Q的位置變化，Q弦長|PQ|的表達(dá)式不同，故必須分點(diǎn)P，Q都在曲線y2=4(x+1)以及一點(diǎn)P在曲線y2=4(x+1)上而另一點(diǎn)在曲線y2=－12(x－3)上可求得：

|PQ|=■(■≤α≤■)■(0≤α≤■)■(■≤α≤π)

從而知當(dāng)α=■或α=■時(shí),|PQ|max=■.

2.根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理、公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)中的某些公式、定理、性質(zhì)在不同的條件下有不同的結(jié)論，在運(yùn)用它們時(shí)，常需分類討論。例如，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的單調(diào)性是分0＜a＜1和a＞1兩種情況給出的，所以在解底數(shù)中含有字母的不等式如logx■>－1時(shí)，就應(yīng)分底數(shù)x＞1和0＜x＜1兩種情況進(jìn)行討論，即：當(dāng)x＞1時(shí)，■>■, 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，■<■。又如，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式也是分情況給出的：Sn=na1 (q=1)■(q≠1)，所以在解這類問題時(shí)，如果q是可以變化的量，就要以q是否為1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。

例2：設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,又設(shè)Tn＝■，n＝1，2，…求■Tn

解：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n，Tn＝■,∴■Tn=1

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝■ Sn+1=■ Tn=■

于是當(dāng)0＜q＜1時(shí)，■qn=0,∴■Tn=1

當(dāng)q＞1時(shí)，■■=0,■Tn=■

綜上所述，■Tn=1(01)

3.根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如：解不等式組2

顯然，應(yīng)以2，5為標(biāo)準(zhǔn)將分為1＜m≤2，2＜m≤5，m＞5三種情況進(jìn)行討論。

例3：解關(guān)于x的不等式組loga2x<2logax(a-1)x2

解：由于不等式中均含有參數(shù)a，其解的狀況均取決于a＞1還是a＜1，所以以1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類：

（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可求得解為：■

（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，可解得：x>20

①當(dāng)1＜a≤3時(shí)解集為Φ

②當(dāng)a＞3時(shí)解集為(2,■)

綜上所述：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式解集為(■,2)；當(dāng)1＜a≤3時(shí)，解集為Φ；當(dāng)a＞3時(shí)，解集為(2,■)。

三、分類討論的步驟要層次分明、邏輯嚴(yán)密

1.確定是否需要分類討論以及明確討論對(duì)象和它的范圍。

2.確定統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類。

3.逐段逐類討論，獲得階段性結(jié)果。

4.歸納總結(jié)，得出結(jié)論。

分類討論下結(jié)論的形式有兩種：①分列式：針對(duì)參數(shù)分類討論的，且在不同條件下問題有不同的結(jié)論，歸納結(jié)論時(shí)應(yīng)采用分列式；②統(tǒng)一式：針對(duì)變量分類討論的，且每一類討論結(jié)果均是總結(jié)論的一個(gè)子集，歸納結(jié)論時(shí)應(yīng)采用統(tǒng)一式。

例4：若函數(shù)f（x）＝a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）和（■,1）兩點(diǎn)，且x∈[0,■]時(shí)，|f(x)|≤2恒成立，試求a的取值范圍。

解：由f（0）＝a+b＝1，f（■）＝a+c＝1，求得b＝c＝1－a

f（x）＝a+（1－a）（sinx+cosx）＝a+■（1－a）sin（x+■）

∵■≤x+■≤■,∴■≤sim≤(x+■)≤1

①當(dāng)a≤1時(shí)，1≤f（x）≤a＋■（1－a），∵|f（x）|≤2∴只要a+■（1－a）≤2，解得a≥■∴－■≤a≤1；

②當(dāng)a＞1時(shí)，a＋■（1－a）≤f（x）≤1，∴只要a＋■（1－a）≥－2，解得a≤4+3■,∴1＜a≤4+3■，綜合①②知實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－■，4+3■]。

分類討論是一種重要的解題策略，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而分類討論解題比較繁難，并不是問題中一出現(xiàn)參數(shù)就一定得分類討論，如果能利用其他數(shù)學(xué)思想方法避免分類討論的要盡量簡化和避免，從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確地解題。如下面的例子：

例5：解關(guān)于x的不等式：■≥a－x

略解：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題如圖：

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝■和y＝a－x的圖象，以l1,l2,l3在y軸上的截距作為分類標(biāo)準(zhǔn)，知：

當(dāng)a≤－1時(shí);-1≤x≤3

當(dāng)－1＜a≤3時(shí);

■≤x≤3

當(dāng)3＜a≤1+2■時(shí);

■≤x≤■

當(dāng)a＞1+2■時(shí)，不等式無解。

參數(shù)問題，亦即含參問題，是高中數(shù)學(xué)的重要問題類型之一，也是近幾年來高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問題之一，學(xué)生普遍認(rèn)為難于應(yīng)對(duì)。從問題條件、結(jié)論的構(gòu)成來看，含參問題一般分為兩種類型，一種類型是根據(jù)參數(shù)在允許范圍內(nèi)的不同取值（或不同范圍），探求問題可能出現(xiàn)的每一種結(jié)果；另一種類型是給定問題的結(jié)論探求參數(shù)的取值范圍或值（后一種可以轉(zhuǎn)化為前一種）。筆者認(rèn)為，解決參數(shù)問題的方法是常規(guī)法結(jié)合分類討論法，若參數(shù)對(duì)結(jié)論有影響則要結(jié)合分類討論法，若無影響則用常規(guī)法即可。

在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)有多種情況，對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。解決第一種類型的參數(shù)問題，通常要用到分類討論的方法，它實(shí)際上是一種化整為零、各個(gè)擊破的解題策略和方法，其原則是：對(duì)象確定、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏、層次清晰、結(jié)論規(guī)范。此處就第一類問題的常見解題思想方法——分類與討論做一些淺顯的探討。

一、分類要科學(xué)合理

把一個(gè)集合P分成若干個(gè)非空真子集Pi（i=1，2，3…n）（n≥2，n∈N），使集合P中的每一個(gè)元素屬于且僅屬于某一個(gè)子集，即①P1∪P2∪P3∪…∪Pn＝P ②Pi∩Pj＝φ（i,j∈N,且i≠j），則稱對(duì)集合P進(jìn)行了一次科學(xué)合理的分類（或稱一次邏輯劃分）。合理的分類一定要滿足上述兩個(gè)條件：條件①保證分類不遺漏，條件②保證分類不重復(fù)。

二、分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一

在確定討論的對(duì)象之后，最困難的是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，一般來講，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有三種：

1.根據(jù)數(shù)學(xué)定義確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如：絕對(duì)值的定義是：|a|=a (a>0)0 (a=0)-a(a<0)

所以在解含有絕對(duì)值的不等式|log2x|+|log2(4－x)|≥1時(shí)，就必須根據(jù)令log2x、log2（4－x）為零的x值1和3將定義域（0，4）分成三個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論，即分0＜x＜1，1≤x＜3，3≤x＜4三種情況進(jìn)行討論。

例1：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為m，到直線L：x＝2的距離為n，且m+n＝4。

①求點(diǎn)M的軌跡方程。②過原點(diǎn)O作傾斜角為α的直線與點(diǎn)M的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，求弦長|PQ|的最大值及對(duì)應(yīng)的傾斜角α。

解：①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），依題意可得：■+|x-2|=4，根據(jù)絕對(duì)值的概念,軌跡方程取決于x≥2還是x<2，所以以2為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論可得軌跡方程為：y2=4(x+1)(-1≤x<2)-12(x-3)(2≤x≤3)

②如圖1，由于P，Q的位置變化，Q弦長|PQ|的表達(dá)式不同，故必須分點(diǎn)P，Q都在曲線y2=4(x+1)以及一點(diǎn)P在曲線y2=4(x+1)上而另一點(diǎn)在曲線y2=－12(x－3)上可求得：

|PQ|=■(■≤α≤■)■(0≤α≤■)■(■≤α≤π)

從而知當(dāng)α=■或α=■時(shí),|PQ|max=■.

2.根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理、公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)中的某些公式、定理、性質(zhì)在不同的條件下有不同的結(jié)論，在運(yùn)用它們時(shí)，常需分類討論。例如，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的單調(diào)性是分0＜a＜1和a＞1兩種情況給出的，所以在解底數(shù)中含有字母的不等式如logx■>－1時(shí)，就應(yīng)分底數(shù)x＞1和0＜x＜1兩種情況進(jìn)行討論，即：當(dāng)x＞1時(shí)，■>■, 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，■<■。又如，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式也是分情況給出的：Sn=na1 (q=1)■(q≠1)，所以在解這類問題時(shí)，如果q是可以變化的量，就要以q是否為1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。

例2：設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,又設(shè)Tn＝■，n＝1，2，…求■Tn

解：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n，Tn＝■,∴■Tn=1

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝■ Sn+1=■ Tn=■

于是當(dāng)0＜q＜1時(shí)，■qn=0,∴■Tn=1

當(dāng)q＞1時(shí)，■■=0,■Tn=■

綜上所述，■Tn=1(01)

3.根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如：解不等式組2

顯然，應(yīng)以2，5為標(biāo)準(zhǔn)將分為1＜m≤2，2＜m≤5，m＞5三種情況進(jìn)行討論。

例3：解關(guān)于x的不等式組loga2x<2logax(a-1)x2

解：由于不等式中均含有參數(shù)a，其解的狀況均取決于a＞1還是a＜1，所以以1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類：

（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可求得解為：■

（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，可解得：x>20

①當(dāng)1＜a≤3時(shí)解集為Φ

②當(dāng)a＞3時(shí)解集為(2,■)

綜上所述：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式解集為(■,2)；當(dāng)1＜a≤3時(shí)，解集為Φ；當(dāng)a＞3時(shí)，解集為(2,■)。

三、分類討論的步驟要層次分明、邏輯嚴(yán)密

1.確定是否需要分類討論以及明確討論對(duì)象和它的范圍。

2.確定統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類。

3.逐段逐類討論，獲得階段性結(jié)果。

4.歸納總結(jié)，得出結(jié)論。

分類討論下結(jié)論的形式有兩種：①分列式：針對(duì)參數(shù)分類討論的，且在不同條件下問題有不同的結(jié)論，歸納結(jié)論時(shí)應(yīng)采用分列式；②統(tǒng)一式：針對(duì)變量分類討論的，且每一類討論結(jié)果均是總結(jié)論的一個(gè)子集，歸納結(jié)論時(shí)應(yīng)采用統(tǒng)一式。

例4：若函數(shù)f（x）＝a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）和（■,1）兩點(diǎn)，且x∈[0,■]時(shí)，|f(x)|≤2恒成立，試求a的取值范圍。

解：由f（0）＝a+b＝1，f（■）＝a+c＝1，求得b＝c＝1－a

f（x）＝a+（1－a）（sinx+cosx）＝a+■（1－a）sin（x+■）

∵■≤x+■≤■,∴■≤sim≤(x+■)≤1

①當(dāng)a≤1時(shí)，1≤f（x）≤a＋■（1－a），∵|f（x）|≤2∴只要a+■（1－a）≤2，解得a≥■∴－■≤a≤1；

②當(dāng)a＞1時(shí)，a＋■（1－a）≤f（x）≤1，∴只要a＋■（1－a）≥－2，解得a≤4+3■,∴1＜a≤4+3■，綜合①②知實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－■，4+3■]。

分類討論是一種重要的解題策略，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而分類討論解題比較繁難，并不是問題中一出現(xiàn)參數(shù)就一定得分類討論，如果能利用其他數(shù)學(xué)思想方法避免分類討論的要盡量簡化和避免，從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確地解題。如下面的例子：

例5：解關(guān)于x的不等式：■≥a－x

略解：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題如圖：

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝■和y＝a－x的圖象，以l1,l2,l3在y軸上的截距作為分類標(biāo)準(zhǔn)，知：

當(dāng)a≤－1時(shí);-1≤x≤3

當(dāng)－1＜a≤3時(shí);

■≤x≤3

當(dāng)3＜a≤1+2■時(shí);

■≤x≤■

當(dāng)a＞1+2■時(shí)，不等式無解。

參數(shù)問題，亦即含參問題，是高中數(shù)學(xué)的重要問題類型之一，也是近幾年來高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問題之一，學(xué)生普遍認(rèn)為難于應(yīng)對(duì)。從問題條件、結(jié)論的構(gòu)成來看，含參問題一般分為兩種類型，一種類型是根據(jù)參數(shù)在允許范圍內(nèi)的不同取值（或不同范圍），探求問題可能出現(xiàn)的每一種結(jié)果；另一種類型是給定問題的結(jié)論探求參數(shù)的取值范圍或值（后一種可以轉(zhuǎn)化為前一種）。筆者認(rèn)為，解決參數(shù)問題的方法是常規(guī)法結(jié)合分類討論法，若參數(shù)對(duì)結(jié)論有影響則要結(jié)合分類討論法，若無影響則用常規(guī)法即可。

在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)有多種情況，對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。解決第一種類型的參數(shù)問題，通常要用到分類討論的方法，它實(shí)際上是一種化整為零、各個(gè)擊破的解題策略和方法，其原則是：對(duì)象確定、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏、層次清晰、結(jié)論規(guī)范。此處就第一類問題的常見解題思想方法——分類與討論做一些淺顯的探討。

一、分類要科學(xué)合理

把一個(gè)集合P分成若干個(gè)非空真子集Pi（i=1，2，3…n）（n≥2，n∈N），使集合P中的每一個(gè)元素屬于且僅屬于某一個(gè)子集，即①P1∪P2∪P3∪…∪Pn＝P ②Pi∩Pj＝φ（i,j∈N,且i≠j），則稱對(duì)集合P進(jìn)行了一次科學(xué)合理的分類（或稱一次邏輯劃分）。合理的分類一定要滿足上述兩個(gè)條件：條件①保證分類不遺漏，條件②保證分類不重復(fù)。

二、分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一

在確定討論的對(duì)象之后，最困難的是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，一般來講，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有三種：

1.根據(jù)數(shù)學(xué)定義確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如：絕對(duì)值的定義是：|a|=a (a>0)0 (a=0)-a(a<0)

所以在解含有絕對(duì)值的不等式|log2x|+|log2(4－x)|≥1時(shí)，就必須根據(jù)令log2x、log2（4－x）為零的x值1和3將定義域（0，4）分成三個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論，即分0＜x＜1，1≤x＜3，3≤x＜4三種情況進(jìn)行討論。

例1：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為m，到直線L：x＝2的距離為n，且m+n＝4。

①求點(diǎn)M的軌跡方程。②過原點(diǎn)O作傾斜角為α的直線與點(diǎn)M的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，求弦長|PQ|的最大值及對(duì)應(yīng)的傾斜角α。

解：①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），依題意可得：■+|x-2|=4，根據(jù)絕對(duì)值的概念,軌跡方程取決于x≥2還是x<2，所以以2為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論可得軌跡方程為：y2=4(x+1)(-1≤x<2)-12(x-3)(2≤x≤3)

②如圖1，由于P，Q的位置變化，Q弦長|PQ|的表達(dá)式不同，故必須分點(diǎn)P，Q都在曲線y2=4(x+1)以及一點(diǎn)P在曲線y2=4(x+1)上而另一點(diǎn)在曲線y2=－12(x－3)上可求得：

|PQ|=■(■≤α≤■)■(0≤α≤■)■(■≤α≤π)

從而知當(dāng)α=■或α=■時(shí),|PQ|max=■.

2.根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理、公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)中的某些公式、定理、性質(zhì)在不同的條件下有不同的結(jié)論，在運(yùn)用它們時(shí)，常需分類討論。例如，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的單調(diào)性是分0＜a＜1和a＞1兩種情況給出的，所以在解底數(shù)中含有字母的不等式如logx■>－1時(shí)，就應(yīng)分底數(shù)x＞1和0＜x＜1兩種情況進(jìn)行討論，即：當(dāng)x＞1時(shí)，■>■, 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，■<■。又如，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式也是分情況給出的：Sn=na1 (q=1)■(q≠1)，所以在解這類問題時(shí)，如果q是可以變化的量，就要以q是否為1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。

例2：設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,又設(shè)Tn＝■，n＝1，2，…求■Tn

解：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n，Tn＝■,∴■Tn=1

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝■ Sn+1=■ Tn=■

于是當(dāng)0＜q＜1時(shí)，■qn=0,∴■Tn=1

當(dāng)q＞1時(shí)，■■=0,■Tn=■

綜上所述，■Tn=1(01)

3.根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如：解不等式組2

顯然，應(yīng)以2，5為標(biāo)準(zhǔn)將分為1＜m≤2，2＜m≤5，m＞5三種情況進(jìn)行討論。

例3：解關(guān)于x的不等式組loga2x<2logax(a-1)x2

解：由于不等式中均含有參數(shù)a，其解的狀況均取決于a＞1還是a＜1，所以以1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類：

（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可求得解為：■

（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，可解得：x>20

①當(dāng)1＜a≤3時(shí)解集為Φ

②當(dāng)a＞3時(shí)解集為(2,■)

綜上所述：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式解集為(■,2)；當(dāng)1＜a≤3時(shí)，解集為Φ；當(dāng)a＞3時(shí)，解集為(2,■)。

三、分類討論的步驟要層次分明、邏輯嚴(yán)密

1.確定是否需要分類討論以及明確討論對(duì)象和它的范圍。

2.確定統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類。

3.逐段逐類討論，獲得階段性結(jié)果。

4.歸納總結(jié)，得出結(jié)論。

分類討論下結(jié)論的形式有兩種：①分列式：針對(duì)參數(shù)分類討論的，且在不同條件下問題有不同的結(jié)論，歸納結(jié)論時(shí)應(yīng)采用分列式；②統(tǒng)一式：針對(duì)變量分類討論的，且每一類討論結(jié)果均是總結(jié)論的一個(gè)子集，歸納結(jié)論時(shí)應(yīng)采用統(tǒng)一式。

例4：若函數(shù)f（x）＝a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）和（■,1）兩點(diǎn)，且x∈[0,■]時(shí)，|f(x)|≤2恒成立，試求a的取值范圍。

解：由f（0）＝a+b＝1，f（■）＝a+c＝1，求得b＝c＝1－a

f（x）＝a+（1－a）（sinx+cosx）＝a+■（1－a）sin（x+■）

∵■≤x+■≤■,∴■≤sim≤(x+■)≤1

①當(dāng)a≤1時(shí)，1≤f（x）≤a＋■（1－a），∵|f（x）|≤2∴只要a+■（1－a）≤2，解得a≥■∴－■≤a≤1；

②當(dāng)a＞1時(shí)，a＋■（1－a）≤f（x）≤1，∴只要a＋■（1－a）≥－2，解得a≤4+3■,∴1＜a≤4+3■，綜合①②知實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－■，4+3■]。

分類討論是一種重要的解題策略，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而分類討論解題比較繁難，并不是問題中一出現(xiàn)參數(shù)就一定得分類討論，如果能利用其他數(shù)學(xué)思想方法避免分類討論的要盡量簡化和避免，從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確地解題。如下面的例子：

例5：解關(guān)于x的不等式：■≥a－x

略解：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題如圖：

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝■和y＝a－x的圖象，以l1,l2,l3在y軸上的截距作為分類標(biāo)準(zhǔn)，知：

當(dāng)a≤－1時(shí);-1≤x≤3

當(dāng)－1＜a≤3時(shí);

■≤x≤3

當(dāng)3＜a≤1+2■時(shí);

■≤x≤■

當(dāng)a＞1+2■時(shí)，不等式無解。