混沌分形的計(jì)算機(jī)模擬

左常玲，傅廷亮

（安徽三聯(lián)學(xué)院 信息與通信技術(shù)系，安徽 合肥 230601）

混沌分形的計(jì)算機(jī)模擬

左常玲，傅廷亮

（安徽三聯(lián)學(xué)院 信息與通信技術(shù)系，安徽 合肥 230601）

混沌和分形吸引子的研究是較為復(fù)雜的，在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以前觀察混沌吸引子的動(dòng)態(tài)演化幾乎不可能.這類(lèi)吸引子以其特殊形狀及內(nèi)在復(fù)雜性而成為分形領(lǐng)域的一大難題，但借助計(jì)算機(jī)的可視化軟件，人們可以交互地觀察吸引子的演化，對(duì)吸引子的研究起到了極大作用.本文從數(shù)學(xué)原理及計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)角度研究了由微分方程產(chǎn)生的混沌分形，提出了合理的圖形繪制算法，使用OpenGL編制出交互程序，并以Lorentz吸引子和Ueda吸引子為例分別繪出其三維演化圖形.

混沌；分形；程序設(shè)計(jì)；吸引子；微分方程

1 引言

分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新學(xué)科，其概念是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德布羅德（B.B. Mandelbort）首先提出的.分形一詞英文為Fractal，是由拉丁語(yǔ)Frangere一詞創(chuàng)造而成，該詞本身具有“破碎”和“不規(guī)則”兩個(gè)含義.分形學(xué)科的發(fā)展，主要有兩個(gè)方面：一方面是科學(xué)與自然中的許多現(xiàn)實(shí)例子的相似性得到了驗(yàn)證；另一方面，隨著分形分析新工具的產(chǎn)生，用于研究分形集的數(shù)學(xué)理論與方法有了巨大的發(fā)展，其中大部分源自幾何測(cè)度論.

分形理論是非線性科學(xué)的前沿和重要分支，作為一種方法論和認(rèn)識(shí)論,其啟示是多方面的:分形整體與局部形態(tài)的相似,啟發(fā)人們通過(guò)認(rèn)識(shí)部分來(lái)認(rèn)識(shí)整體,從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限；分形揭示了介于整體與部分、有序與無(wú)序、復(fù)雜與簡(jiǎn)單之間的新形態(tài)、新秩序；分形幾何的主要價(jià)值在于它在極端有序和真正混沌之間提供了一種可能性.分形最顯著的性質(zhì)是：本來(lái)看似十分復(fù)雜的事物，事實(shí)上大多數(shù)均可用僅含很少參數(shù)的簡(jiǎn)單公式來(lái)描述.其實(shí)這個(gè)簡(jiǎn)單并不那么簡(jiǎn)單，它蘊(yùn)含著復(fù)雜.分形幾何中的迭代法為我們提供了認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單與復(fù)雜辯證關(guān)系的生動(dòng)例子[1-4].

2 混沌的定義

人們做了各種努力企圖給分形一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，但是這些定義都很難適用于一般的情形.最常規(guī)的描述是，如果一個(gè)歐幾里得空間中的集合具有下面所說(shuō)的全部或大部分性質(zhì)，它就是分形：

該集合具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即有任意小比例的不規(guī)則細(xì)節(jié).

該集合是如此的不規(guī)則，以至于無(wú)論它的局部或整體都不能用微積分或傳統(tǒng)的集合語(yǔ)言來(lái)描述.

該集合具有某種統(tǒng)計(jì)或近似意義上的自相似或自仿射性質(zhì).

該集合的分形維數(shù)嚴(yán)格大于它的幾何拓?fù)渚S數(shù).

分形理論的基礎(chǔ)是分形幾何，而分形幾何中復(fù)雜的分支莫過(guò)于由微分方程的解逼近的混沌吸引子.分形幾何主要研究吸引子在空間上的結(jié)構(gòu)，它和混沌有共同的數(shù)學(xué)祖先——?jiǎng)恿ο到y(tǒng).如果把非線性動(dòng)力系統(tǒng)看成是一個(gè)不穩(wěn)定的發(fā)散過(guò)程，那么由迭代法生成分形吸引子正好是一個(gè)穩(wěn)定的收斂過(guò)程.有的混沌學(xué)家說(shuō)，混沌是時(shí)間上的分形，而分形是時(shí)間上的混沌.混沌具有兩個(gè)特征：第一個(gè)特征是系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)初始條件的靈敏依賴性，即初始條件的微小差別會(huì)隨時(shí)間的演化呈指數(shù)增長(zhǎng).換言之，如果初始條件只有有限的精度，則隨時(shí)間的增長(zhǎng)，其狀態(tài)的精度將變得越來(lái)越差，最終不可接受和長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)；混沌的第二個(gè)特征是其吸引子具有奇異吸引子結(jié)構(gòu).奇異吸引子又叫隨機(jī)吸引子，它位于空間中，具有分?jǐn)?shù)維，其軌線形狀極其復(fù)雜，并具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性.隨著時(shí)間的演化，其軌線是不重疊的.奇異吸引子最典型的特征是其具有無(wú)窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)，即取出吸引子中的一小部分進(jìn)行放大，它具有與原吸引子相同的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，在將放大后的吸引子取出一小部分再放大，它仍然具有與原吸引子相同的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，如此循環(huán)，以至無(wú)窮.當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)具備這兩個(gè)特征時(shí)，則認(rèn)為該系統(tǒng)存在混沌[5，6].

動(dòng)力系統(tǒng)的奇異吸引子通常都是分形集，它們產(chǎn)生于非線性函數(shù)的迭代和非線性微分方程中. 1963年，氣象學(xué)家洛倫茲（E.N.Lorentz）在研究流體的對(duì)流運(yùn)動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了以他的名字命名的第一個(gè)奇異吸引子，它是一個(gè)典型的分形集.1976年，法國(guó)天文學(xué)家伊儂（M.Henon）考慮標(biāo)準(zhǔn)二次映射迭代系統(tǒng)時(shí)獲得伊儂吸引子，它具有某種自相似性和分形性質(zhì).1986年勞威爾（H.A.Lauwerier）將斯梅爾的馬蹄映射變形成勞威爾映射，其迭代下不穩(wěn)定流形的極限集成為典型的奇異吸引子，它與水平線的截面為康托集.其后又有諸多的新發(fā)現(xiàn).動(dòng)力系統(tǒng)中另一類(lèi)分形集來(lái)源于復(fù)平面上解析映射的迭代.朱利亞（G.Julia）和法圖（P.Fatou）于1918-1919年間開(kāi)創(chuàng)這一研究.他們發(fā)現(xiàn)，解析映射的迭代把復(fù)平面劃分成兩部分，一部分為法圖集，另一部分為朱利亞集（J集）.他們?cè)谔幚磉@一問(wèn)題時(shí)還沒(méi)有計(jì)算機(jī)，完全依賴于他們自身固有的想象力，因此他們的智力成就受到局限.隨后50年間，這方面的研究沒(méi)有得到什么進(jìn)展.隨著可用機(jī)算機(jī)來(lái)做實(shí)驗(yàn)，這一研究課題才又獲得生機(jī).1980年，曼德?tīng)柌剂_特用計(jì)算機(jī)繪出用他名字命名的曼德?tīng)柌剂_特集（M集）的第一張圖來(lái).其后道迪（A.Douady）構(gòu)造了含參二次復(fù)映射fc，其朱利亞集J（fc）隨參數(shù)C的變化呈現(xiàn)各種各樣的分形圖象，茹厄勒（D.Ruelle），茄勒特（L.Garnett）等人都在這一領(lǐng)域取得很好的成果，由于篇幅所限，在此不一一列出.

3 關(guān)于OpenGL

在使用迭代方程組方法模擬混沌吸引子過(guò)程中存在誤差，只能繪制出方程解得近似圖形，且由于計(jì)算機(jī)時(shí)間及空間的限制，要想展現(xiàn)一個(gè)吸引子的全貌幾乎是不可能的.可行的方法是：提供一個(gè)交互的環(huán)境，允許用戶在空間內(nèi)以任意的角度進(jìn)行觀察，并且可以指定迭代運(yùn)算的精度，顯示吸引子的演變軌跡圖形.

在可視化交互式程序設(shè)計(jì)環(huán)境中,OpenGL是個(gè)很好的解決方案，它的兼容性好，能在不同的平臺(tái)下運(yùn)行.OpenGL實(shí)際上是一種圖形與硬件的接口.它包括了120個(gè)圖形函數(shù),開(kāi)發(fā)者可以用這些函數(shù)來(lái)建立三維模型和進(jìn)行三維實(shí)時(shí)交互.與其它圖形程序設(shè)計(jì)接口不同,OpenGL提供了十分清晰明了的圖形函數(shù)，因此初學(xué)者也能利用OpenGL的圖形處理能力和1670萬(wàn)種色彩的調(diào)色板設(shè)計(jì)出三維圖形以及三維交互軟件.OpenGL強(qiáng)有力的圖形函數(shù)不要求開(kāi)發(fā)者把三維物體模型的數(shù)據(jù)寫(xiě)成固定的數(shù)據(jù)格式，允許開(kāi)發(fā)者利用其它不同格式的數(shù)據(jù)源.這種靈活性極大地節(jié)省了開(kāi)發(fā)者的時(shí)間,提高了軟件開(kāi)發(fā)速度.OpenGL正是提供了這種直觀的編程環(huán)境和一系列函數(shù)，大大地簡(jiǎn)化了三維圖形程序.

在用OpenGL編制圖形程序時(shí)要建立圖形和數(shù)字之間的聯(lián)系，為了使被顯示的物體數(shù)字化，要在被顯示的物體所在的空間中定義一個(gè)坐標(biāo)系.這個(gè)坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位和坐標(biāo)軸的方向要適合對(duì)被顯示物體的描述，這個(gè)坐標(biāo)系稱(chēng)為世界坐標(biāo)系.計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)字化的顯示物體使用二維直角坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系稱(chēng)為屏幕坐標(biāo)系.

投影變換是一種很關(guān)鍵的圖形變換，OpenGL中只提供了兩種投影方式，一種是正射投影，另一種是透視投影.圖1所示的是正射投影，圖2所示的是透視投影.

圖1 正射投影示意圖

圖2 透視投影示意圖

4 分形圖形的算法和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)

至今人們已發(fā)現(xiàn)眾多的奇異吸引子，本文只對(duì)Lorentz吸引子和Ueda吸引子進(jìn)行模擬，從各個(gè)不同的角度得到了許多演變圖形.Lorentz吸引子和Ueda吸引子都是典型的分形集，法國(guó)天文學(xué)家伊儂考慮標(biāo)準(zhǔn)二次映射迭代系統(tǒng)時(shí)獲得伊儂吸引子也具有某種自相似性和分形性質(zhì).在研究非線性方程演化過(guò)程時(shí)，迭代法是可用的工具.我們可以用一組變量來(lái)描述一個(gè)物理系統(tǒng)的狀態(tài)，這些變量都是時(shí)間t的函數(shù)，在所研究的系統(tǒng)中還存在某些可以調(diào)節(jié)的“控制參量”，它們可能影響系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài).最簡(jiǎn)單的情景是固定一組參量，把時(shí)間變量離散成一系列的等間隔的時(shí)間步長(zhǎng)△t，計(jì)算各時(shí)間段的系統(tǒng)狀態(tài)如何變化.在只有一個(gè)狀態(tài)變量x時(shí)，這個(gè)演化過(guò)程可以由一個(gè)非線性函數(shù)描述.對(duì)系統(tǒng)方程進(jìn)行多次迭代求解，得到一系列的結(jié)果數(shù)據(jù)，繪出系統(tǒng)時(shí)間演變的變化圖形（見(jiàn)后面圖3，圖4，圖5和圖6），從圖上看，結(jié)果圖形看起來(lái)顯得模糊“混沌”，通常人們稱(chēng)其為周期性的混沌帶.混沌帶并非亂成一片，從混沌帶中不少透明處清楚地看到存在著多點(diǎn)周期.考察每個(gè)窗口開(kāi)始的邊界附近的情況就會(huì)發(fā)現(xiàn)，雖然運(yùn)動(dòng)軌道總體上是混亂的，但迭代的絕大多數(shù)點(diǎn)集中在周期軌道開(kāi)始發(fā)生的點(diǎn)附近.如圖3那樣把迭代的值和迭代次數(shù)（即時(shí)間）畫(huà)出圖形，則清楚地看到圖中出現(xiàn)一陣混沌，一陣規(guī)則的所謂陣發(fā)（間歇）現(xiàn)象.研究發(fā)現(xiàn)，以上迭代具有極大的普遍性，很多其它的非線性系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的過(guò)程、混沌中的窗口情形、自相似結(jié)構(gòu)等等都與一維迭代類(lèi)似，因?yàn)樗梢苑从吵鰪?fù)雜性現(xiàn)象中的內(nèi)在規(guī)律性.

結(jié)合本文的需求與OpenGL的特性，我們采用了更加通用的方式去編寫(xiě)程序：先實(shí)現(xiàn)一個(gè)通用的3D引擎，然后在上面進(jìn)一步開(kāi)發(fā)出專(zhuān)用的分形庫(kù).

其基礎(chǔ)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)接口如下（由于程序代碼太多，此處只列出很少的實(shí)例）：

該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的好處在于，不使用額外空間，與傳統(tǒng)的C語(yǔ)言數(shù)組完全兼容，且向上兼容boost庫(kù)和STL.在性能方面，通常操作都與傳統(tǒng)的C語(yǔ)言數(shù)組性能相當(dāng)，在矩陣乘法等算法上沒(méi)有特殊優(yōu)化，使用接口設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單明了.此外，使用傳統(tǒng)數(shù)組的程序可以十分方便的轉(zhuǎn)由vector代理，幾乎不用付出什么代價(jià)，還能得到良好的兼容性.

5 程序運(yùn)行的結(jié)果

本文用程序?qū)orenz吸引子和Ueda吸引子進(jìn)行模擬后給出以下的圖形顯示，操作者可方便的通過(guò)指點(diǎn)設(shè)備與程序參數(shù)進(jìn)行不同視點(diǎn)的觀察和互動(dòng)，動(dòng)態(tài)地調(diào)整參數(shù)，顯示多幅三維演變圖形.圖3、圖4是Lorenz吸引子的圖象，Lorenz吸引子由以下方程給出：

其中σ,r,b是正的參數(shù)，這是一個(gè)自治的三階方程.當(dāng)參數(shù)不同時(shí)，方程的狀態(tài)就不同.

圖3 Lorentz attractor在混沌態(tài)的三滅點(diǎn)透視圖像

圖4 Lorentz attractor在混沌態(tài)的三滅點(diǎn)透視圖像Z-axis

該方程可化為：

其中，

(a=1,b=1,c=1.5,A=0.3)

圖5 Ueda attractor在混沌態(tài)的三滅點(diǎn)透視圖像

圖6 Ueda attractor在臨界態(tài)的三滅點(diǎn)透視圖像

6 結(jié)束語(yǔ)

混沌分形吸引子的細(xì)節(jié)是無(wú)窮無(wú)盡的，而人們可以通過(guò)有限的部分去認(rèn)識(shí)這些無(wú)限的整體，分形本身帶來(lái)的影響是不可估量的，但更重要的是，通過(guò)對(duì)它的研究，導(dǎo)致了許多新思想、新工具的誕生，本文正是在有限的計(jì)算機(jī)環(huán)境下去模擬復(fù)雜的分形，希望在分形的研究領(lǐng)域起到拋磚引玉的作用.

〔1〕劉華杰.分形藝術(shù)[M].湖南：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1998.18-96.

〔2〕KJ Falconer.Techniques in Fractal Geometry [M].ISBN 7-81054-393-8,July 1997.58-112.

〔3〕BB Mandelbrot,DE Passoja,AJPaullay.Fractal Character of Fracture Surfaces of Metals[J]. Nature,1984，308(19):721-722.

〔4〕JM Sm ith.Fundamentals of Fractals of Engineers and Scientists[M].John W iley&Sons,1991: 125-208.

〔5〕齊東旭.分形及其計(jì)算機(jī)生成[M].北京：科學(xué)出版社，1994.25-102.

〔6〕鐘云霄.混沌與分形淺談[M].北京：北京大學(xué)出版社，2010.20-65.

TP391.41

A

1673-260X（2014）04-0027-04

安徽三聯(lián)學(xué)院質(zhì)量工程教學(xué)研究基金項(xiàng)目（NO.12zlgc011）;安徽省高等教育振興計(jì)劃新專(zhuān)業(yè)建設(shè)項(xiàng)目（2013zypz082)