基于全息法的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究及應(yīng)用

李蘭平

（湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖南 長(zhǎng)沙 410205）

基于全息法的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究及應(yīng)用

李蘭平

（湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖南 長(zhǎng)沙 410205）

全息法由于反映了內(nèi)在聯(lián)系，能夠拓展概念加強(qiáng)理解和記憶，在學(xué)科教學(xué)中得到了重視.基于全息法的思想，本文探討其在大學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.通過(guò)探討全息元在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用認(rèn)為通過(guò)全息元的理解和在大學(xué)教學(xué)思想中的滲透，必將一方面調(diào)動(dòng)起學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，另一方面提高學(xué)生的邏輯思維能力.

數(shù)學(xué)教學(xué)；全息元；數(shù)學(xué)全息

1 引言

近年來(lái)隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，越來(lái)越多的領(lǐng)域需要大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，然而傳統(tǒng)的教學(xué)方法已經(jīng)逐漸顯示出弊端，加上大學(xué)擴(kuò)招生源質(zhì)量的下降，如何提高新時(shí)代大學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣盡可能多地吸收到大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓儼然成了當(dāng)今大學(xué)數(shù)學(xué)教育面臨的嚴(yán)峻挑戰(zhàn).

全息(Holography)指事物之間包含相同或相似程度較大的信息，其最早起源于物理學(xué)由Dayid Bohm提出，其核心思想是宇宙是一個(gè)不可分割的，各部分之間的緊密關(guān)聯(lián)的整體，任何一個(gè)部分都包含整體的信息.文獻(xiàn)[1]給出了全息的含義“部分(子系統(tǒng))與部分，部分與整體(母系統(tǒng))之間包含相同的信息或部分包含整體的全部信息”.隨著信息時(shí)代的到來(lái)，全息理論已經(jīng)被應(yīng)用到各個(gè)學(xué)科的教學(xué)中，如全息生物學(xué)、全息數(shù)學(xué)等.全息數(shù)學(xué)在中學(xué)的試行也顯示了其強(qiáng)大的生命力和優(yōu)勢(shì).近年來(lái)關(guān)于全息法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的研究也引起了很多數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注.如文獻(xiàn)[2]受宇宙全息律定義的啟發(fā)，定義了數(shù)學(xué)全息律，并指出以數(shù)學(xué)全息元為起點(diǎn)，利用數(shù)學(xué)全息律進(jìn)行數(shù)學(xué)科研與教學(xué)的方法就是數(shù)學(xué)全息方法．并給出了利用周期研究時(shí)間函數(shù)和利用“生成元”研究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)這兩個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)全息方法的事例，指出數(shù)學(xué)全息方法對(duì)于促進(jìn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造和數(shù)學(xué)教學(xué)方面起著重要的作用．文獻(xiàn)[3]研究了全息理論在線(xiàn)性代數(shù)課程教學(xué)中的應(yīng)用，并通過(guò)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)得出了借助相關(guān)數(shù)學(xué)全息元，不但有助于全方位地把握線(xiàn)性代數(shù)課程內(nèi)容；還有助于合理組織線(xiàn)性代數(shù)課程教學(xué)，并且有利于學(xué)生對(duì)課程的數(shù)學(xué)思想和方法的理解；文獻(xiàn)[4-6]分別通過(guò)實(shí)例探討了全息法在大學(xué)數(shù)學(xué)概念、定理教學(xué)中的應(yīng)用.指出運(yùn)用全息方法進(jìn)行大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有利于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力；文獻(xiàn)[7]基于全息理論視角，針對(duì)當(dāng)前存在于課堂教學(xué)評(píng)價(jià)中存在的缺陷，建立一個(gè)可操作的全息課堂教學(xué)評(píng)價(jià)技術(shù)框架.由以上可知，許多數(shù)學(xué)教育工作者全息理論在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性有了充分的認(rèn)識(shí)，但是在操作層面上，只舉例出高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念，定理教學(xué)中的應(yīng)用.但對(duì)一些全息理論的基本特征，如局部是整體的全息元、已知是未知的全息元、有限是無(wú)限的全息元；數(shù)形互為全息元、好的數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，是質(zhì)高量大的數(shù)學(xué)思維，方法，技巧的全息等方面的研究還很少.因此本文將研究大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的各類(lèi)全息現(xiàn)象，探討大學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的各類(lèi)特殊的全息元以及這些全息元在整個(gè)大學(xué)過(guò)程中的作用.利用全息元理論將整個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)課程進(jìn)行有機(jī)的連接，達(dá)到教師對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)更加得心應(yīng)手，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中學(xué)會(huì)主動(dòng)思考并逐漸培養(yǎng)起數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的目的.數(shù)學(xué)全息現(xiàn)象[1]是指某一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)G在性質(zhì)下的一子系統(tǒng)能夠反映整個(gè)結(jié)構(gòu)G.在數(shù)學(xué)全息現(xiàn)象中，反映整個(gè)結(jié)構(gòu)G的相對(duì)獨(dú)立部分g稱(chēng)為數(shù)學(xué)全息元.

2 全息元在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

2.1 局部是整體的全息元

文獻(xiàn)[8]指出全息性邏輯思維是大學(xué)數(shù)學(xué)的精髓，其構(gòu)成的兩大要素為局部信息和整體信息，而局部信息又稱(chēng)為數(shù)學(xué)全息元.數(shù)學(xué)全息元是數(shù)學(xué)直覺(jué)產(chǎn)生的客觀(guān)基礎(chǔ)，要善于捕捉數(shù)學(xué)信息元，提高數(shù)學(xué)猜想能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中正確運(yùn)用數(shù)學(xué)全息性邏輯思維進(jìn)行教學(xué)，既可以提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率，又可以提高學(xué)生的全息性邏輯思維能力.在高等數(shù)學(xué)中，運(yùn)用全息性邏輯思維觀(guān)點(diǎn)分析和解答問(wèn)題時(shí)，必須深刻理解“局部信息”和“整體信息”.若用“部分”來(lái)展示“整體的信息”，那么首先，“部分”要有資格.其次，所要展示的“整體信息”的“檔次”愈高，它的“部分信息”的“資格”要求也愈高.在高等數(shù)學(xué)中一個(gè)典型的例子就是函數(shù)圖像的描繪.我們通過(guò)描繪函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)（極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、以及是函數(shù)沒(méi)有定義的點(diǎn)）加上函數(shù)圖像在各區(qū)間上的單調(diào)性、凹凸性就阿可以描繪出了整個(gè)函數(shù)的基本形狀，因?yàn)槲覀兺ㄟ^(guò)計(jì)算獲得的這部分信息反映了整體的信息，使整個(gè)函數(shù)圖像的全息元.

2.2 相似性互為全息元

典型的例子就是一元函數(shù)與多元函數(shù)之間的一些定義性質(zhì)互為全息元.例如：函數(shù)的定義、極限、導(dǎo)數(shù)和微分等.下面僅以函數(shù)的定義為例進(jìn)行說(shuō)明.

一元函數(shù)y=f(x)的定義：給定兩個(gè)變量x和y,以及數(shù)集D,若對(duì)于D中的每一個(gè)x，在對(duì)應(yīng)法則f的作用下都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y是x的函數(shù)，記為y=f(x),y稱(chēng)為因變量，x稱(chēng)為自變量.把一元函數(shù)的定義當(dāng)作全息元,要引導(dǎo)學(xué)生自己給出二元函數(shù)的定義（需要給學(xué)生一點(diǎn)提示：一元函數(shù)是在數(shù)軸上討論的，而二元函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系下討論的），則相應(yīng)的可以給出如下二元函數(shù)的定義:

二元函數(shù)z=f(x,y)的定義：給定三個(gè)變量x、y和z,以及平面點(diǎn)集D,若對(duì)于D中的每一個(gè)(x,y)，在對(duì)應(yīng)法則f的作用下都有唯一的z值與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)z是x和y的函數(shù)，記為z=f (x,y),z稱(chēng)為因變量，x和y稱(chēng)為自變量.

把一元函數(shù)中的x看成是x軸上的點(diǎn)p，那么一元函數(shù)可以寫(xiě)成y=f(p);把二元函數(shù)中的(x,y)看成是平面上的點(diǎn)p，那么二元函數(shù)可以寫(xiě)成z=f(p);那么這兩種函數(shù)形式是類(lèi)似的.從而利用全息元的思想，我們可以引導(dǎo)學(xué)生給出三元函數(shù)以及n元函數(shù)的定義.類(lèi)似的二元函數(shù)以及其他多元函數(shù)的其他性質(zhì)都可以利用全息元的思想引導(dǎo)學(xué)生自己首先探索，這樣會(huì)讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和探索能力.

2.3 數(shù)形互為全息元

定積分的定義是典型的數(shù)形互為信息源的例子.設(shè)f為閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，且f(x)≥0.由曲線(xiàn)y=f(x)，直線(xiàn)x=a，x=b以及x軸所圍成的平面圖形，稱(chēng)為曲邊梯形.下面討論曲邊梯形的面積(如圖所示).

圖1 曲邊梯形示意圖

通過(guò)分割求和取極限得到了曲邊體型的面積公式

進(jìn)而利用這個(gè)極限給出定積分的定義，

把曲邊梯形的面積作為定積分的全息元，有些定積分可以利用中學(xué)的知識(shí)直接得到結(jié)果，減少繁雜的換元積分計(jì)算.下面我們來(lái)再看這樣一個(gè)例子，計(jì)算定積分：

由于曲邊梯形的面積是定積分的全息元，我們觀(guān)察知道這個(gè)曲邊梯形中的這恰好表示第一象限的1/4圓弧.如圖2所示.

圖2 圖形

而由圓的面積公式我們可以直接得到此曲邊梯形的面積A恰好是1/4圓的面積，即故dx=π.并且可以啟發(fā)學(xué)生得到，而這種形式的積分在高等數(shù)學(xué)中是比較典型的一類(lèi)積分.

2.4 利用全息元加強(qiáng)線(xiàn)性代數(shù)的課程學(xué)習(xí)

線(xiàn)性代數(shù)中的很多知識(shí)正是以實(shí)數(shù)為全息元得出的.例如實(shí)數(shù)中倒數(shù)的定義是方陣逆陣的全息元.在實(shí)數(shù)中，我們有：若ab=1,則稱(chēng)b為a的倒數(shù)，記為b=a-1.利用全息元理論可以給出方陣逆陣的定義：對(duì)于n階方陣A，若存在方陣B，滿(mǎn)足AB=E，則稱(chēng)B為A的逆陣，記為B=A-1.類(lèi)似的根據(jù)實(shí)數(shù)中的消去率公式可以定義方陣的消去率公式，只不過(guò)由于方陣乘法不滿(mǎn)足交換律，從而定義了左消去率和右消去率.多項(xiàng)式函數(shù)是方陣多項(xiàng)式函數(shù)的全息元.知道這個(gè)信息，我們針對(duì)如下例子可以給出較簡(jiǎn)單的解法：

例 設(shè)A為n階方陣，滿(mǎn)足A2+3A+E=0，求證A+E可逆.

倘若我們知道前述全息元信息，只要考慮如下問(wèn)題：設(shè)實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x2+3x+1=0，求證：x+1倒數(shù)存在.利用多項(xiàng)式出發(fā)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算得到x2+3x+1=(x+1)(x+2)-1=0，便得到x+1倒數(shù)存在，且倒數(shù)為x+2.把x還原成A，1還原成單位陣E，便得到此題目的解法，在此略去.利用全息元思想我們可以歸納出如下一類(lèi)題：

這道題可以采用類(lèi)似的求解方法求解.

3 結(jié)論

教師在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中要充分應(yīng)用數(shù)學(xué)全息法,將定義、定理、推論和一些計(jì)算證明，利用全息元理論將學(xué)過(guò)的知識(shí)和新知識(shí)做有機(jī)的銜接，這樣不但能促進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，還能夠幫助學(xué)生真正理解教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)效率.達(dá)到利用有限的課時(shí)教給學(xué)生更多的知識(shí)，教給學(xué)生認(rèn)識(shí)世界解決問(wèn)題的能力，這也正是大學(xué)各學(xué)科教學(xué)的目標(biāo)之一.

〔1〕王存臻,嚴(yán)春友.宇宙全息統(tǒng)一論[M].青島:山東人民出版社,1998.

〔2〕彭拯.數(shù)學(xué)全息方法及其在數(shù)學(xué)科研和教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2004(8):43-45.

〔3〕陳建華,楊甜.基于全息元的線(xiàn)性代數(shù)課程的教學(xué)思考[J].信息系統(tǒng)工程,2011（2）:94-97.

〔4〕齊蓮敏.全息方法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,22(4):35-36.

〔5〕馬學(xué)玲.利用數(shù)學(xué)全息元進(jìn)行高數(shù)教學(xué)[J].信息系統(tǒng)工程, 2010,8:125-126.

〔6〕邵為爽,黃健.全息方法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊,2008(1):84-86.

〔7〕俞健.全息課堂教學(xué)評(píng)價(jià)技術(shù)研究華東師范大學(xué)[D].上海:華東師范大學(xué)碩士論文,2007.

〔8〕王龍.全息性邏輯思維與數(shù)學(xué)教學(xué)[J].教育探索,2010(9): 21-22.

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A

1673-260X（2014）04-0019-02

校級(jí)基金項(xiàng)目:探討與實(shí)踐全息方法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用