基于最大熵原理的人口預(yù)測(cè)模型的最優(yōu)控制

戴曉娟

（寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756000）

基于最大熵原理的人口預(yù)測(cè)模型的最優(yōu)控制

戴曉娟

（寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756000）

本文提出一種基于最大信息熵的人口預(yù)測(cè)模型，該模型以熵函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，以已知數(shù)據(jù)的各階統(tǒng)計(jì)距作為約束條件，通過(guò)最大化熵來(lái)預(yù)測(cè)人口的發(fā)展?fàn)顩r.并通過(guò)現(xiàn)有數(shù)據(jù)，對(duì)我國(guó)未來(lái)人口分布做了相應(yīng)的預(yù)測(cè).

最大熵；預(yù)測(cè)；模型；最優(yōu)控制

1 引言

人類(lèi)社會(huì)發(fā)展到今日,面臨著一系列嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，諸如戰(zhàn)爭(zhēng)與和平、生態(tài)失衡、人口爆炸、環(huán)境污染、資源短缺等.其中尤為突出是人口問(wèn)題，因?yàn)槿丝诘陌l(fā)展影響和制約著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，而經(jīng)濟(jì)的發(fā)展則關(guān)乎社會(huì)的進(jìn)步，人類(lèi)的文明，它們之間是相輔相成的.

以中國(guó)為例，由于我國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，我們所面臨的人口問(wèn)題，不僅有人口數(shù)量控制的問(wèn)題，更重要的是面臨著復(fù)雜的人口流動(dòng)、管理、保障和發(fā)展的問(wèn)題.在這一過(guò)程中，如何遵循以人為本的科學(xué)發(fā)展觀，遵循經(jīng)濟(jì)規(guī)律和人口變動(dòng)規(guī)律，最大限度的實(shí)現(xiàn)社會(huì)公正，是新時(shí)期人口發(fā)展和管理面臨的新課題.正確認(rèn)識(shí)人口變動(dòng)特征，則是解決人口問(wèn)題的前提.

根據(jù)全國(guó)第六次人口普查數(shù)據(jù)的顯示，我國(guó)人口有如下顯著特點(diǎn)：

（1）人口增速減緩，經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展推動(dòng)生育率的進(jìn)一步下降

（2）“未富先老”人口老齡化加劇

（3）城市化水平提速，中國(guó)已經(jīng)進(jìn)入城市人口快速增長(zhǎng)期

（4）出生人口性別比例失衡，制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)穩(wěn)定

（5）流動(dòng)人口成正增長(zhǎng)趨勢(shì)，影響社會(huì)的發(fā)展

此研究報(bào)告說(shuō)明，人口老齡化速度加快，高齡趨勢(shì)明顯，這顯然也會(huì)影響到將來(lái)的人口發(fā)展.因此我們建立偏微分方程對(duì)我國(guó)將來(lái)的人口數(shù)量作出更加合理的估計(jì).即假設(shè)人口的數(shù)量不僅和時(shí)間t有關(guān)，還與年齡x有關(guān).

其中t>0為時(shí)間，x為人的年齡，均為連續(xù)變量，p(x,t)為人口密度函數(shù)，μ(x,t)為死亡率，F(xiàn)(x,t)為給定時(shí)刻t年齡小于x的人口分布函數(shù).這個(gè)連續(xù)型人口發(fā)展方程描述了人口的演變過(guò)程，從這個(gè)方程確定出的密度函數(shù)可以直接得到各個(gè)年齡的人口數(shù)，即人口分布函數(shù).

本文在此模型的基礎(chǔ)上提出一種基于最大信息熵的人口預(yù)測(cè)模型,該模型以熵函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，以已知數(shù)據(jù)的各階統(tǒng)計(jì)距作為約束條件，通過(guò)最大化熵來(lái)預(yù)測(cè)人口的發(fā)展?fàn)顩r.

2 最大信息熵原理

2.1 基本原理

熵最初來(lái)源于熱力學(xué).在哲學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理中被解釋為物質(zhì)系統(tǒng)的混亂和無(wú)序程度.信息論則認(rèn)為它是信息源的狀態(tài)的不確定程度.所謂熵增加原理，是指孤立系統(tǒng)向著微觀狀態(tài)最混亂的方向變化，直到熵達(dá)到最大.

1948 年，香農(nóng)把波爾茲曼熵的概念引入信息論并把熵作為度量一個(gè)隨機(jī)事件的平均不確定性.因此，信息數(shù)量的大小，可以用被消除的不確定性的多少來(lái)表示，而隨機(jī)事件的不確定性的大小可以用概率分布函數(shù)來(lái)描述.

如果隨機(jī)變量為離散型，X的取值為xi,i=1,2,…,n,xi出現(xiàn)的概率為，則包含其中H是p1,p2,…,pn的信息量為的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)p1=p2=…=pn時(shí)，H取最大值.

如果隨機(jī)變量X是連續(xù)分布的，其分布密度函數(shù)為p(x)，X熵定義為

基于熵的定義,可以直觀地說(shuō)明最大熵分布原理:使其熵在一些約束條件下達(dá)可以到最大值，即

maxH(X)=-R∫p(x)logp(x)dx

式中,μn為第n階原點(diǎn)矩，其值可由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)，N為所用原點(diǎn)矩的階數(shù).

2.2 求解方法

最大熵分布就是在保證樣本的統(tǒng)計(jì)特性條件下通過(guò)調(diào)整p(x)使熵H達(dá)到最大.現(xiàn)用經(jīng)典的變分法求解目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題.

引入拉格朗日乘子λ0,λ1,…,λn，令

3 最大信息熵在人口預(yù)測(cè)模型中的應(yīng)用

3.1 模型選取

由于偏微分方程考慮了年齡對(duì)人口增長(zhǎng)的影響，能夠更精確地描述人口年齡的結(jié)構(gòu)及發(fā)展趨勢(shì)，故選取我國(guó)1990年到2010年的人口數(shù)據(jù).

鑒于模型(1)屬二維概率分布，有兩個(gè)變量，所以取時(shí)間為任意固定值，密度函數(shù)的變化決定人口的分布.我們首先來(lái)確定時(shí)刻t年齡為x的人口死亡率μ(t,x)，由于現(xiàn)階段由于醫(yī)療水平等條件的限制，可以近似地認(rèn)為在一定時(shí)期內(nèi)人口死亡率是保持不變的，即認(rèn)為μ(t,x)僅僅是年齡x的函數(shù)μ(x).利用提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，得到的年齡與死亡率之間的函數(shù)關(guān)系為：

3.3 根據(jù)特征值矩陣求出各個(gè)約束條件，應(yīng)用最大熵原理求出特征估計(jì)的分布函數(shù)，得到一個(gè)預(yù)測(cè)的人口分布函數(shù)pi，根據(jù)式(1),(2)可得

其中x為人口的年齡變量，是預(yù)測(cè)問(wèn)題的變量.通過(guò)調(diào)整p來(lái)使得熵最大，并采用拉格朗日乘子法來(lái)求解此問(wèn)題.

式（10）就是最大熵概率密度函數(shù)的解析形式.將式（10）代入式（3）可得

整理后可得

把(9)式代入(6)式，即可得到此人口的概率密度函數(shù)確定的最大熵.再把(5)與(9)式代入(1)式，可得到人口的結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)和人口分布結(jié)果.

4 實(shí)例研究

通過(guò)以上所述模型的建立過(guò)程及相應(yīng)的算法，運(yùn)用歷年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，借助Matlab軟件對(duì)我國(guó)人口分布作中長(zhǎng)期(2020年～2050年)預(yù)測(cè)，求得以下結(jié)果：

圖1

圖2

由圖1可以看出，我國(guó)人口結(jié)構(gòu)老齡化進(jìn)程加速，在2050年左右達(dá)到高峰，隨機(jī)趨穩(wěn).圖2得出，到2020年鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口大批涌入城市，城市人口飽和.除此，還可以看出，在實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定低生育水平的前提下，由于人口基數(shù)大，未來(lái)相當(dāng)一個(gè)時(shí)期人口還將持續(xù)增長(zhǎng)，但由于計(jì)劃生育政策的執(zhí)行使我國(guó)人口得以控制，在40到50年以后將達(dá)到零增長(zhǎng).

5 結(jié)論

利用最大熵原理分析人口密度函數(shù)，從而確定人口分布函數(shù)，得到的對(duì)未來(lái)人口結(jié)構(gòu)和分布的預(yù)測(cè)情況.我國(guó)人口的年齡變化是一種隨機(jī)事件，最大熵方法確定的被測(cè)量分布是含有最少主觀假定的分布，因此用最大熵原理來(lái)預(yù)測(cè)其分布是可靠的.

〔1〕朱雪龍.應(yīng)用信息論基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社,2001.

〔2〕沈世鎰，吳忠華.信息論基礎(chǔ)與應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2004.7.

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A

1673-260X（2014）04-0016-03

本文系?？蒲许?xiàng)目（YB201347）