確定性極化W態(tài)的糾纏提純

王碩，王萍，趙志勝，王興華

（1．中南大學信息科學與工程學院，湖南 長沙 410083；2．懷德第一中學，吉林 公主嶺，136100）

確定性極化W態(tài)的糾纏提純

王碩1，王萍1，趙志勝1，王興華2

（1．中南大學信息科學與工程學院，湖南 長沙 410083；2．懷德第一中學，吉林 公主嶺，136100）

本文針對W糾纏態(tài)提出了一種確定性糾纏提純方案.本文通過線性光學技術(shù)作為基礎(chǔ)例如PBS、HWP等，同時利用交叉卡爾非線性技術(shù)檢測量子數(shù)，并借助組合多種自由度，克服了普通方案共有單一極化自由度的缺陷，實現(xiàn)了W態(tài)的提純，又在理論上計算出成功率為百分之百，具有高效可行性.

W態(tài)；糾纏；極化提純；自由度

量子糾纏態(tài)是量子信息處理中的一大重要資源，并廣泛應(yīng)用于量子通信的各個領(lǐng)域，然而量子在傳輸過程中由于量子系統(tǒng)受到環(huán)境噪聲的影響，最大糾纏態(tài)將會減弱，無法高效傳輸信息.為此早在1996年，Bennett等人[1]提出了一個最早的糾纏純化協(xié)議(Entanglement Purification Protocol,即EPP)來對Werner態(tài)進行提純[2],協(xié)議中主要采用量子受控非門(CNOT)與雙向幺正操作來實現(xiàn)提純.然而這只是一種理論上的提純方案，因為在當時的科技水平下，量子控制非門無法完美的實現(xiàn)，甚至直到現(xiàn)在也無法做到.隨后,Deutsh等人[3]利用兩個附加的特定酉性操作進一步完善了之前的糾纏純化協(xié)議.在2000年，史保森等人[4]提出了一種基于糾纏交換的提純方法，該方法主要通過將兩個糾纏對中的粒子進行糾纏交換，來實現(xiàn)提純.2002年,Simmon等人[5]提出一種新的EPP協(xié)議，該協(xié)議采用了一種目前可用的參量下轉(zhuǎn)換(PDC)源,而不是一個理想的糾纏源.該協(xié)議利用了量子的空間糾纏特性來實現(xiàn)對極化糾纏的提純，這似乎也是第一個使用空間模來對極化態(tài)進行提純的協(xié)議.2003年,潘教授帶領(lǐng)的團隊[6]在實驗中證明了Simmon所提出協(xié)議的可行性.2008年，鄧富國等人提出了一種基于PDC源的高效EPP協(xié)議[7].然而,交叉卡爾非線性結(jié)構(gòu)太細微的性質(zhì),增加了困難實施這EPP協(xié)議的難度.2008年,肖立等人[8]提出了一種基于頻率糾纏的EPP方案.2010年，D.Salart,O.Landry,N. Sangouard等人[9]提出了一種基于線性光學組件的雙空間模式間共享的單光子糾纏提純方案，2011年，Denis Gont，Peter van Loock等人[10]創(chuàng)新的利用原子與光子腔鏈的方式，實現(xiàn)了對W態(tài)的提純.

本文中我們提出了一種針對W態(tài)的高效可行的確定性糾纏提純方案，該方案以PBS、HWP等線性光學技術(shù)為框架，并輔以交叉卡爾非線性技術(shù)實現(xiàn)量子數(shù)檢測，同時借助空間自由度等多種自由度的組合，克服了單一極化自由度的缺陷，實現(xiàn)了W態(tài)的高效提純，并且理論上成功率為百分之百.

1 W態(tài)基本狀態(tài)與傳輸分析

三粒子極化糾纏W態(tài)可以表述如下：

其中H，V分別代表水平與垂直極化，ABC則代表通信中的三方Alice，Bob，Charlie.而|Φ±〉1就是人們在各種量子技術(shù)中所需要的的最大糾纏態(tài).

為提純出最大糾纏態(tài)，引入空間自由度，則同時包含空間與極化自由度的量子糾纏系統(tǒng)初始態(tài)可表示為，

其中a,b,c分別表示三粒子系統(tǒng)的空間模.則有極化自由度上糾纏系統(tǒng)為，

實際傳輸中，由于與環(huán)境的相互作用，極化態(tài)會受到一些影響，出現(xiàn)相反轉(zhuǎn)與位翻轉(zhuǎn)錯誤，因此傳輸后的狀態(tài)將會一種混合的雜亂的狀況.然而對于空間自由度來講，不存在位翻轉(zhuǎn)錯誤，而相反轉(zhuǎn)錯誤也可以通過嚴格控制信道長度來消除.用測量基在極化態(tài)上對傳輸態(tài)進行測量后得到結(jié)果可以表述如下，

其中系數(shù)Fi表示各種量子態(tài)所占比率.此時包含兩種自由的系統(tǒng)密度矩陣為其|.則量子系統(tǒng)成為八種態(tài)的概率混合，比如處于的概率為F0，處于的概率為F4.

2 W態(tài)提純方案設(shè)計

該方案利用PBS和HWP兩種線性光學組件，通過各種反射等作用將不同的輸入引入不同的出口，實現(xiàn)了不同情況的區(qū)別對待.同時對出口處流出的粒子進行進一步處理，得到所需要的最大糾纏態(tài).方案基本結(jié)構(gòu)圖如下，

圖1 確定性極化W態(tài)糾纏提純方案示意圖

方案分Alice，Bob，Charlie三端設(shè)計了相似的提純結(jié)構(gòu)，主要區(qū)別在于每一端針對單獨處理的量子空間模.每一空間模對應(yīng)的粒子都至少要經(jīng)歷兩個PBS的處理，個別還需經(jīng)由一個HWP處理.下面就以態(tài)|HHH〉?|ψs〉的提純?yōu)槔齺砻枋鲆幌戮唧w的提純流程.

當處于空間模{a2，b3，c1}的光子通過PBS與HWP之后上述狀態(tài)變?yōu)?/p>

而處于空間模{a1&d1,b2&e1,f1&c3}的光子通過PBS之后，結(jié)果為

最后，由空間模{D1&a3,b1&D3,c2&D5}處得到的結(jié)果經(jīng)過上圖中（b）部分處理，結(jié)果如下，

由上式可見由輸出端口D1’&D3’&D5’處得到的結(jié)果即為最大糾纏態(tài)，這說明方案針對|HHH>態(tài)是可行的，類似的針對其它的七種狀態(tài)，經(jīng)驗證該方案也是可行的，只不過不同狀態(tài)提純出口不同.

根據(jù)該方案，對于混合態(tài)中的各種狀態(tài)都可以有效提純，使得Alice，Bob，Charlie三方均能獲得最大極化W糾纏態(tài).理論上，該方案提純成功率為百分之百.

然而，這個方案卻有著一個很大的問題，即在當今技術(shù)條件下，對于出口處得到的粒子，很難通過復雜的單光子檢測技術(shù)實現(xiàn)重選(Postselection)，最終達到檢測量子數(shù)的目的.針對這一問題，本文采用交叉卡爾非線性方法來構(gòu)造量子非破壞檢測門（Quantum nondemolition,簡稱QND）（圖2）[11]，并以此替代出口處的PBS，從而改善這種情況.

如果相干態(tài)|?〉與單光子|ψ〉=|α〉+β|1〉通過交叉卡爾非線性結(jié)構(gòu)發(fā)生相互之間的作用，則單光子系統(tǒng)會變成以下狀態(tài)：

Uck|ψ〉|?〉=(α|0〉+β|1〉)|?〉=α|0〉|?〉+β|1〉|?eiθ〉（9）

其中0，1為?？藨B(tài)，分別表示沒有光子和一個光子，而θ=χt，t表示作用時間.很明顯粒子數(shù)的檢測就直接轉(zhuǎn)移到了相干態(tài)的相移上.

圖2 交叉卡爾非線性技術(shù)構(gòu)造的QND示意圖

假設(shè)Alice擁有處于空間模a1a2的態(tài)|Φ〉2與相干態(tài)|α〉作用結(jié)果如下，

上式可見|HH>與|VV>態(tài)分別有2θ的相移和0相移，而其他兩態(tài)|HV>與|VH>都有著θ的相移.通過零差檢測，Alice可以保留有著2θ和0相移的|HH>與|VV>態(tài)，同時舍棄|HV>與|VH>態(tài).根據(jù)圖2.3結(jié)構(gòu)，Alice可以從D1獲得|HH>態(tài)，而從D2處獲得|VV>態(tài).同理，Bob和Charlie均可從對應(yīng)出口處獲得|HH>與|VV>態(tài).假設(shè)初態(tài)是|HHH〉?×ψs〉，則可從空間模{D1&a3，b1&D3,c2&D5}處獲得結(jié)果態(tài)，再經(jīng)圖3中(b)部分的HWP與PBS結(jié)構(gòu)加以處理，通信三方則可在{D1’，D3’，D5’}處獲得如上式(9)所示的最大糾纏態(tài).對于初態(tài)處于其他狀態(tài)的情況，該方案同樣可以有效地實現(xiàn)提純.

圖3 使用QND結(jié)構(gòu)代替尾端PBS之后的提純方案示意圖

3 結(jié)論

方案以PBS+HWP等線性光學技術(shù)為基本框架，采用交叉卡爾非線性技術(shù)加以輔助，同時利用多種自由度對信道噪聲抗干擾性能的不同，有效地彌補了單一極化自由度易受噪聲干擾的不足，實現(xiàn)了有效的提純.最終成功實現(xiàn)GHZ態(tài)以及Cluster態(tài)的確定性極化糾纏提純，根據(jù)理論分析能高效的完成兩種糾纏態(tài)的提純，并且理論成功率均為100%.

〔1〕Bennett C.H,Brassard G,Popescu S,Schumacher B,Smolin J.A,and Wootters W.K,Purification of Noisy Entanglement and Faithful Teleportation via Noisy Channels[J],Phys.Rev.Lett.1996,76(5),722～725.

〔2〕Werner R.F,Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden variable model[J],Phys.Rev.A,1989,40(8),4277～4281.

〔3〕Deutsch D,Ekert A,Jozsa R,Macchiavello C,Popescu S,and Sanpera A,Quantum Privacy Amplification and theSecurity ofQuantum Cryptography overNoisy Channels[J],Phys.Rev.Lett.1996,77(13),2818–2821.

〔4〕Shi Bao-Sen,Jiang Yun-Kun,and Guo Guang-Can,Optimal entanglement purification via entanglement swapping[J],Phys.Rev.A,2000,62(5),054301.

〔5〕Simon C and Pan J.W,Polarization Entanglement Purification using Spatial Entanglement[J],Phys.Rev.Lett.2002,89(25),257901.

〔6〕Pan J.W,S.Gasparonl,R.Ursin,G.Weihs,and A.zellinger,Experimental entanglement purification of arbitrary unknown states[J],Nature 2003,423,417～422.

〔7〕Sheng Y.B,Deng F.G,and Zhou H.Y,Efficient polarization-entanglement purification based on parametric down-conversion sources with cross-Kerr nonlinearity[J],Phys.Rev.A,2008,77(4),042308.

〔8〕Xiao L,Wang C,Zhang W,Huang Y.D,Peng J.D,and Long G. L,Efficient strategy for sharing entanglement via noisy channels with doubly entangled photon pairs[J],Phys.Rev.A,2008,77(4),042315.

〔9〕SalartD,Landry O,Sangouard N,Purification of single-photon entanglement[J],Phys.Rev.Lett.2010,104(18),180504.

〔10〕Denis Gont,Peter van Loock,Dynamical entanglement purification using chains of atoms and optical cavities[J],Phys.Rev.A,2011,84(4),042303.

〔11〕趙春然.Cross-Kerr介質(zhì)在量子信息中的應(yīng)用[D].安徽：安徽大學,2011.

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1673-260X（2014）07-0019-03