淺談極限運(yùn)算中的■型問題常見解題方法

游祎++劉海峰+付夢(mèng)琳

一、引言

在函數(shù)極限運(yùn)算中，0/0型未定式型是一類重要的極限運(yùn)算題型。雖然洛必達(dá)法則是解決此類問題的一種重要的數(shù)學(xué)手段，但是對(duì)于一些題型來說這并不是最為有效的方法，應(yīng)根據(jù)問題的具體情況選取不同的方法。如換元法、取倒法、使用洛必達(dá)法則以及泰勒公式等。筆者在此對(duì)不同類型題型和方法做出相應(yīng)的歸納和總結(jié)，這有助于提高解決該類型問題的能力。

二、0/0型未定式問題常見解題途徑

1.0/0未定式題型首選洛必達(dá)法則

直接應(yīng)用洛必達(dá)法則求解0/0型未定式問題是一個(gè)基本思路。但是在應(yīng)用該方法時(shí)的一個(gè)前提條件是函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算不是太繁瑣，同時(shí)在使用該方法時(shí)注意與其他方法如等價(jià)代換、代數(shù)式化簡以及極限性質(zhì)的結(jié)合，這種解題方式常常使得解題途徑簡單明了。

[例1]計(jì)算極限：■■，a≠0

分析：這是0/0型不定式。如果使用因式分解方法求極限過程較為繁瑣，使用洛必達(dá)法則很容易求解：■■■■■=■am-n

2.首先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)換為■型不定式形式，再使用洛必達(dá)法則

[例2]計(jì)算極限：■x2（■-arctan2x2）

分析：這是0·∞型不定式。先將其轉(zhuǎn)換為0/0型不定式形式，再使用洛必達(dá)法則求解：

■x2（■-arctan2x2）=■■■■■=■■=■

一些典型的洛必達(dá)法則題型使用洛必達(dá)法則能夠使題目簡化，但是對(duì)于有些類型的洛必達(dá)法則題型使用洛必達(dá)法則后卻很復(fù)雜，這種情況下應(yīng)考慮與其他方法如變量替換、極限基本性質(zhì)、等價(jià)無窮小代換等結(jié)合使用。

3.換元法在0/0型不定式中的應(yīng)用

借助于變量代換，同時(shí)與其他數(shù)學(xué)手段比如等價(jià)無窮小替換結(jié)合將題型轉(zhuǎn)化為洛必達(dá)法則適用范圍是求解0/0型不定式的常見思路，但是這種處理模式要求對(duì)極限基本概念、性質(zhì)有深入理解。

[例3]計(jì)算極限：■（x-π）tan■

這是0·∞型不定式，考慮換元法求解。令x-π=t?圯x=π+t，■（x-π）tan■=■ttan■=-■tcot■=■■=-■■=-2

4.因式分解法在0/0型不定式中的應(yīng)用

借助因式分解求解0/0型不定型問題雖然是初等數(shù)學(xué)手段，但是在一些問題上比用導(dǎo)數(shù)工具求解卻更加方便。

[例4]計(jì)算極限■■

分析：本題屬于0/0型不定式，使用洛必達(dá)法則可以求解，但是不是最好的方法。事實(shí)上借助因式分解問題很快得以簡化：■■=■■=3

5.泰勒公式在0/0型不定式中的應(yīng)用

初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生常常感到泰勒公式的應(yīng)用比較困難，其實(shí)帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式在0/0型極限運(yùn)算中的應(yīng)用常常使得問題得以簡化。

6.等價(jià)無窮小替換在0/0型不定式中的應(yīng)用

使用等價(jià)無窮小替換，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)重要極限題型或者符合洛必達(dá)法則的形式，可使題目簡化，運(yùn)算簡捷。

[例5]求極限：■■

分析：由于1-ex■~-x2，代入題中，配合洛必達(dá)法則，有：

■■=■■=-■■=-■■=-1

三、結(jié)束語

上節(jié)所列舉的幾種方法是求解0/0問題中常用的方法。隨著大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的逐步深入，我們需要逐步掌握一些過去不熟悉的數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)于綜合題型往往需要多種方法的結(jié)合使用。但是對(duì)基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握才是能夠?qū)崿F(xiàn)一題多解的關(guān)鍵所在。

一、引言

在函數(shù)極限運(yùn)算中，0/0型未定式型是一類重要的極限運(yùn)算題型。雖然洛必達(dá)法則是解決此類問題的一種重要的數(shù)學(xué)手段，但是對(duì)于一些題型來說這并不是最為有效的方法，應(yīng)根據(jù)問題的具體情況選取不同的方法。如換元法、取倒法、使用洛必達(dá)法則以及泰勒公式等。筆者在此對(duì)不同類型題型和方法做出相應(yīng)的歸納和總結(jié)，這有助于提高解決該類型問題的能力。

二、0/0型未定式問題常見解題途徑

1.0/0未定式題型首選洛必達(dá)法則

直接應(yīng)用洛必達(dá)法則求解0/0型未定式問題是一個(gè)基本思路。但是在應(yīng)用該方法時(shí)的一個(gè)前提條件是函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算不是太繁瑣，同時(shí)在使用該方法時(shí)注意與其他方法如等價(jià)代換、代數(shù)式化簡以及極限性質(zhì)的結(jié)合，這種解題方式常常使得解題途徑簡單明了。

[例1]計(jì)算極限：■■，a≠0

分析：這是0/0型不定式。如果使用因式分解方法求極限過程較為繁瑣，使用洛必達(dá)法則很容易求解：■■■■■=■am-n

2.首先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)換為■型不定式形式，再使用洛必達(dá)法則

[例2]計(jì)算極限：■x2（■-arctan2x2）

分析：這是0·∞型不定式。先將其轉(zhuǎn)換為0/0型不定式形式，再使用洛必達(dá)法則求解：

■x2（■-arctan2x2）=■■■■■=■■=■

一些典型的洛必達(dá)法則題型使用洛必達(dá)法則能夠使題目簡化，但是對(duì)于有些類型的洛必達(dá)法則題型使用洛必達(dá)法則后卻很復(fù)雜，這種情況下應(yīng)考慮與其他方法如變量替換、極限基本性質(zhì)、等價(jià)無窮小代換等結(jié)合使用。

3.換元法在0/0型不定式中的應(yīng)用

借助于變量代換，同時(shí)與其他數(shù)學(xué)手段比如等價(jià)無窮小替換結(jié)合將題型轉(zhuǎn)化為洛必達(dá)法則適用范圍是求解0/0型不定式的常見思路，但是這種處理模式要求對(duì)極限基本概念、性質(zhì)有深入理解。

[例3]計(jì)算極限：■（x-π）tan■

這是0·∞型不定式，考慮換元法求解。令x-π=t?圯x=π+t，■（x-π）tan■=■ttan■=-■tcot■=■■=-■■=-2

4.因式分解法在0/0型不定式中的應(yīng)用

借助因式分解求解0/0型不定型問題雖然是初等數(shù)學(xué)手段，但是在一些問題上比用導(dǎo)數(shù)工具求解卻更加方便。

[例4]計(jì)算極限■■

分析：本題屬于0/0型不定式，使用洛必達(dá)法則可以求解，但是不是最好的方法。事實(shí)上借助因式分解問題很快得以簡化：■■=■■=3

5.泰勒公式在0/0型不定式中的應(yīng)用

初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生常常感到泰勒公式的應(yīng)用比較困難，其實(shí)帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式在0/0型極限運(yùn)算中的應(yīng)用常常使得問題得以簡化。

6.等價(jià)無窮小替換在0/0型不定式中的應(yīng)用

使用等價(jià)無窮小替換，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)重要極限題型或者符合洛必達(dá)法則的形式，可使題目簡化，運(yùn)算簡捷。

[例5]求極限：■■

分析：由于1-ex■~-x2，代入題中，配合洛必達(dá)法則，有：

■■=■■=-■■=-■■=-1

三、結(jié)束語

上節(jié)所列舉的幾種方法是求解0/0問題中常用的方法。隨著大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的逐步深入，我們需要逐步掌握一些過去不熟悉的數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)于綜合題型往往需要多種方法的結(jié)合使用。但是對(duì)基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握才是能夠?qū)崿F(xiàn)一題多解的關(guān)鍵所在。

一、引言

在函數(shù)極限運(yùn)算中，0/0型未定式型是一類重要的極限運(yùn)算題型。雖然洛必達(dá)法則是解決此類問題的一種重要的數(shù)學(xué)手段，但是對(duì)于一些題型來說這并不是最為有效的方法，應(yīng)根據(jù)問題的具體情況選取不同的方法。如換元法、取倒法、使用洛必達(dá)法則以及泰勒公式等。筆者在此對(duì)不同類型題型和方法做出相應(yīng)的歸納和總結(jié)，這有助于提高解決該類型問題的能力。

二、0/0型未定式問題常見解題途徑

1.0/0未定式題型首選洛必達(dá)法則

直接應(yīng)用洛必達(dá)法則求解0/0型未定式問題是一個(gè)基本思路。但是在應(yīng)用該方法時(shí)的一個(gè)前提條件是函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算不是太繁瑣，同時(shí)在使用該方法時(shí)注意與其他方法如等價(jià)代換、代數(shù)式化簡以及極限性質(zhì)的結(jié)合，這種解題方式常常使得解題途徑簡單明了。

[例1]計(jì)算極限：■■，a≠0

分析：這是0/0型不定式。如果使用因式分解方法求極限過程較為繁瑣，使用洛必達(dá)法則很容易求解：■■■■■=■am-n

2.首先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)換為■型不定式形式，再使用洛必達(dá)法則

[例2]計(jì)算極限：■x2（■-arctan2x2）

分析：這是0·∞型不定式。先將其轉(zhuǎn)換為0/0型不定式形式，再使用洛必達(dá)法則求解：

■x2（■-arctan2x2）=■■■■■=■■=■

一些典型的洛必達(dá)法則題型使用洛必達(dá)法則能夠使題目簡化，但是對(duì)于有些類型的洛必達(dá)法則題型使用洛必達(dá)法則后卻很復(fù)雜，這種情況下應(yīng)考慮與其他方法如變量替換、極限基本性質(zhì)、等價(jià)無窮小代換等結(jié)合使用。

3.換元法在0/0型不定式中的應(yīng)用

借助于變量代換，同時(shí)與其他數(shù)學(xué)手段比如等價(jià)無窮小替換結(jié)合將題型轉(zhuǎn)化為洛必達(dá)法則適用范圍是求解0/0型不定式的常見思路，但是這種處理模式要求對(duì)極限基本概念、性質(zhì)有深入理解。

[例3]計(jì)算極限：■（x-π）tan■

這是0·∞型不定式，考慮換元法求解。令x-π=t?圯x=π+t，■（x-π）tan■=■ttan■=-■tcot■=■■=-■■=-2

4.因式分解法在0/0型不定式中的應(yīng)用

借助因式分解求解0/0型不定型問題雖然是初等數(shù)學(xué)手段，但是在一些問題上比用導(dǎo)數(shù)工具求解卻更加方便。

[例4]計(jì)算極限■■

分析：本題屬于0/0型不定式，使用洛必達(dá)法則可以求解，但是不是最好的方法。事實(shí)上借助因式分解問題很快得以簡化：■■=■■=3

5.泰勒公式在0/0型不定式中的應(yīng)用

初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生常常感到泰勒公式的應(yīng)用比較困難，其實(shí)帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式在0/0型極限運(yùn)算中的應(yīng)用常常使得問題得以簡化。

6.等價(jià)無窮小替換在0/0型不定式中的應(yīng)用

使用等價(jià)無窮小替換，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)重要極限題型或者符合洛必達(dá)法則的形式，可使題目簡化，運(yùn)算簡捷。

[例5]求極限：■■

分析：由于1-ex■~-x2，代入題中，配合洛必達(dá)法則，有：

■■=■■=-■■=-■■=-1

三、結(jié)束語

上節(jié)所列舉的幾種方法是求解0/0問題中常用的方法。隨著大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的逐步深入，我們需要逐步掌握一些過去不熟悉的數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)于綜合題型往往需要多種方法的結(jié)合使用。但是對(duì)基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握才是能夠?qū)崿F(xiàn)一題多解的關(guān)鍵所在。