五軸加工中非線性誤差的分析與研究

代子陽，謝明紅

(華僑大學機電及自動化學院，福建廈門361021)

在對大型復雜的零件 (如發(fā)動機葉輪和葉片，大型箱體及高精度的復雜模具等)進行加工時，三軸數(shù)控機床越來越不能滿足要求，取而代之是五軸數(shù)控機床。在加工復雜曲面時，有很多方面的因素(如機床精度、刀具與工件的彈性變形和熱變形等)都會對五軸機床的加工精度產(chǎn)生影響，從而造成與實際曲面的不一致性，以至于產(chǎn)生很大的誤差。文中所述的非線性誤差是由于實際走刀軌跡與理論走刀軌跡的不一致性造成的。理論走刀軌跡要求刀具與工件表面相對運動是非線性的;然而由于目前的數(shù)控插補系統(tǒng)一般只能進行線性插補，由于旋轉軸的加入使得刀具與工件表面的實際相對運動為非線性;造成實際走刀軌跡與理論走刀軌跡之間發(fā)生了偏差，稱為非線性誤差［1］。它是五軸加工所特有的。所以，在進行五軸加工時如何控制非線性運動誤差是目前研究的一個熱點問題。

1 五軸加工非線性誤差理論分析

在前置處理中，由CAD/CAM生成的刀位軌跡時，是通過微小直線段來逼近工件模型的輪廓來實現(xiàn)。因此在加工過程中，只有實際運動為直線運動的刀位點才能符合實際編程精度。在五軸數(shù)控加工中，由于兩個旋轉軸的加入，造成了數(shù)控加工的非線性，導致了機床各軸的合成運動不再是直線而是一條條空間曲線。使得實際刀位運動嚴重偏離理論軌跡，造成誤差嚴重影響加工精度和效率。所以，要進行誤差計算，對超差部分作必要的修改，使誤差控制在允許的范圍內(nèi)。

1.1 非線性誤差產(chǎn)生的原因

在生成刀位文件時，把自由曲面按一定的精度來劃分成微小的直線段，并假設只有刀具運動而工件不動原則來生成刀位軌跡。由于曲面曲率不斷變化，必然引起刀軸矢量的不斷變化。因此，只有在三軸加工時，才能獲得理想的直線段。五軸聯(lián)動時，由于旋轉軸的加入，同時加上五軸數(shù)控系統(tǒng)是一個非連續(xù)軌跡控制系統(tǒng)，相鄰兩個刀位點之間軌跡不再是直線而是空間曲線［2］。由于非線性誤差是在相鄰的刀位點之間產(chǎn)生的，所以研究非線性誤差不應該在整個刀位軌跡上，而應該分段進行。圖1為相鄰兩個刀位點間，理想軌跡與實際插補軌跡的仿真圖。

圖1 為相鄰刀位點間，理想軌跡與實際插補軌跡的仿真圖

1.2 非線性誤差的模型建立

圖2顯示了非線性誤差產(chǎn)生的原因。由于在進行五軸雙轉臺加工時，3個平動軸的運動過程容易想象，兩個旋轉軸的運動不易想象，也不易用視圖顯示。按照工件不動刀具運動的原則，可把它想象成刀具相對于工作臺的擺動。圖2中顯示了兩個刀位點C1、C2之間實際軌跡曲線與理論曲線形成的過程。在理想的情況下，要求刀具的旋轉中心軌跡應按經(jīng)過OiO'mOj的曲線運動。但是，由于目前的數(shù)控系統(tǒng)一般只能按照圖中經(jīng)過OiOmOj的直線軌跡進行插補運動，從而造成了實際軌跡曲線rs(圖中虛線軌跡)與理論軌跡rl(圖中實線軌跡)之間的偏差。根據(jù)微分幾何，嚴格的非線性誤差的計算可由公式 (1)精確地描述:

在實際中為了準確計算非線性誤差，需要對rl和rs進行離散。經(jīng)過離散化之后的非線性誤差的計算為:

圖2 非線性誤差模型

嚴格非線性誤差的計算不僅要知道待加工工件表面的幾何信息和刀具信息，而且對曲面包絡面的求解也很困難。然而對五軸后置處理時的刀位文件中上述信息并不存在，因此只能根據(jù)非線性的理論進行分析，并簡化模型［3］。

1.3 最大非線性誤差位置預測

下面以A－C雙轉臺五軸數(shù)控機床為例，來預測最大非線性誤差的位置。假設兩個刀位點數(shù)據(jù) (p1，r1)和 (p2，r2)，以及刀觸點分別為T1、T2投影到xOy平面如圖3所示。由于數(shù)控插補系統(tǒng)是按線性進行插補的，所以過刀位點 (p1，r1)和 (p2，r2)的直線方程為:

同樣的角度變化如公式 (4)所示:

由公式 (3)、(4)可得刀觸點的軌跡方程，如公式 (5)所示:

將y分別對x求一次導數(shù)和二次導數(shù)可得:

令其一次導數(shù)為零，可以預測出最大非線性誤差的位置。

由公式 (8)得，最大非線性誤差產(chǎn)生的位置為兩個刀位點的中點附近。其中公式中的R為刀具半徑。

圖3 xOy平面上刀位點和刀觸點的投影

1.4 求解非線性誤差的方法

前幾節(jié)已經(jīng)預測出兩個刀位點插補軌跡間非線性誤差產(chǎn)生的最大位置。但是如果采用圖2的模型來求解非線性誤差，就需要知道模型輪廓的表面信息以及刀具的信息等。但是由于CAD/CAM軟件生成的刀位文件中已經(jīng)不包括這些信息，因此，文中采用機床運動學正反解的方法來求出非線性誤差的大小。按照理想的情況，兩個刀位點p1、p2的軌跡應該是一條直線pl，可是由于五軸數(shù)控插補系統(tǒng)只能進行線性插補，從而造成了兩個刀位點p1、p2的插補軌跡為一條空間曲線ps如圖4所示。

首先根據(jù)機床運動學的正解，求出在工件坐標系下的對應刀位數(shù)據(jù)點p1、p2轉換到機床坐標系下，得到各個運動軸分量分別為 (x1，y1，z1，A1，C1)和 (x2，y2，z2，A2，C2)。然后根據(jù)數(shù)控系統(tǒng)的插補特性，獲得任意時刻機床各運動軸的運動分量。最后，再利用機床運動學的反解法，把機床坐標系下任意時刻機床各軸的運動量轉換成對應工件坐標系下各時刻刀具刀位點的坐標。最后求得各個刀位點與理想直線pl的距離h，如果距離h超過了允許誤差，就要在這兩個刀位點產(chǎn)生最大的誤差位置插入新的刀位點，來達到減小誤差的目的。

圖4 兩個刀位點p1、p2的插補軌跡

求非線性誤差的步驟如下:

(1)首先求出在工件坐標系下的對應刀位數(shù)據(jù)點p1、p2對應機床坐標系下各個運動軸分量分別為(x1，y1，z1，A1，C1)和 (x2，y2，z2，A2，C2)。由于數(shù)控系統(tǒng)的線性插補功能，計算出任意時刻的各個運動軸坐標。插補軌跡方程為:

(2)利用機床運動學的反解法求出 (xt，yt，zt，At，Ct)對應的工件坐標系下刀位點的坐標ps(t)。

(3)在圖5中，假設理想插補軌跡pl的單位方向矢量為n，則實際插補軌跡ps任意時刻的刀位點坐標ps(t)到單位方向矢量n的距離為h(t)，則

對公式 (11)進行求導，得到當t=ts時，h(t)有最大值為hmax:

2 控制最大誤差的策略及模擬仿真

目前對于非線性誤差超差的情況，主要使用刀觸點偏執(zhí)法、線性化法和自適應線性化處理方法，來達到減小非線性化誤差的目的，使其達到允許的誤差范圍的要求。

(1)刀觸點偏執(zhí)法。該方法是為了消除工件加工過程中的過切和欠切現(xiàn)象，將刀具沿著刀觸點的法線方向偏執(zhí)一定的距離，改變誤差的分布，但是該方法無法偏執(zhí)過后的誤差在允許的范圍內(nèi)，無法達到精確控制的目的［4］。

(2)線性化法。是將所有插補段線性分割，加密走刀步數(shù)，減小因走刀步長過大引起的非線性運動誤差，但是這種方法的缺點是，隨著零件設計的曲面的復雜化，數(shù)控程序的數(shù)量會不斷加大，因此在密化加工程序時，會加大加工程序的數(shù)量，影響數(shù)控加工的插補和譯碼能力，降低了數(shù)控加工的效率和加工能力［5］。

(3)自適應線性化法。該方法的思想是，首先計算出各個程序段的線性誤差，只對超過許用誤差的程序段進行線性分割再折半分割來減小刀位點位置和刀軸矢量的變化，該方法不僅可以減小非線性誤差保證其不超過允許誤差，并且消除了非必要的刀位密化，較線性化法可以提高機床的加工效率和插補譯碼的能力，最大限度地發(fā)揮了機床加工的能力［6］。

2.1 自適應非線性誤差的控制方法

如前所述，在五軸加工時由于兩個旋轉軸的引入，使得在實際加工過程中刀具與工件的接觸位置很難預測。再加上刀位數(shù)據(jù)中只有刀觸點位置與刀軸矢量的描述，缺少刀具的實際形狀和工件表面信息。因此，在五軸加工時很難預測出最大非線性誤差出現(xiàn)在相鄰刀位點的什么位置。但是，根據(jù)前面對最大非線性誤差位置的預測和仿真驗證，在實際中往往取兩個刀位點中點位置作為新刀位點的插入位置。假設相鄰兩個刀位數(shù)據(jù)為 (pj，rj)、(pj+1，rj+1)，首先計算出這兩個相鄰刀位點的誤差，如果超差就插入新的刀位點 (pw，rw)，然后再分別求出 (pj，rj)、 (pw，rw)和 (pw，rw)、(pj+1，rj+1)的誤差，如果超差，就繼續(xù)插入新刀位點，直到誤差在允許范圍內(nèi)為止。

根據(jù)上述思想畫出如圖5所示的非線性誤差控制程序流程圖。

圖5 非線性誤差控制程序流程圖

2.2 通過MATLAB軟件對算法結果進行仿真驗證

通過對橄欖球面的加工，驗證上述減小非線性誤差的正確與否。首先取出通過PRO/E生成的刀位文件中的10個采樣點，對其進行誤差計算。其誤差分布圖如圖6所示。未經(jīng)誤差補償?shù)姆蔷€性誤差結果偏大，其平均值大概在0.015 mm左右。

采取文中提出的減小非線性誤差的算法，即在超差的相鄰兩個刀位點中間插入新的刀位點，來減小非線性誤差。取最大非線性誤差不超過0.9 μm。在對進行刀位數(shù)據(jù)補償后，進行計算與仿真。其仿真結果如圖8所示。從圖中可以看到非線性誤差有效的控制在0.9 μm之內(nèi)。在沒有進行非線性誤差補償前，只有10個刀位點;在非線性誤差補償后，刀位點個數(shù)增加到52個。從圖7中可以看出，非線性誤差補償后明顯達到了減小非線性誤差的目的。

圖6 非線性誤差補償前

圖7 非線性誤差補償前后對比

通過上述仿真結果，說明了該方法的有效性，達到了減小非線性誤差的目的。圖8顯示了對相鄰兩個刀位數(shù)據(jù)進行補償前后的仿真圖。補償后的到位軌跡更加接近理想曲線。

圖8 非線性誤差補償前后的刀位軌跡

3 小結

非線性誤差是五軸加工過程中不可避免的，也是其特有的。文中在基于雙轉臺五軸數(shù)控加工的基礎上，介紹了一種在兩個相鄰刀位點中間插入新的刀位點，并通過了MATLAB的仿真驗證了該方法可以有效地減小非線性誤差。彌補了CAM軟件輸出刀位文件對非線性誤差沒有考慮的缺陷［1］。

［1］吳大中.五軸聯(lián)動數(shù)控加工非線性誤差控制及后置處理［D］.上海:上海交通大學，2007.

［2］范冬青，張洪.曲面數(shù)控加工中的非線性誤差［J］.機械設計與制造，2004，(4):35 －37.

［3］何永紅，齊樂華.趙寶林雙轉臺五軸數(shù)控機床后置處理算法研究［J］.數(shù)控技術，2006(1):9－11.

［4］劉宏.復雜曲面多軸數(shù)控加工非線性誤差理論分析及控制［J］.組合機床與自動化加工技術，2003(12):66－68.

［5］TAKEUCHI Y，IDEMURA T.5-Axis Control Machining and Grinding Based on Solid Model［J］.Annals of CIRP，1991，40(1):455－458.

［6］任秉銀，唐余勇.數(shù)控加工中的幾何建模理論及其應用［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社，2000:93.