考慮異質(zhì)出行者的隨機(jī)瓶頸模型

肖玲玲，黃海軍＊，田麗君

（1.北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京100191；2.福州大學(xué)管理學(xué)院，福州350108）

考慮異質(zhì)出行者的隨機(jī)瓶頸模型

肖玲玲1，黃海軍＊1，田麗君2

（1.北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京100191；2.福州大學(xué)管理學(xué)院，福州350108）

研究早高峰期內(nèi)通勤者由生活區(qū)開車通過高速公路到達(dá)工作區(qū)的交通行為.假設(shè)出行者是異質(zhì)的，其時(shí)間價(jià)值（VOT）按照遞增的順序排列,并假設(shè)高速公路上瓶頸的通行能力在某一區(qū)間內(nèi)隨機(jī)變化，基于經(jīng)典瓶頸模型對(duì)出行者的均衡出發(fā)時(shí)間選擇行為進(jìn)行解析求解，給出了模型的均衡性質(zhì)和個(gè)人出行總成本.結(jié)果顯示，隨著瓶頸通行能力隨機(jī)性的增大，出行者的期望等價(jià)出行時(shí)間和高峰期長(zhǎng)度增加.當(dāng)瓶頸通行能力的隨機(jī)性降低時(shí)，個(gè)體均衡出行成本下降，時(shí)間價(jià)值越大的出行者，其成本降低的收益越大.算例結(jié)果驗(yàn)證了理論分析結(jié)論.

公路運(yùn)輸；出行選擇行為；瓶頸模型；隨機(jī)通行能力；異質(zhì)性

1 引言

Vickrey[1]應(yīng)用確定性排隊(duì)理論，首次提出了一個(gè)令所有出行者具有相同出行成本的內(nèi)生出發(fā)時(shí)間選擇模型，這就是著名的瓶頸模型（Bottleneck model）.該模型假設(shè)生活區(qū)和工作區(qū)之間由一條通行能力有限的公路連接，所有出行者每天早上都經(jīng)由這一路徑上班，并希望在規(guī)定的上班時(shí)刻準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的地，但由于瓶頸通行能力有限，不能保證所有的出行者都能夠準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的地，必然有一部分人早到或晚到，并產(chǎn)生相應(yīng)的延誤成本.因此，出行者必須在出行時(shí)間成本和延誤成本之間進(jìn)行權(quán)衡，選擇一個(gè)最佳的出發(fā)時(shí)間，使得總出行成本最小化.在均衡態(tài)，所有出行者的總出行成本相等，沒有人能夠通過單方面改變出發(fā)時(shí)間而使自己變得更好.

瓶頸模型以簡(jiǎn)單、直接的方式刻畫了早高峰通勤行為.此后，學(xué)者們從不同角度對(duì)瓶頸模型進(jìn)行了擴(kuò)展[2-4].Mahmassani和Herman[5]通過數(shù)值仿真方法探討了早高峰通勤問題中的出發(fā)時(shí)間和路徑選擇行為.Kuwahara[6]在一個(gè)具有兩個(gè)起始點(diǎn)一個(gè)目的地的多瓶頸網(wǎng)絡(luò)上研究了早高峰通勤問題. Tabuchi[7]最早提出了包含公路瓶頸和并行地鐵的雙出行模式模型，研究了不同收費(fèi)政策下兩種交通方式之間的競(jìng)爭(zhēng).Huang[8，9]進(jìn)一步擴(kuò)展了Tabuchi[7]的工作，比較了不同收費(fèi)策略下異質(zhì)出行者的行為選擇.傳統(tǒng)的瓶頸模型是關(guān)于確定性交通環(huán)境下的出行選擇行為.事實(shí)上，受許多因素影響，如雨雪天氣、交通事故、道路維護(hù)等，造成出行環(huán)境不確定，使得路段通行能力退化和出行時(shí)間波動(dòng).近年來，越來越多的學(xué)者意識(shí)到不確定性在出行決策中的重要性[10，11].

盡管上述研究增強(qiáng)了人們對(duì)瓶頸環(huán)境下出行行為的理解，但現(xiàn)有大多數(shù)研究都假設(shè)出行者是同質(zhì)的，即通勤者具有相同的時(shí)間價(jià)值，并具有相同的早到和晚到懲罰率.而現(xiàn)實(shí)中，無論從收入水平還是從個(gè)人偏好上來看，出行者都應(yīng)該是異質(zhì)的.顯然，理想化的同質(zhì)假設(shè)無法準(zhǔn)確地刻畫出行者的行為，將導(dǎo)致社會(huì)福利分析出現(xiàn)偏差.

交通行為研究中，異質(zhì)性一般是通過賦予不同出行者不同出行成本函數(shù)來考慮的.在靜態(tài)行為研究方面，一些學(xué)者給出了多用戶類均衡問題的一般表達(dá)式（Dafermos[12];Smith[13]），多用戶類均衡問題可以轉(zhuǎn)化成變分不等式問題（Yang和Huang[14];Nagurney[15]）.也可以變換網(wǎng)絡(luò)，將多用戶類問題轉(zhuǎn)變成新網(wǎng)絡(luò)中的標(biāo)準(zhǔn)問題（Dafermos[12];Nagurney[15]），de Palma和Lindsey[16]就利用雙層網(wǎng)絡(luò)模型討論了不同收費(fèi)方案對(duì)異質(zhì)出行者的福利影響.

在動(dòng)態(tài)行為研究中，如果出行者不能在偏好時(shí)刻點(diǎn)到達(dá)工作地，通常假設(shè)出行者需要承擔(dān)延誤成本.在線性關(guān)系下，比偏好時(shí)刻早到的單位成本記為β，比偏好時(shí)刻晚到的單位成本記為γ，單位出行時(shí)間價(jià)值記為α.圍繞這些參數(shù)，許多學(xué)者研究了出行者異質(zhì)性對(duì)出行行為的影響.Cohen[3]引入兩類出行者，讓他們具有不同的偏好到達(dá)時(shí)刻點(diǎn)和不同的時(shí)間價(jià)值參數(shù)，討論了收費(fèi)有效性問題.de Palma和Lindsey[17]對(duì)比分析了考慮異質(zhì)性的瓶頸模型和同質(zhì)性的模型.本文假設(shè)瓶頸的通行能力是隨機(jī)的，出行者是相互異質(zhì)的，研究早高峰的出發(fā)時(shí)間選擇問題，推導(dǎo)和分析均衡解的性質(zhì).

2 經(jīng)典瓶頸模型（Vickrey model）

考慮一條高速公路將生活區(qū)H和工作區(qū)W連接起來，每天早晨有N個(gè)同質(zhì)通勤者開車從生活區(qū)H到工作區(qū)W上班.高速公路上設(shè)有一個(gè)具有有限通行能力的瓶頸，所有通勤者都希望經(jīng)由高速公路在上班時(shí)刻準(zhǔn)時(shí)到達(dá)工作地，但由于瓶頸通行能力有限，總有一部分出行者必然早到或遲到，因早到或遲到產(chǎn)生的成本稱作延誤成本.不失一般性，假設(shè)出行成本由出行時(shí)間成本和延誤成本兩部分構(gòu)成，出行者通過選擇出發(fā)時(shí)間而最小化其出行成本.t時(shí)刻出發(fā)者的出行成本可表示為

式中α是單位出行時(shí)間成本；β是單位早到延誤成本；γ是單位遲到延誤成本；為t時(shí)刻出發(fā)者的出行時(shí)間，s為瓶頸的通過能力，T0為自由流時(shí)間，因?yàn)門0是常數(shù)，可以設(shè)T0=0，Q(t)為t時(shí)刻瓶頸處的排隊(duì)長(zhǎng)度；SDE(t)早到時(shí)間；SDL(t)為遲到時(shí)間.t時(shí)刻的累積出發(fā)量為

式中te為最早出發(fā)時(shí)刻，r(t)為t時(shí)刻的出發(fā)率. t時(shí)刻出發(fā)者在瓶頸處遇到的排隊(duì)長(zhǎng)度可表示為

在均衡狀態(tài)下，所有人的出行成本都相等，沒有人可以通過單方面改變出發(fā)時(shí)間來減少其出行總成本，即dc(t)dt=0，由此可以推導(dǎo)出高峰期的開始和結(jié)束時(shí)刻、高峰期內(nèi)的出發(fā)率、排隊(duì)長(zhǎng)度和均衡個(gè)人出行成本.

3 模型描述

3.1 出行者異質(zhì)性

在現(xiàn)實(shí)生活中，個(gè)體的工資水平影響著出行者對(duì)時(shí)間價(jià)值的感知程度，由于個(gè)體工資存在差異，出行者的時(shí)間價(jià)值（VOT）往往是不同的.本文假設(shè)出行者的時(shí)間價(jià)值α是異質(zhì)的，服從某一概率分布，那么有

同時(shí)，還可以得到α′(x)與VOT的概率密度函數(shù)的關(guān)系如下：

由式（5）和式（6）可知，只要已知VOT的概率密度函數(shù)或累積分布函數(shù)就可以推導(dǎo)出α(x).

3.2 隨機(jī)通行能力

在確定性瓶頸模型中，通常假設(shè)瓶頸處的通行能力是固定的.事實(shí)上，由于隨機(jī)因素的存在，如雨雪天氣、道路維修、交通事故等，通行能力通常是變化的，這必將導(dǎo)致出行時(shí)間也隨之發(fā)生變化，從而影響出行者的出行行為.為體現(xiàn)通行能力隨機(jī)變化這一情形，本文假設(shè)在高峰期瓶頸的通行能力是一個(gè)隨機(jī)變量，在區(qū)間[θsˉ,sˉ]內(nèi)服從均勻分布，其中sˉ是瓶頸的初始設(shè)計(jì)通行能力，且參數(shù)θ≤1總成立.

3.3 用戶均衡

由于瓶頸處的通行能力s是隨機(jī)變量，導(dǎo)致每天同一時(shí)刻對(duì)應(yīng)的出行時(shí)間也是隨機(jī)變量.為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)從生活區(qū)H到工作區(qū)W的自由流時(shí)間為零，且所有出行者的準(zhǔn)時(shí)上班時(shí)間是相同的，都假設(shè)為零.那么，t時(shí)刻從生活區(qū)出發(fā)的第x個(gè)出行者的均衡期望出行成本由兩部分構(gòu)成：期望排隊(duì)成本和期望延誤成本，可表示為

其中

定義

為t時(shí)刻第x個(gè)出行者的期望等價(jià)出行時(shí)間.在均衡態(tài)，第x個(gè)出行者選擇任何時(shí)刻的期望等價(jià)出行時(shí)間相等，即

期望等價(jià)出行時(shí)間的計(jì)算依賴于期望排隊(duì)時(shí)間和期望延誤時(shí)間.由于每天的通行能力s是隨機(jī)變量，因此出行者即使每天選擇同一時(shí)刻出發(fā)也有可能早到或遲到，可能排隊(duì)也可能不排隊(duì).本文考慮通勤者可能出現(xiàn)的四種情況：(i)肯定早到；(ii)可能早到亦可能遲到；(iii)肯定遲到；(iv)肯定遲到但可能排隊(duì).這四種情況分別通過出發(fā)時(shí)間選擇區(qū)間予以討論.另外，定義te和tl分別為最早和最晚的出發(fā)時(shí)間，t1、t2和t3為對(duì)應(yīng)每種情況的時(shí)間區(qū)間邊界點(diǎn).由于篇幅有限，下面我們直接給出相繼四種情況的出發(fā)率r(t).

（i）肯定早到的區(qū)間[te,t1].

在該區(qū)間內(nèi)，無論瓶頸通行能力s如何變化，沒有一個(gè)出行者會(huì)遲到.式（9）可表示為

該時(shí)間區(qū)間內(nèi)的出發(fā)率為該情況的邊界條件為：當(dāng)s=θsˉ時(shí)，有SDE(t1)=0，且有R(t1)=-teθsˉ.

（ii）可能早到亦可能遲到的區(qū)間[t1,t2].

選擇在該時(shí)間區(qū)間內(nèi)出發(fā)的通勤者可能早到也可能遲到.如果通行能力s足夠大，通勤者將會(huì)早到.反之，則會(huì)遲到.那么該臨界通行能力應(yīng)該滿足等式T(t)+t=0，即有s=-R(t)te.因此式（9）可表示為

將其代入式（10），得

類似于情況（i），即使通行能力s達(dá)到最大sˉ，選擇該區(qū)間內(nèi)出行的通勤者仍然面臨遲到.因此式（9）可表示為

將其代入式（10），得

該情況的邊界條件是，R(t3)=sˉ(t3-te)，即當(dāng)s=sˉ時(shí)，選擇t3出發(fā)的通勤者排隊(duì)長(zhǎng)度為0.（iv）肯定遲到但可能排隊(duì)的區(qū)間[t3,tl].

該區(qū)間內(nèi)，出行者面臨的情況類似于（ii），且通勤者可能排隊(duì)亦可能不排隊(duì).那么t時(shí)刻排隊(duì)長(zhǎng)度為零的臨界通行能力s應(yīng)滿足方程R(t)=s(t-te)，即s=R(t)(t-te).因此式（9）可表示為

代入式（10），得

此區(qū)間的邊界條件滿足r(tl)=0，且有R(tl)=s?(tl-te)，其中

3.4 區(qū)間邊界時(shí)刻和均衡出行成本

由3.3可知，如果t＞tl，出發(fā)率始終為零，即r(t)=0.同時(shí)，在均衡態(tài)，高峰期起始時(shí)刻及各情況的時(shí)間區(qū)間邊界點(diǎn)與x無關(guān).那么，tl時(shí)刻的累積出發(fā)人數(shù)滿足方程R(tl)=N=s?(tl-te)，可得tl=te+N s?.另外，根據(jù)用戶均衡準(zhǔn)則，可知

總成立.由此，可得

其中

由（i）-（iii）的邊界條件，可得各區(qū)間邊界時(shí)刻如下：

由式（20）可得每個(gè)人的期望等價(jià)出行時(shí)間為

那么第x個(gè)出行者在高峰期的均衡出行成本可表示為

同時(shí)，可得總系統(tǒng)成本為

定理1在均衡態(tài)，參數(shù)θ增加，高峰期長(zhǎng)度下降.證明：由式（21）可知第一個(gè)和最后一個(gè)通勤者的出發(fā)時(shí)刻，因此高峰期區(qū)間可表示為

定理2在均衡態(tài)，參數(shù)θ增加，每位通勤者的出行成本下降，時(shí)間價(jià)值（VOT）越大的出行者，其成本降低的收益越大.

證明：由式（27）可知，第x個(gè)出行者的均衡出行成本為

將式（19）和式（22）代入上式，關(guān)于θ求導(dǎo)可得

由此可得

和

此外，可推知，

成立，即VOT越高的出行者，其均衡出行成本降低的收益越小.命題得證.

4 算例

本節(jié)用一個(gè)算例來支持前面的理論分析結(jié)果.模型的輸入?yún)?shù)如下：N=100,sˉ=50，η1=0.609，η2=2.377，α(x)=0.128x，即α在區(qū)間[0,12.8]內(nèi)服從均勻分布.

表1給出了期望等價(jià)出行時(shí)間及各時(shí)間區(qū)間邊界點(diǎn)隨參數(shù)θ變化的關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)θ越小，通勤者的最早出發(fā)時(shí)間就越早，最遲出發(fā)的時(shí)間也越早，高峰期長(zhǎng)度越長(zhǎng)（與3.4節(jié)中定理1的結(jié)論相符），出行個(gè)體的期望等價(jià)出行時(shí)間越大.這可以解釋為，參數(shù)θ值越小，通行能力退化的程度越嚴(yán)重，從而出行時(shí)間的不確定性越大，風(fēng)險(xiǎn)也就越大.因此，出行者會(huì)通過選擇提早出發(fā)來減少出行時(shí)間不確定性帶來的風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)，θ值越小，則意味著可用的通行能力越小，所以導(dǎo)致高峰期長(zhǎng)度延長(zhǎng)，出行者的成本相應(yīng)增加.

圖1刻畫了在其它參數(shù)保持不變的情況下，各類出行者的均衡出行成本與參數(shù)θ的關(guān)系.固定參數(shù)θ，可以發(fā)現(xiàn)，時(shí)間價(jià)值越大的出行者，其出行成本越大.相反，對(duì)于某一確定的時(shí)間價(jià)值，θ值越大，具有該時(shí)間價(jià)值的出行者成本越小.因此，我們可以得出這樣的結(jié)論，在均衡態(tài)，隨著參數(shù)θ增大，每個(gè)通勤者出行成本均隨之減少.這進(jìn)一步印證了定理2的結(jié)論.此外，對(duì)于一個(gè)固定的參數(shù)θ，時(shí)間價(jià)值越大的出行者，其收益越大.

圖1 均衡出行成本隨參數(shù)θ的變化圖Fig.1 The change of equilibrium travel cost with parameterθ

表1 參數(shù)θ對(duì)期望等價(jià)出行時(shí)間和臨界時(shí)刻的影響Table 1 The effect ofθon the expected equivalent travel time and the watershed time

5 研究結(jié)論

本文假設(shè)瓶頸通行能力隨機(jī)變化，研究了異質(zhì)出行者從生活區(qū)到工作區(qū)的早高峰通勤問題.出行者的時(shí)間價(jià)值(VOT)被設(shè)定成一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量，出行者按照遞增的VOT順序排列，且單位早到和遲到成本與時(shí)間價(jià)值的比值是固定的，在這一條件下刻畫了異質(zhì)出行者的出發(fā)時(shí)間選擇行為，并研究了隨機(jī)瓶頸模型下的高峰期長(zhǎng)度，以及個(gè)體均衡出行成本的變化.基于用戶均衡準(zhǔn)則，推導(dǎo)出了均衡的出發(fā)率、期望等價(jià)出行時(shí)間及相應(yīng)各時(shí)間區(qū)間的邊界點(diǎn).在均衡態(tài)，沒有人能夠通過單方面改變出發(fā)時(shí)間來減小其期望等價(jià)出行時(shí)間.另外，我們發(fā)現(xiàn)，隨著瓶頸通行能力隨機(jī)程度減低，高峰期長(zhǎng)度也隨之減小，個(gè)體均衡出行成本隨之降低，且時(shí)間價(jià)值（VOT）越大的出行者，其成本降低的收益越大.

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Stochastic Bottleneck Model with Heterogeneous Travelers

XIAO Ling-ling1,HUANG Hai-jun1,TIAN Li-jun2
（1.School of Economics and Management,Beihang University,Beijing 100191,China; 2.School of Management,Fuzhou University,Fuzhou 350108,China）

ract:This paper studies commuters’departure time choice behavior along a bottleneck constrained highway connecting a resident area and a workplace.Commuters are differentiated by their value of time, and the bottleneck capacity is assumed to follow a uniform distribution within a range.The equilibrium properties of the proposed model are derived and individual travel cost is obtained.It is found that at equilibrium, the increase of capacity variability would change the commuters’travel behavior by increasing the expected equivalent travel time and lengthening the peak period.Every commuter is better off by reducing the individual travel cost if the stochasticity of the capacity decrease,and commuters with high value of time benefit more than those with low values.Numerical results are presented to support analytic findings.

rds:highway transportation;travel behavior;bottleneck model;stochastic capacity;heterogeneity

1009-6744（2014）04-0093-06

U121

A

2013-07-22

2013-09-25錄用日期：2013-10-12

國家“973”計(jì)劃（2012CB725401）；北京航空航天大學(xué)博士生創(chuàng)新基金（302976）.

肖玲玲（1984-），女，湖南邵陽人，博士生. *

haijunhuang@buaa.edu.cn