基于米字型各向異性擴(kuò)散的破損藏式古唐卡修復(fù)研究

翟東海 李 帆 魚 江

(1.西南交通大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 四川成都 610031;2.西藏大學(xué)工學(xué)院 西藏拉薩 850000)

藏族傳統(tǒng)文化是中華民族多元化的重要組成部分，同時也是世界文化的瑰寶。其中的古代唐卡，具有很強(qiáng)的民族特點、濃郁的宗教色彩和獨特的藝術(shù)風(fēng)格，被視為人類的珍寶。唐卡繪畫語言的最大特征是精細(xì)，是名符其實的“盡精微、致廣大”［1］。然而，由于惡劣氣候環(huán)境、年代久遠(yuǎn)、人為保管不當(dāng)?shù)雀鞣N因素的影響使得唐卡表面出現(xiàn)顏色剝落以及折痕等損傷［2－4］。借助計算機(jī)圖像處理技術(shù)對破損古代唐卡圖像進(jìn)行修復(fù)，不但能降低古代唐卡保護(hù)的難度，減少人為因素對唐卡的損壞，而且能實現(xiàn)資源的共享，提高工作效率。

唐卡圖像具有精細(xì)、精微、結(jié)構(gòu)信息復(fù)雜的特點。如何對這類破損唐卡圖像進(jìn)行修復(fù)，且使修復(fù)后的破損唐卡更接近原始的完好圖像，是唐卡數(shù)字化保護(hù)的難題。目前，適合于精細(xì)以及結(jié)構(gòu)信息復(fù)雜的圖像修復(fù)算法主要是基于偏微分方程的，最典型的是Bertalmio等人［5］提出的 BSCB圖像修復(fù)模型。雖然原始的BSCB模型對圖像有很誘人的修補(bǔ)效果，但采用原始的BSCB模型修復(fù)圖像時會造成一定程度上的等照度線交叉的現(xiàn)象［6－9］。文獻(xiàn)［9］在BSCB模型的基礎(chǔ)上考慮了圖像的梯度信息和其相應(yīng)鄰點的信息，有選擇性地利用部分鄰點，并運(yùn)用加權(quán)的思想，提出了ASG算子，然后用ASG算子來代替光滑算子，對BSCB模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了BSCB－ASG模型，該算法雖然較原算法有更好的修復(fù)效果，但是該算法仍然沒有解決原有BSCB算法所存在的等照度線交叉的問題。原始的PM［10］各向異性擴(kuò)散模型具有很好的能保持圖像的紋理細(xì)節(jié)信息的特點，本文首先對PM模型進(jìn)行改進(jìn)，提出了米字型各向異性擴(kuò)散模型，然后將其用于BSCB模型中的擴(kuò)散過程中，對圖像進(jìn)行平滑降噪，提出了改進(jìn)的BSCB圖像修復(fù)模型。最后，本文利用原始的BSCB模型、BSCB－ASG模型以及本文提出的改進(jìn)的BSCB圖像修復(fù)模型對不同破損程度的唐卡圖像進(jìn)行修復(fù)，實例驗證圖像修復(fù)效果。

1 BSCB 模型［5，11］

Bertalmio等人借助藝術(shù)家的圖像修補(bǔ)方法提出了基于PDE的BSCB圖像修補(bǔ)模型。其主要思想是首先將圖像的完好區(qū)域周圍的信息沿著等照度線的方向傳輸?shù)狡茡p區(qū)域內(nèi)，當(dāng)進(jìn)行若干步信息傳輸?shù)牡^程后，算法再進(jìn)行一次擴(kuò)散的過程，以保證修補(bǔ)后的區(qū)域是平滑的過渡和防止等照度線的交叉。算法在進(jìn)行圖像修復(fù)時具體分為信息傳輸和方向擴(kuò)散。

1.1 信息傳輸

▽⊥表示梯度矢量▽I旋轉(zhuǎn)90°，即等照度線矢量，△I為Laplace算子，用以度量I的平滑性。按照式(1)進(jìn)行多次的迭代過程后，然后進(jìn)行第二步的方向擴(kuò)散步驟。

1.2 方向擴(kuò)散

為了有效避免待修復(fù)區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)多條等照度線相交的情況，Bertalmio等人加入了各向異性非線性擴(kuò)散過程，其模型如下:

式(2)中k(x，y，t)是等照度線在點(x，y)處的曲率。

2 改進(jìn)的BSCB圖像修復(fù)模型

原始的PM各向異性擴(kuò)散模型具有很好的能保持圖像紋理細(xì)節(jié)的特點，本文將對它進(jìn)行改進(jìn)，提出米字型各向異性擴(kuò)散模型，并將其運(yùn)用到BSCB算法中的擴(kuò)散過程中，便得到基于米字型各向異性擴(kuò)散的BSCB圖像修復(fù)模型。

2.1 原始的離散化PM各向異性擴(kuò)散模型

其中，IO表示O點的像素值，t為迭代次數(shù)，c是0～1之間的非負(fù)函數(shù)，表示擴(kuò)散的系數(shù)，DXIO表示X點像素值和O點像素值的差值。此外，λ的引入是為了保證新像素值計算的穩(wěn)定性，即得到的新像素值介于修復(fù)前相鄰5個點(如圖1所示)像素值的最大值和最小值之間，方括號外面的上標(biāo)t和下標(biāo)O適用于方括號里的每一項。

圖1 原始的PM各向異性擴(kuò)散模型Fig.1 The original PM anisotropic diffusion model

雖然原始的PM各向異性擴(kuò)散模型具有很好的平滑圖像的效果，但是它只利用了鄰域內(nèi)的{N，S，E，W}4個點的參考信息，使得其效果不夠明顯。為了有效的改善其平滑圖像的效果，本文在充分利用了原始算法中4個點的參考信息的基礎(chǔ)上，引入了待修復(fù)點鄰域內(nèi)另外4個點{NE，SE，NW，SW}的參考信息對PM模型進(jìn)行改進(jìn)，提出了米字型各向異性擴(kuò)散模型。

2.2 米字型各向異性擴(kuò)散模型

如圖2所示，在以O(shè)點為圓心，N點到O點的距離為半徑的圓的東北、東南、西北、西南的方向上虛構(gòu) 4 個點{NE＇，SE＇，SW＇，NW＇}，這 4 個點和原有的{N，S，E，W}4個點可視為O點的等效相鄰點。然后，將這8個點的像素信息利用文獻(xiàn)［10］的方法離散化后得到式(4):

其中，c是模型的擴(kuò)散系數(shù)，它滿足在圖像區(qū)域內(nèi)部盡可能加快擴(kuò)散速率，而在圖像邊界上降低擴(kuò)散速率。本文利用文獻(xiàn)［10］提供的方法，對c進(jìn)行如下計算:

函數(shù)g(s)是個單調(diào)遞減的函數(shù)［10，12］，它的取值范圍是(0，1］，當(dāng)它的函數(shù)值越接近1時，則擴(kuò)散速率越快;當(dāng)它的函數(shù)值越接近于0時，則擴(kuò)散速率越慢。把式(3)，(5)，(6)代入式(4)便得到米字型各向異性擴(kuò)散模型，如式(7):

將式(7)簡化表示為式(8)，即為簡化后的米字型各向異性擴(kuò)散模型:

其中，X∈ {N，S，E，W}，Y∈ {NE，SE，NW，SW}，0≦ λ ≦1/8。

圖2 米字型各向異性擴(kuò)散模型Fig.2 The UK －flag shaped anisotropic diffusion model

根據(jù)文獻(xiàn)［5］的修補(bǔ)過程，將上述米字型各向異性擴(kuò)散模型應(yīng)用到原始的BSCB模型的擴(kuò)散過程中，即為改進(jìn)的BSCB圖像修復(fù)模型。

3 實例驗證

在實例驗證過程中，首先分別分析了原始的BSCB算法、BSCB－ASG算法和本文算法對灰度破損古唐卡圖像的修復(fù)效果，然后將各算法擴(kuò)展到彩色空間分別進(jìn)行了實驗分析。同時，在實驗過程中本文針對唐卡圖像的破損特點又分為了剝落型、橫向折痕型、縱向折痕型的破損唐卡進(jìn)行了實驗分析，實驗環(huán)境為MATLAB 7.6.0版本，實驗中的迭代次數(shù)都為35。另外，為了定量比較各個算法的修復(fù)效果，本文采用了均方誤差(MSE)和算法運(yùn)行的時間作為比較的評價標(biāo)準(zhǔn)。MSE值越小表明算法的修復(fù)效果越好，針對單通道的圖像，MSE值的計算方法如下:

式(9)中，I為原圖像，I1為修復(fù)后的圖像，M和N分別為圖像的行數(shù)和列數(shù)。從式子中就可以看出，MSE值越小，表明修復(fù)后的圖像與原始圖像的差距就越小。

3.1 灰度唐卡圖像修復(fù)效果比較

圖3－圖5為3種算法對破損古唐卡的灰度圖像修復(fù)結(jié)果，圖3是模仿對剝落型破損唐卡的修復(fù)實驗，圖4、圖5是模仿對折痕型破損唐卡的修復(fù)實驗。本文將原始BSCB算法、BSCB－ASG算法和本文提出的算法對灰度圖像的修復(fù)效果進(jìn)行了比較分析。圖3－圖5中，(a)為原始圖像，(b)為破損圖像，(c)為采用原始BSCB算法的圖像修復(fù)效果，(d)為采用BSCB－ASG算法的修復(fù)效果，(e)為采用本文算法的修復(fù)效果。利用3種算法所得的修復(fù)后的圖像的視覺效果如圖3－圖5所示，各算法圖像修復(fù)效果比較如表1所示。

3.2 彩色唐卡圖像修復(fù)效果比較

圖6－圖8是3種算法對破損古唐卡彩色圖像的修復(fù)結(jié)果，圖6是模仿對剝落型破損唐卡的修復(fù)實驗，圖7－圖8是模仿對折痕型破損唐卡的修復(fù)實驗。圖6－圖8中，(a)為原始圖像，(b)為破損圖像，(c)為采用原始BSCB算法的圖像修復(fù)效果，(d)為采用BSCB－ASG算法的修復(fù)效果，(e)為采用本文算法的修復(fù)效果。利用3種算法所得的修復(fù)后的圖像的視覺效果如圖6－圖8所示，各算法圖像修復(fù)效果比較如表2所示。

從以上的實驗結(jié)果可以看出，本文提出的改進(jìn)的BSCB圖像修復(fù)算法在沒有增加算法的時間復(fù)雜度的情況下，其視覺效果和MSE值都優(yōu)于原始的BSCB和BSCB－ASG算法。這是因為本文算法將提出的米字型各向異性擴(kuò)散模型應(yīng)用到原始的BSCB算法擴(kuò)散過程中的結(jié)果，新提出的米字型各向異性擴(kuò)散模型具有很好的保持圖像紋理細(xì)節(jié)以及圖像邊界信息的特點，所以實驗結(jié)果和理論分析吻合。

圖3 灰度破損唐卡圖像修復(fù)效果對比實驗Fig.3 The inpainting effect contrasts of ancient gray Thangka

圖4 灰度破損唐卡圖像修復(fù)效果對比實驗Fig.4 The inpainting effect contrasts of ancient gray Thangka

圖5 灰度破損唐卡圖像修復(fù)效果對比實驗Fig.5 The inpainting effect contrasts of ancient gray Thangka

圖6 彩色破損唐卡圖像修復(fù)效果對比實驗Fig.6 The inpainting effect contrasts of ancient color Thangka

圖7 彩色破損唐卡圖像修復(fù)效果對比實驗Fig.7 The inpainting effect contrasts of ancient color Thangka

圖8 彩色破損唐卡圖像修復(fù)效果對比實驗Fig.8 The inpainting effect contrasts of ancient color Thangka

表1 灰度唐卡圖像各算法修復(fù)效果比較Table 1 The inpainting effects of ancient gray Thangka by using different algorithms

表2 彩色唐卡圖像各算法修復(fù)效果比較Table 2 The inpainting effects of ancient color Thangka by using different algorithms

4 結(jié)語

本文對原始的PM各向異性擴(kuò)散模型進(jìn)行改進(jìn)，提出了米字型各向異性擴(kuò)散模型，并將其應(yīng)用到原始的BSCB模型的擴(kuò)散過程中，提出了改進(jìn)的BSCB圖像修復(fù)模型。實例驗證結(jié)果表明，本文的算法在沒有增加算法的時間復(fù)雜度的情況下，在視覺效果上和均方誤差(MSE)的評價指標(biāo)上，都優(yōu)于原始的BSCB圖像修復(fù)算法，尤其是圖像邊緣過渡顯得非常自然。

［1］劉忠俊.論唐卡的審美［J］.http://www.cnki.net/kcms/detail/33.1166.TN.20130607.1013.201304.157_130.html，2013－6－7.

［2］劉華明，畢學(xué)慧.色彩脫落型唐卡破損區(qū)域的分割［J］.計算機(jī)工程與應(yīng)用，2013，49(4):219－223.

［3］格桑多吉.藏族傳統(tǒng)美術(shù)的審美分析［J］.西藏大學(xué)學(xué)報，2008，23(2):52－56.

［4］盧小寶.綜合偏微分方程的唐卡圖像修復(fù)研究［D］.甘肅蘭州市:西北民族大學(xué)，2011.

［5］BERTALMIO M，SAPIRO G，CASELLES V，et al.Image inpainting［C］.Proceedings SIGGRAPH 2000，Computer Graphics Proceedings.New Orleans，USA:Annual Conference Series，2000.417－424.

［6］張靜，余燁，葉強(qiáng)強(qiáng)，等.一種改進(jìn)的BSCB修復(fù)模型［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報，2011，23(S1):277－281.

［7］李薇，何金海，屈磊，等.一種改進(jìn)的BSCB修復(fù)模型［J］.計算機(jī)工程與應(yīng)用，2008，44(9):184－186.

［8］張紅英，彭啟琮.數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)綜述［J］.中國圖象圖形學(xué)報［J］.2007，12(1):1－10.

［9］曾勛勛，陳飛，王美清，等.基于BSCB模型的圖像修補(bǔ)算法［J］.福州大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2009，37(5):657－661.

［10］PERONA P， MALIK J. Scalespaceandedge detection using anisotropic diffusion［J］.IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelligence(S0162－ 8828)，1990，12(7):629－639.

［11］李功清.基于樣本和結(jié)構(gòu)信息的大范圍圖像修復(fù)算法研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2010.

［12］陳強(qiáng)，鄭鈺輝，孫權(quán)森，等.片相似性各向異性擴(kuò)散圖像去噪［J］.計算機(jī)研究與發(fā)展，2010，47(1):33 －42.