函數(shù)的比例關(guān)系在物理學(xué)中的應(yīng)用

鄭建德

數(shù)學(xué)的理念在物理教學(xué)中得到廣泛運(yùn)用，因此，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來解決物理問題，這具有很大的意義。比如數(shù)學(xué)函數(shù)的比例關(guān)系，來解決物理的問題，學(xué)生可以簡化繁瑣運(yùn)算過程、減小運(yùn)算量，為解題節(jié)省時間、提高解題速度及準(zhǔn)確性，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)物理的興趣。

物理問題數(shù)學(xué)運(yùn)用意義記得在剛學(xué)物理的第一節(jié)課的課堂上，我們的物理老師在介紹如何學(xué)習(xí)物理時曾說過一句話，數(shù)學(xué)中的一些知識對學(xué)習(xí)物理具有很重要的作用，在二十多年物理教育教學(xué)實(shí)踐感悟中確實(shí)如此。先別說大學(xué)物理中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)、微積分來解決物理問題的重要性，也不說高中物理中應(yīng)用一元二次方程、二元一次方程組的函數(shù)比例關(guān)系在解決物理問題的重要性，就說說數(shù)學(xué)中函數(shù)的比例關(guān)系在初中物理學(xué)中的應(yīng)用及意義。

在物理規(guī)律或公式中，各個物理量在一定的條件下都存在著比例關(guān)系。如液體壓強(qiáng)P=ρ液gh中，當(dāng)液體密度ρ液一定時，液體內(nèi)部壓強(qiáng)P與深度h成正比例關(guān)系，液體內(nèi)部同深度h處，液體內(nèi)部壓強(qiáng)P與液體密度ρ液成正比例關(guān)系。又如，吸熱或放熱公式Q=cm△t，當(dāng)物質(zhì)的比熱容C和物體質(zhì)量m一定時，物體吸收或放出的熱量Q與物體升高或降低的溫度△t成比例關(guān)系，當(dāng)物體質(zhì)量m和物體升高或降低的溫度△t一定時，物體吸收或放出的熱量Q與物質(zhì)的比熱容C成正比例關(guān)系，當(dāng)物體吸收或放出的熱量Q與物體質(zhì)量m一定時，物體升高或降低的溫度△t與物質(zhì)的比熱容C成反比例關(guān)系；又比如，電功率的計(jì)算公式P=UI，當(dāng)通過電路的電流I一定時（如在串聯(lián)電路中），電流做功的功率P與加在電路兩端的電壓U成正比例關(guān)系，當(dāng)加在電路兩端的電壓U一定時（如在并聯(lián)電路中），電流做功的功率P與通過電路的電流I成正比例關(guān)系，當(dāng)電流通過電路做功的功率P一定時，通過電路的電流I與加在電路兩端的電壓U成反比例關(guān)系等。很多物理問題所描述的現(xiàn)象都可分成開始狀態(tài)和最終狀態(tài)，而且在狀態(tài)變化的過程中至少存在一個物理量是不變的（一定的），根據(jù)物理現(xiàn)象所表達(dá)的物理規(guī)律，分別找出開始狀態(tài)和最終狀態(tài)中的已知量和未知量，并確定未知量和已知量之間的比例關(guān)系，列出比例式，進(jìn)行計(jì)算分析問題。

一、可以不用求出中間量

所謂的中間量就是物理現(xiàn)象變化過程中始終不變的物理量。通常情況下，大多數(shù)人解答物理問題的辦法是：先根據(jù)物理現(xiàn)象的開始狀態(tài)中各個已知量和中間量存在的物理規(guī)律，求出中間量，然后再根據(jù)現(xiàn)象變化后的最終狀態(tài)中的未知量跟已知量和中間量存在的物理規(guī)律，求出未知量，像這樣按部就班地解答物理問題，不但運(yùn)算過程繁瑣、運(yùn)算量大、運(yùn)算速度慢、浪費(fèi)時間，而且容易出錯。若根據(jù)物理規(guī)律或公式，利用比例關(guān)系，列出始末狀態(tài)對應(yīng)的比例式，省去中間過程。這不但可以簡化運(yùn)算過程、減少運(yùn)算量、提高運(yùn)算速度、節(jié)省時間，還可避免因中間過程出錯而引起整個問題都錯，提高解決問題的準(zhǔn)確性。

例1.加在某導(dǎo)體兩端的電壓是36V，導(dǎo)體中的電流是0.9A，若導(dǎo)體兩端電壓變?yōu)?V，則通過這段導(dǎo)體的電流是多少？

分析：此題按常規(guī)解法，應(yīng)先根據(jù)開始狀態(tài)中的電壓（U1=36V）和電流（I1=0.9A），利用歐姆定律I1=U1R求出導(dǎo)體的電阻R，而因?yàn)閷?dǎo)體的電阻是導(dǎo)體本身的一種特性，不隨加在導(dǎo)體兩端的電壓和通過導(dǎo)體的電流的變化而變化，故而可以再根據(jù)求得的導(dǎo)體電阻值和最終狀態(tài)中的電壓值（U2=6V），利用歐姆定律I2=U2R求出此時通過導(dǎo)體的電流I2，在這過程中，若導(dǎo)體的電阻R求錯了，那最后的電流I2也會跟著錯了。而此題中導(dǎo)體的電阻R是一個不變的物理量，根據(jù)歐姆定律I=UR，當(dāng)導(dǎo)體電阻R一定時，通過導(dǎo)體的電流I與加在導(dǎo)體兩端的電壓U成正比例，列出比例式I2I1=U2U1，根據(jù)比例式可求出得，I2=U2U1?I1，把已知量U2、U1、I1的值代入上式中，求出I2的值，簡單、省時、不易錯。

解：根據(jù)歐姆定律I=UR，在導(dǎo)體電阻R一定時，通過導(dǎo)體的電流與加導(dǎo)體兩端的電壓U成正比，即I2I1=U2U1，可得：I2=U2U1?I1=6V36V×0.9A=0.15A

答：通過這段導(dǎo)體的電流是0.15A。

二、可約去比例式中相同的數(shù)，簡化運(yùn)算過程

在很多物理現(xiàn)象變化的過程中，開始狀態(tài)和最終狀態(tài)的同一物理量往往存在一定的倍數(shù)關(guān)系，利用比例式計(jì)算時，可直接約掉式中的分子和分母相同的公約數(shù)或數(shù)級（如103）。在選擇題和填空題中，開始狀態(tài)和最終狀態(tài)中描述的同一物理量的數(shù)值往往較小。這種情況下，利用比例關(guān)系用口算就可以得出結(jié)果，從而減少了由于運(yùn)算量較大時出現(xiàn)的錯誤，大大地節(jié)省時間和提高解題的準(zhǔn)確性及速度。

例2.0一根質(zhì)地、粗細(xì)均勻的木棒重力900N，放在水平面上，如下圖，若在木棒的一端用豎直向上的力將木棒抬起，這力應(yīng)多大？

分析：此題中的木棒可以看作杠桿，因?yàn)槟景羰撬降?，且動力F是豎直向上的，所以動力臂L1等于木棒的總長度AB，而由于木棒的質(zhì)地、粗細(xì)是均勻的，故而這里作為阻力的木棒重G的作用點(diǎn)就在木棒的幾何中心點(diǎn)上，且重力是豎直向下的，所以阻力臂L2就等于木棒的一半長度12AB，根據(jù)杠桿平衡時力與力臂是成反比例關(guān)系，列出比例式：FG=L2L1，可求得動力F=L2L1?G，將已知的動力臂L1、阻力臂L2和阻力G的值分別代入上式，約去L1和L2 相同的數(shù)，簡化運(yùn)算過程，即可求出動力F的值。此題若改為選擇題或填空題時，根據(jù)杠桿平衡時力跟力臂是成反比例的，抬起木棒的過程中，由于動力臂（L1=LAB）等于阻力臂（L2=12LAB）的2倍，所以動力F就等于阻力G的二分之一，即F=12G=12×900N=450N，這就更簡單了，不用筆算，甚至口算就行了。

解：依題意，有：L1=LAB ，L2=12LAB

根據(jù)杠桿平衡條件：FL1=GL2，

可得：F=L2L1?G=12LABLAB×900N=450N

答：這個力應(yīng)為450N。

三、比例式中同一物理量的單位統(tǒng)一即可

常規(guī)情況下，應(yīng)用物理規(guī)律或公式進(jìn)行計(jì)算時，公式中的每一個物理量都應(yīng)采用國際基本單位，才能代入公式中進(jìn)行計(jì)算，而實(shí)際問題中很多物理量所給單位都是常用單位。這就使得我們在計(jì)算前應(yīng)先進(jìn)行單位換算，若單位換算錯了，最后的結(jié)果也跟著錯了。對此也是學(xué)生最容易搞錯的一個環(huán)節(jié)，而應(yīng)用比例關(guān)系求解物理問題時，比例式中同一物理量不論是用基本單位，還是用常用單位都可以，只要單位統(tǒng)一，都可以對約，不影響計(jì)算結(jié)果。這不但可以避免因單位換算搞錯而做錯題目，而且學(xué)生做題時節(jié)省時間和提高了解題的準(zhǔn)確性及速度。

例3.有一粗細(xì)均勻的平底試管質(zhì)量為50g，高為25㎝，在試管內(nèi)裝入70g的砂子并放入水中，試管露出水面的高度為15㎝，若要使試管不沉入水中，最多可往試管中裝入多少克砂子？

分析：此題中在試管加入70g砂子時試管處于漂浮狀態(tài)，這時試管所受浮力F浮1與試管和砂子的總重（m0+m1）g相等，當(dāng)向試管加入砂子直至試管口與水面相平時，試管處于懸浮狀態(tài)，這時試管所受浮力F浮2與試管和砂子的總重（m0+m2）g也相等，再根據(jù)阿基米德原理F浮=ρ水gsl，可得m總g=ρ水gsl，而這兩種狀態(tài)下，液體的密度ρ水和試管的橫截面S是一定的，這時試管和砂子的總質(zhì)量m總與試管浸入水中的長度l成正比例關(guān)系，據(jù)此列出比例式m0+m2m0+m1=l0l1，(l1=l0－l1)可求得最多裝入的砂子m2=l0l1(m0+m1)－m0。至此，常規(guī)計(jì)算都是先將砂子質(zhì)量m1和m2、試管質(zhì)量m0和試管浸入水中的長度l1和l2的單位轉(zhuǎn)化為基本單位再代入式中進(jìn)行計(jì)算。這不但使數(shù)據(jù)復(fù)雜化，還使運(yùn)算過程更麻煩，然而在這比例式中，由于l1和l0的單位可以對約。若直接使用題中提供的常用單位時，不僅式中數(shù)據(jù)不復(fù)雜，運(yùn)算還簡單多了。

解：依題意，不管是初始狀態(tài)還是終了狀態(tài)，都有F浮=m總g，

又據(jù)阿基米德原理 F浮=ρ水gV排=ρ水gsl

∵這兩狀態(tài)中的ρ水和試管的橫截面S是一定的，

∴試管和砂子的總質(zhì)量m總與試管浸入水的長度l是成正比例的，

即：m0+m2m0+m1=l0l0－l1

∴ m2=l0l0－l1(m0+m1)－m0=25cm25cm－15cm×(50g+70g)－50g=250g

答：最多可往試管內(nèi)裝入250g的砂子。

四、可不用筆算直接分析解題

在很多填空題和選擇題中，物理現(xiàn)象變化的初始狀態(tài)和最終狀態(tài)中各個物理量都沒有具體數(shù)值，只是要求根據(jù)物理規(guī)律判斷最終狀態(tài)中的某個物理是怎么變化的（即是變大、變小或不變）。此類題型若用比例關(guān)系來分析解答，成正比例關(guān)系時，最終狀態(tài)中的物理量會隨著初始狀態(tài)中的某一個物理量的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；成反比例關(guān)系時，最終狀態(tài)中的物理會隨初始狀態(tài)中的某一物理量的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅W(xué)生掌握其規(guī)律可以節(jié)省解題時間，提高解題速度。

例4.如下圖所示，當(dāng)滑動變阻器R1的滑片P向右滑動時，電流表A的示數(shù)___，電壓表V的示數(shù)___ 。（電源電壓保持不變）（填“變大”“變小”或“不變”）。

分析：此類題型中，滑動變阻器R1的滑片P右邊的電阻線被變阻器R1上方連接滑片P的導(dǎo)線短路，在電路中不起作用，這時滑動變阻器R1的滑片P左邊的電阻線與電路中的定值電阻R0是串聯(lián)的，而串聯(lián)電路中通過變阻器R1的電流跟通過定值電阻R0的電流是相等的。根據(jù)歐姆定律I=UR，當(dāng)通過導(dǎo)體的電流一定時，加在導(dǎo)體兩端的電壓U跟導(dǎo)體的電阻R是成正比例關(guān)系的，即加在定值電阻R0和變阻器R1兩端的電壓是按定值電阻R0和變阻器R1的阻值大小進(jìn)行正比分配的，也就是說電阻大的導(dǎo)體，它兩端的電壓也跟著大，當(dāng)變阻器R1的滑片P向右滑動時，連入電路中的電阻變大，則加在變阻器R1兩端的電壓也變大，所以電壓表V的示數(shù)將變大；又因?yàn)榇?lián)電路中的總電阻是等于各個分電阻之和，即R=R1+R0，且電路中的總電壓U是不變的，根據(jù)歐姆定律I=UR，在總電壓U一定的情況下，電路中的總電流I跟電路中的總電阻R是成反比例關(guān)系的，即通過電路中的總電流I會隨電路中的總電阻R的增大而減小，滑動變阻器R1的滑片P向右滑動時，連入電路中的電阻變大，電路中的總電阻R也變大。所以，電路中的總電流I反而變小，即電流表A的示數(shù)將變小。

答：電流表A的示數(shù)變小，電壓表V的示數(shù)變大。

綜上所述，不難看出應(yīng)用函數(shù)的比例關(guān)系解答物理問題，可以簡化運(yùn)算過程、減小運(yùn)算量、節(jié)省時間、提高解題速度和準(zhǔn)確性，這對提高學(xué)生的物理成績和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣具有很大意義。因此，教師在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會物理問題用數(shù)學(xué)來解題的方法。