如何提高線性代數(shù)的自考通過(guò)率

王文相　夏云

摘 要： 作者分析了線性代數(shù)各部分學(xué)習(xí)內(nèi)容特點(diǎn)，對(duì)如何學(xué)好線性代數(shù)提出了方法。

關(guān)鍵詞： 線性代數(shù) 自學(xué)考試 線性變換 特征值

線性代數(shù)（Linear Algebra）是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的研究對(duì)象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題。因而，線性代數(shù)被廣泛應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過(guò)解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學(xué)研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數(shù)被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中。

線性代數(shù)的主要內(nèi)容是研究代數(shù)學(xué)中線性關(guān)系的經(jīng)典理論。由于線性關(guān)系是變量之間比較簡(jiǎn)單的一種關(guān)系，而線性問(wèn)題廣泛存在于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，并且一些非線性問(wèn)題在一定條件下，可以轉(zhuǎn)化或近似轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，因此線性代數(shù)所介紹的思想方法已成為從事科學(xué)研究和工程應(yīng)用工作的必不可少的工具。尤其在計(jì)算機(jī)高速發(fā)展和日益普及的今天，線性代數(shù)作為高等學(xué)校工科本科各專業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課，其地位和作用更顯得重要。

線性代數(shù)主要研究了三種對(duì)象：矩陣、方程組和向量。這三種對(duì)象的理論是密切相關(guān)的，大部分問(wèn)題在這三種理論中都有等價(jià)說(shuō)法。因此，熟練地從一種理論的敘述轉(zhuǎn)移到另一種，是學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)應(yīng)養(yǎng)成的重要習(xí)慣和形成的重要素質(zhì)。如果說(shuō)與實(shí)際計(jì)算結(jié)合最多的是矩陣的觀點(diǎn)的話，那么向量的觀點(diǎn)則著眼于從整體性和結(jié)構(gòu)性考慮問(wèn)題，因而可以更深刻、更透徹地揭示線性代數(shù)中各種問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)屬性。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)做到心中有數(shù)，將內(nèi)容一步步分解為這些簡(jiǎn)單問(wèn)題的疊加。學(xué)習(xí)重點(diǎn)應(yīng)放在理解和運(yùn)用和計(jì)算上，老師上課時(shí)的例題很重要，要方便學(xué)生課后理解消化，學(xué)生要勤做練習(xí)加深理解，做題時(shí)應(yīng)分清各類題型，舉一反三。筆者從事線性代數(shù)的教學(xué)和自考輔導(dǎo)工作多年，對(duì)如何學(xué)好這門(mén)課有自己的認(rèn)識(shí)。

一、注重對(duì)基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。

線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價(jià)（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，極大線性無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

我們不僅要準(zhǔn)確把握住概念的內(nèi)涵，而且要注意相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過(guò)關(guān)，重要的有：行列式（數(shù)字型、字母型）的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量（定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法），判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣（亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形）。

二、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。

線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問(wèn)自己做得對(duì)不對(duì)，再問(wèn)做得好不好。只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開(kāi)闊了。例如：設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB=0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax=0的解，再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論和矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系，可以有r（B）≤n-r（A），即r（A）+r（B）≤n，進(jìn)而可求矩陣A或B中的一些參數(shù)。上述例題說(shuō)明，線性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性較大，同學(xué)們整理時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。

三、注重邏輯性與敘述表述。

線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過(guò)證明題可以了解考生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還要注意語(yǔ)言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。

自學(xué)考試的特點(diǎn)是難度不大，考點(diǎn)廣泛，要求基礎(chǔ)扎實(shí)，面面俱到。每年的考卷內(nèi)容變化不是太大，基礎(chǔ)題重復(fù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)較大。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，把概念搞清楚、內(nèi)容理順后，對(duì)往年的真題進(jìn)行大量的強(qiáng)化練習(xí)，相信一定會(huì)取得好成績(jī)。

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