插值法與擬合法在單擺測重力加速度中的應(yīng)用

胡鳳蓮，馬大柱

(湖北民族學(xué)院理學(xué)院，湖北恩施 445000)

不同于插值法(拉格朗日插值、牛頓差值、埃爾米特插值等)［1］必須經(jīng)過每一對數(shù)據(jù)節(jié)點，基于最小二乘法原理［2］構(gòu)造的擬合法可以避免由于偶然誤差導(dǎo)致兩個物理量之間的不確定性，因此能更為客觀地反應(yīng)物理量之間的真實函數(shù)關(guān)系.在單擺法測重力加速度實驗［3］中，該方法是一種求擬合直線斜率最直接有效的方式.本文基于擬合法和插值法的構(gòu)造特點，提出以多種方式將兩者結(jié)合使用，力圖找到最簡單有效的數(shù)據(jù)處理方法.

1 實驗原理及數(shù)據(jù)

2 數(shù)據(jù)處理方法

2.1 原理

表1 實驗記錄數(shù)據(jù)Tab.1 Experiment data

1)擬合法(m=0，1，2，3，…，k)，解出系數(shù)A0，A1，A2，…，Ak帶回到擬合方程.線性擬合法是其中最簡單的一種.

2)拉格朗日線性插值

兩點線性拉格朗日插值的構(gòu)造形式簡單.用通過點A(x0，f(x0))和B(x1，f(x1))的直線近似的代替曲線y=f(x)，直線的點斜式表示為:

于是線性插值函數(shù)可以表示為:p(x)=l0(x)y0+l1(x)y1.

2.2 數(shù)據(jù)處理

2.2.1 線性擬合法 Excel軟件的擬合方式即為線性擬合方法，直接將實驗記錄數(shù)據(jù)導(dǎo)入，可得函數(shù)表達(dá)式為y=3.9967x+0.0231，通過直線的斜率可以計算出重力加速度g=9.878 m/s2.

2.2.2 二次多項式擬合與線性擬合組合 首先用上述6組數(shù)據(jù)進(jìn)行二次多項式擬合，可設(shè)擬合方程為Y=A0+A1x+A2x2，并利用最小二乘法原理計算出 A0，A1，和A2.通過 Matlab［5］軟件求出擬合方程為:

其次將6個節(jié)點確定的5條線段的中點橫坐標(biāo)代入到擬合方程，得出5個點分別是(0.75，3.019 637 5)，(0.85，3.423804)，(0.95，3.8216495)，(1.05，4.2208495)，(1.15，4.61884565).最后對這五對數(shù)據(jù)用 Matlab［6］進(jìn)行線性擬合，得出其擬合方程為y=3.9980x+0.0223，通過直線的斜率算出重力加速度g=9.875m/s2.

2.2.3 三次多項式擬合與一次擬合組合 類似的，假設(shè)三次多項式的基本形式為Y=A0+A1x+A2x2+A3x3，得出擬和方程為 Y=2.0864－2.7515x+7.2144x2－2.5231x3，將6 個節(jié)點確定的5 條線段的中點橫坐標(biāo)代入擬合方程，得出 5 個點分別為(0.75，3.016 442 19)(0.85，3.410 530)(0.95，3.820 228 14)(1.05，4.230 397 36)(1.15，4.62589929).在此基礎(chǔ)上，對上述數(shù)據(jù)再進(jìn)行線性擬合得出方程 y=4.0388x－0.0161，計算得到重力加速度 g=9.775 m/s2.

2.2.4 線性插值與線性擬合組合 將6組數(shù)據(jù)在坐標(biāo)軸上描出，L與T2成直線關(guān)系，可以利用拉格朗日線性插值公式.6組數(shù)據(jù)選擇其中任意兩組數(shù)據(jù)均可以得到1個線性插值函數(shù)，都可以作為所求的L與T2之間的關(guān)系式，但由于沒有涉及到所有的實驗數(shù)據(jù)，偶然誤差很大.為了盡可能地減少數(shù)據(jù)處理方法對實驗結(jié)果的影響，建議采用分段線性插值的方法，分別將相鄰的兩點作為插值點，一共可以得到5個線性插值函數(shù):

容易得出 AB，BC，CD，DE，EF 的中點坐標(biāo)為:G(0.761 05，3.064 4)，H(0.861 05，3.457 95)，I(0.961 05，3.862)，J(1.061 05，4.274 15)，K(1.161 05，4.665 95).如果以這 5 條線段的斜率求平均值，其誤差比較大.但只要將5條線段的中點作為已知點(表2)，可對這5對數(shù)據(jù)再進(jìn)行線性擬合，得出的線性方程y=4.019 3x+0.002 1，最后求出重力加速度 g=9.822 m/s2.

表2 五條線段的中點值及對應(yīng)函數(shù)Tab.2 Midpoint value and correspondence function for five line segments

3 百分誤差對比

設(shè)當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭=9.799 m/s2，根據(jù)上述分析結(jié)果可求出各種方法的百分誤差.從表3中可以看出，直接采用線性擬合法的百分誤差最大，拉格朗日插值與線性擬合組合方法的百分誤差最小，三次多項式擬合與線性擬合組合要比二次多項式擬合與線性擬合組合方法的百分誤差要小很多.

表3 百分誤差對比Tab.3 Percentage error comparison

4 結(jié)論

本文主要考慮基本數(shù)據(jù)處理方法在實驗中的應(yīng)用問題.基于曲線擬合和拉格朗日線性插值基本原理，采用多種組合方式處理了單擺測重力加速度實驗中所得數(shù)據(jù)，并以Matlab作為輔助工具，得到了各種方法的擬合表達(dá)式，根據(jù)線性關(guān)系計算出了重力加速度值.通過比較百分誤差，發(fā)現(xiàn)線性擬合與拉格朗日插值組合方法的百分誤差最小.

本文的討論方法在科學(xué)實驗和生產(chǎn)實踐中有一定的應(yīng)用價值.對于大量數(shù)據(jù)得到的近似線性關(guān)系，推薦采用線性擬合與拉格朗日插值組合方法.對于非線性關(guān)系的擬合，有待進(jìn)一步討論.

［1］李紅.數(shù)值分析［M］.2版.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2010.

［2］黨興菊，吳文良.最小二乘法擬合直線公式的初等推導(dǎo)［J］.重慶科技學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2010(4):185－187.

［3］丁紅旗.大學(xué)物理實驗［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010.

［4］黃云清.數(shù)值計算方法［M］.北京:科學(xué)出版社.2010.

［5］宋益榮，萬冬梅.四種插值法的特點比較［J］.商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2013，12(2):9－11.

［6］周建興.MATLAB從入門到精通［M］.北京:人民郵電出版社，2008.