空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的有限元方法

曹俊英，王自強(qiáng)

(貴州民族大學(xué)理學(xué)院，貴州貴陽 550025)

分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程是由傳統(tǒng)的擴(kuò)散方程［1］演化而來，將傳統(tǒng)的擴(kuò)散方程中的空間二階導(dǎo)數(shù)項??x22用 α(1＜α＜2)階導(dǎo)數(shù)aDαxu(x)替代.2004年，F(xiàn)ix和Roop［2］采用最小二乘有限元法對兩點(diǎn)邊值問題進(jìn)行數(shù)值近似.2007年Ervin和Roop［3］提出用Galerkin有限元法求空間分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程的弱解.2008年Huang等［4］針對對流－彌散方程用Caputo導(dǎo)數(shù)發(fā)展了一個無條件穩(wěn)定的有限元方法.2010年Zheng等［5］給出了有限元求解空間分?jǐn)?shù)階非齊次對流擴(kuò)散方程的誤差估計.2011年Chen等［6］用edge－based光滑的有限元方法(ES－FEM)推廣到了各向異性介質(zhì)的分?jǐn)?shù)階問題.本文利用有限元的思想構(gòu)造了一個半離散數(shù)值格式，并嚴(yán)格證明格式的收斂性分析，數(shù)值例子驗證了理論分析的結(jié)果.

1 問題和弱形式

設(shè)Ω=［A，B］，I=［0，T］分別為空間區(qū)域和時間區(qū)域，記¤T:=Ω×I.考慮如下一維的空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程:

這里α∈(1，2)是空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).式(1)中的aDαxu(x)采用Caputo導(dǎo)數(shù)，定義為:

式(1)的弱形式為:

引理1雙線性形式a(·，·)在空間(Ω)上式連續(xù)的、強(qiáng)制的，亦即:存在常數(shù) γ＞0，β＞0，

2 半離散有限元逼近的收斂性分析

設(shè)Vh是(Ω)的一族子空間且滿足:對于整數(shù)r≥2和充分小的h，

將對半離散解和精確解之間的L2－模誤差估計給出證明.

定理1設(shè)uh和u分別是方程(4)和方程(2)的解，則:

證明令:uh－u=θ+ρ，其中 θ=uh－Rhu，ρ=Rhu－u.

上式第二項ρ由引理2容易估計，且有:

為了估計θ，注意到:

上述推導(dǎo)過程中，利用了Rh的定義和Rh與時間微分可交換性.由于θ屬于Vh，在式(7)中選取v=θ，可得:

由于第二項是非負(fù)的，故得:

另一方面，對上式右端項進(jìn)行下面估計:

綜合上述的估計式，定理1得證.

3 數(shù)值例子

考慮具有精確解為:u(x，t)=x2(x－1)2sint的方程(1)，相應(yīng)的右端項為:

對格式(2)的時間方向用向前歐拉方法進(jìn)行離散，即得全離散格式.再取式(6)中的r=2，即在空間上用線性元進(jìn)行離散.可知格式(2)在空間方向上式2階.對此全離散格式進(jìn)行做一系列的數(shù)值試驗，以驗證理論分析的正確性.

為了觀測數(shù)值解對精確解的逼近度，計算在范數(shù)L2下的誤差‖uNh－u(T)‖，表1的數(shù)值結(jié)果都是在T=1時得到的.研究空間收斂階，為此，取時間步長足夠小使得其產(chǎn)生的誤差不影響空間精度.在表1中，列出了α和h取一系列不同值時得到的L2－誤差，并列出了相應(yīng)的階數(shù).從表1中看到，當(dāng)1＜α＜2時，空間精度是二階.這與理論分析相符合.

表1 α=1.2，α=1.5，α=1.8，L2－誤差和收斂階Tab.1 L2－errors and decay rates with α=1.2，α=1.5，α=1.8

［1］曹俊英，尹文雙，張大凱.解拋物型方程的七點(diǎn)隱格式［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2009，27(1):34－36.

［2］Fix G，Roof J.Least squares finite－element solution of a fractional order two－point boundary value problem［J］.Comput Math Appl，2004，48(7/8):1017－1033.

［3］Ervin V，Heuer N，Roop J.Numerical approximation of a time dependent，nonlinear，space－fractional diffusion equation［J］.SIAM J Numer Anal，2007，45(2):572－591.

［4］Huang Q，Huang G，Zhan H.A finite element solution for the fractional advection－dispersion equation［J］.Adv Water Resour，2008，31(12):1578－1589.

［5］Zheng Y，Li C，Zhao Z.A note on the finite element method for the space－fractional advection diffusion equation［J］.Comput Math Appl，2010，59(5):1718－1726.

［6］Chen L，Liu G，Jiang Y，et al.A singular edge－based smoothed finite element method(ES－FEM)for crack analyses in anisotropic media［J］.Engineering Fracture Mechanics，2011，78(1):85－109.

［7］曹俊英.分?jǐn)?shù)階微分方程的高階數(shù)值方法研究［D］.廈門:廈門大學(xué)，2012.