雙材料反平面非對稱界面端研究

趙 絢，楊 林，王小麗，李俊林

(1.運(yùn)城師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，山西運(yùn)城 044000;2.太原科技大學(xué)運(yùn)城工學(xué)院基礎(chǔ)部，山西運(yùn)城 044000;3.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西太原 030024)

文獻(xiàn)［1－3］給出了正交異性雙材料反平面(對稱)界面裂紋的理論分析與研究，并求解出了相應(yīng)的應(yīng)力場、位移場及應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式.文獻(xiàn)［4－6］給出了正交異性雙材料半無限裂紋界面裂紋理論分析.文獻(xiàn)［7－8］給出了反平面界面端應(yīng)力強(qiáng)度因子經(jīng)驗(yàn)公式及實(shí)驗(yàn)結(jié)論.本文研究了正交異性雙材料非對稱反平面的界面端問題，通過構(gòu)造了應(yīng)力函數(shù)，并結(jié)合復(fù)變方法，在給定的自由邊界及連續(xù)條件下，得到了一組四階齊次線性方程組，從而求解出了正交異性雙材料非對稱反平面界面端的特征方程，并對特征值λ的變換規(guī)律做出了相應(yīng)的研究.

1 反平面撕開型力學(xué)模型

如圖1所示，λ為兩種不同的材料粘接界面.θ2為第1類正交異性的復(fù)合材料，其中復(fù)合材料的工程常數(shù)為φj(j=1，2)，y＜0為第2類正交異性的復(fù)合材料，其復(fù)合材料工的程常數(shù)是(G23)2，(G31)2.

在反平面撕開型，即III型裂紋中，位移表示如下:

而對正交異性雙材料來說，假設(shè)材料的彈性主軸與坐標(biāo)軸是重合的，則由其物理方程得到相應(yīng)的應(yīng)力分量:

圖1 III裂紋Fig.1 III model interface crack

由彈性力學(xué)知道，此控制方程為:

整理式(1)可得到:

由彈性力學(xué)得到，其相應(yīng)的應(yīng)力分量為:

其中:r和 θ為從裂紋邊緣起度量的極坐標(biāo).而常數(shù)(Q44)j=(G23)j，(Q55)j=(G31)j;(G23)j，(G31)j(j=1，2)是材料的剪切模量.

2 給定的自由邊界條件及連續(xù)條件

如圖1所示，此圖為正交異性雙材料反平面界面端的問題，其界面連續(xù)條件及自由邊界條件可表示為:

設(shè)位移為wj=wj(x+sjy)，wj(x+sjy)對固定的j是任一復(fù)變函數(shù).

將wj(x+sjy)代入控制方程(1)，得到特征方程:

定義Δj=－(Q44)j(Q55)j，方程(7)有兩對共軛虛根，取其虛部大于零的根如下:

3 界面裂紋的特征方程

假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為:

同理可得出(τrz)2，(τθz)2.

將式(11)代入 式(4)～(6)可得到一組關(guān)于(a1，a2，b1，b2)的四階齊次線性方程組:

由式(12)得:a1=a2，(Q44)1β1b1=(Q44)2β2b2.

式(12)是一組齊次線性方程組，要使式(12)有一組非零解，則由線性方程組定理知，其系數(shù)的行列式必為零.因此可求解出關(guān)于λ的特征方程:

其中:μj=βj(Q44)j(j=1，2)

一般情況下，方程(13)根有很多，有可能是實(shí)數(shù)，也有可能是復(fù)數(shù).考察式(13)不難看出，當(dāng)給出的復(fù)合材料組合確定時(shí)，就可以試圖通過改變角度θ1，θ2的值，找到使其界面端附近應(yīng)力場奇異消失的根，下面來研究兩種特殊非對稱界面端的應(yīng)力奇異性的相關(guān)問題.

4 兩種特殊反平面非對稱界面端的應(yīng)力奇異性

圖2 特征根λ隨材料參數(shù)Γ的變換圖F i g.2 The transformation graph of λ eigenvalue changing with material parameter Γ

圖3 特征根λ隨材料參數(shù)Γ的變換圖Fig.3 The transformation graph of λ eigenvalue changing with material parameter Γ

當(dāng)Γ≤2時(shí)，可得λ=±1，3，5，…在這種情況下，雙材料(正交異性)反平面界面端附近的應(yīng)力場是不存在奇異性的.

5 結(jié)論

圖4 λ隨Γ變換圖Fig.4 The transformation graph of λ changing with Γ

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