具有小周期震蕩參數(shù)時間分?jǐn)?shù)階擴散方程的二階雙尺度有限元算法

王自強，曹俊英

(貴州民族大學(xué)理學(xué)院，貴州貴陽 550025)

1 二階雙尺度漸近展開式的構(gòu)造及逼近性分析

考慮問題:

類似于文獻［1，7－8］，假設(shè)(1)的解具有下面的多尺度漸近展開式:

這里:

iii)均勻化方程為:

iv)局部函數(shù)Nij(y)屬于V且滿足:

利用文獻［1］中處理熱傳導(dǎo)方程二階雙尺度漸近展開式的收斂性分析方法和文獻［6］分析時間分?jǐn)?shù)階方程解始定性的技巧，可以證明下面的結(jié)果:

2 基于二階雙尺度漸近展開式的有限元算法及數(shù)值算例

類似于文獻［7］，建立問題(1)的二階雙尺度有限元算法如下:

3)在參考單胞Y上利用與(ii)相同的有限元網(wǎng)格求解方程(7)得到二階的局部函數(shù)(y)的近似值.

為了驗證本文提出算法的有效性，下面對問題(1)進行二階雙尺度近似解的計算.取f=10，α=0.6，ε=0.1，T=1，Ω=［0，1］2和 Y=［0，1］2.進一步，設(shè)方程(1)的系數(shù)為在 Y1中 aij(y)= δij和在 Y1中 aij(y)=0.01δij.在圖3～6中分別給出了uε的細(xì)網(wǎng)格有限元解，均勻化解u，一階雙尺度近似解u(1)和二階雙尺度近似解u(2).

圖1 宏觀區(qū)域ΩFig.1 The macro domain Ω

圖2 參考單胞YFig.2 The reference cell Y

圖3 uε的細(xì)網(wǎng)格有限元解Fig.3 The FEM solution of uεin refined mesh

圖4 均勻化解uFig.4 Homogenization solution u

圖5一階近似解u(1)Fig.5 FOTS’s solution u(1)

圖6 二階近似解u(2)Fig.6 SOTS’s solution u(2)

通過圖3～6可知:均勻化解u僅僅可以反映出uε變化的宏觀特征，一階雙尺度近似解u(1)可以反映出uε的部分特征，二階雙尺度近似解u(2)是比一階雙尺度近似解u(1)對uε的一個更好的近似.

［1］王自強，尹文雙，張恩賓.平面復(fù)合材料熱傳導(dǎo)問題的一個新的多尺度漸近展開式［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，26(4):391－394.

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