雨滴下落過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)圖像究竟如何

顧俊琪

（鹽城市教育科學(xué)研究院 江蘇 鹽城 224002）

在鹽城市2013年高三調(diào)研考試中，有這樣一道題.

題目：已知雨滴在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的空氣阻力為f＝kr2v2，其中k為比例系數(shù)，r為雨滴半徑，v為其運(yùn)動(dòng)速率.t＝0時(shí)，雨滴由靜止開(kāi)始下落，加速度用a表示.落地前雨滴已做勻速運(yùn)動(dòng)，速率為v0.下列圖像中正確的是

圖1

命題教師給出的參考答案是A，B，C.在評(píng)講這道題時(shí)，有學(xué)生對(duì)A，B答案產(chǎn)生疑問(wèn).本文擬對(duì)這個(gè)問(wèn)題從兩種不同情況展開(kāi)討論.

1 雨滴受到的空氣阻力與下落速率成正比

假設(shè)雨滴的質(zhì)量為m，下落過(guò)程中t時(shí)刻的速率為v，如果雨滴受到的空氣阻力與下落的速率成正比，即f＝kv（k為常量），根據(jù)牛頓第二定律可寫(xiě)出動(dòng)力學(xué)方程為

常量C應(yīng)由初始條件決定.因t＝0時(shí)，v＝0，故C＝mg.于是

進(jìn)一步求得雨滴在t時(shí)刻的a滿足

同樣得到

如果假設(shè)

則雨滴速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為

加速度a與時(shí)間t的函數(shù)式為

根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系式可以在幾何畫(huà)板中畫(huà)出雨滴下落的v－t和a－t圖像分別如圖2（a）和圖2（b）所示.

圖2

這兩個(gè)圖像與原題中的B與A是吻合的，但是上述討論過(guò)程中所設(shè)定的條件與原題中給出的條件是明顯不同的.

2 雨滴受到的空氣阻力與下落速率的平方成正比

如果雨滴受到的空氣阻力與下落速率的平方成正比，仍可用上述方法求解其速度v，加速度a與時(shí)間t的關(guān)系，由于求解過(guò)程非常煩瑣，現(xiàn)直接使用結(jié)果 畫(huà)出相應(yīng)的圖像.假設(shè)m＝0.1×1 0－3k g，k′＝2.5×10－6N·s2／m2，根據(jù)所得的關(guān)系式可以在幾何畫(huà)板中畫(huà)出該情況下雨滴下落的v－t和a－t圖像分別如圖3（a）和圖3（b）所示.

圖3（a）與原題中的B相比，形狀接近，如果只是定性描述，可以忽略其差異.圖3（b）與原題中的A相比，有很大區(qū)別，不能混淆.現(xiàn)在用另一方法對(duì)圖3（b）的物理意義做進(jìn)一步分析.

圖3

雨滴受到的空氣阻力與下落速率平方成正比，即f＝k′v2（k′為常量），根據(jù)牛頓第二定律可寫(xiě)出相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程為

對(duì)式（4）兩邊求導(dǎo)，得

亦即

由式（5）也可以知道，當(dāng)v與a乘積最大時(shí)，該點(diǎn)切線斜率的值最大，過(guò)該點(diǎn)的切線最陡.可以通過(guò)數(shù)學(xué)方法進(jìn)一步求得v與a乘積最大時(shí)的條件.

用f（v）表示a－t圖像切線斜率隨速率變化的函數(shù)，把式（4）得到的加速度表達(dá)式代入式（5）得

對(duì)函數(shù)f（v）求一階導(dǎo)數(shù)，并令f′（v）＝0得

即

由式（5）還可以知道，當(dāng)雨滴下落速率達(dá)到最大時(shí)，其加速度為零，a－t圖像上過(guò)該點(diǎn)的切線斜率為零.此時(shí)

所以

3 小結(jié)

事實(shí)上，雨滴在空氣中下落的情況是非常復(fù)雜的.如果雨滴剛下落的高度比較高，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中重力加速度是不會(huì)保持不變的.雨滴的質(zhì)量也要隨著高度的降低而變化，有的要吸附其他的小雨滴而變大，有的要因?yàn)槠鴾p小.雨滴受到的空氣阻力也不是一成不變的，速率小時(shí)可看成與速率成正比，速率大時(shí)則與速率平方成正比.正因?yàn)槿绱?，本文討論的兩種情況是從實(shí)際情景中抽象出的理想化模型.