動能定理不能亂用

鄢和清

（中山市小欖中學(xué) 廣東 中山 528415）

用動能定理處理問題時總是顯得方便又快捷，這是廣大師生普遍的感覺 .在高中各種版本的物理教材上，動能定理一般都是這樣表述的：合外力對物體所做的功等于物體動能的變化.至于這里所指的“物體”是個什么樣的物體，一般不做說明，事實(shí)上高中階段也不宜做過多的討論.正因如此，我們在應(yīng)用動能定理時，其適用對象一般不給予細(xì)致的關(guān)注，加之物體內(nèi)部各種能量的轉(zhuǎn)化不易覺察，極易犯經(jīng)驗(yàn)上的錯誤.下面討論的問題就是一個極好的例證.

【原題】ab是一條柔軟、光滑、不可伸長、無彈性的細(xì)繩，其長度為L，質(zhì)量為m，靜止在光滑的水平面上.如圖1所示，若在a端施加一個水平向右的恒力F，當(dāng)a端前進(jìn)2L的距離時，b端剛好被拉動（繩子剛好拉直）.求此時繩子的速度大小v.

圖1

解析：一種解法為人們廣泛采用，應(yīng)用動能定理，只要能求出合外力做的功就行.外力F對繩子做的功為2FL，且沒有摩擦力做功，根據(jù)動能定理，繩子的動能的增加量等于合外力做的功.即

得

多快捷！一根細(xì)繩，僅一個外力做功（沒有摩擦），用動能定理來求解當(dāng)然是首選，相信大家都有同感.可這個解法不正確，因?yàn)檫@里存在一個難以覺察的問題，就是這個過程中繩子有一部分動能損失轉(zhuǎn)化成內(nèi)能，動能定理在這里不能亂用.

繩子竟然有一部分動能損失？是怎樣損失的？為了方便解釋，我們先建立一個模型來替代繩子，如圖2所示.小球（質(zhì)點(diǎn)）之間用柔軟、輕質(zhì)、光滑、不可伸長、無彈性的細(xì)繩相連，拉動時小球一個帶動一個后就立即同速前進(jìn)，因此這個模型是可靠的.當(dāng)然我們還是先從高中知識層面來分析它.

圖2

圖3

圖3是圖2中的一部分，a球是第一個被拉動的小球，b為第二個，依此類推.設(shè)每個小球的質(zhì)量為m0，它們之間的細(xì)繩長為l.最初，當(dāng)a球前進(jìn)了2l時，其速度為v1，由動能定理

得

接著b球被拉動，a，b兩球立即有共同速度v2，由動量守恒定律

得

可得出b球被拉動瞬間，系統(tǒng)損失的動能為

恰好等于Fl.

當(dāng)a球再前進(jìn)了2l，a，b兩球的速度為v′2，由動能定理

得

緊接著c球被拉動，三者立即有共同速度v3，由動量守恒定律

得

c球被拉動瞬間，系統(tǒng)又損失的動能也為Fl.依此類推，4個小球共同速度為

5個小球共同速度

n個小球共同速度

若模型共有n個小球，則總質(zhì)量m＝nm0，總長度L＝（n－1）l，那么模型剛好拉直時的速度大小

損失的動能為

也就是說，細(xì)繩剛好拉直時的速度大小為

而不是

繩子動能的增加量只有

而不是

盡管合外力做功為2FL.可見動能確有損失，并轉(zhuǎn)化成為內(nèi)能.故不可以用動能定理一步到位地求出細(xì)繩剛好拉直時的速度大小.

上述論證過程比較繁瑣（高中層面只能如此），現(xiàn)用一個更簡單的辦法進(jìn)行印證.大學(xué)物理中有一條定理叫“質(zhì)心運(yùn)動定理”［1］，其內(nèi)容是“質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)量與質(zhì)心的加速度的乘積總是等于質(zhì)點(diǎn)組所受一切外力的矢量和”.利用質(zhì)心運(yùn)動定理，可求得細(xì)繩質(zhì)心的加速度為

由于細(xì)繩剛好拉直時細(xì)繩質(zhì)心的位移恰好為L，應(yīng)用

可求出

再由v＝at求出質(zhì)心前進(jìn)L時的速度

由于拉直時質(zhì)心的速度與細(xì)繩每一點(diǎn)的速度都一樣，所以細(xì)繩剛好拉直時的速度大小

“應(yīng)用動能定理也要看適用對象”，中學(xué)階段一般不做強(qiáng)調(diào).大學(xué)物理教材對這一點(diǎn)卻描述得很詳盡，一個是“質(zhì)點(diǎn)的動能定理”［1］，另一個是“質(zhì)點(diǎn)組的動能定理”［1］.

質(zhì)點(diǎn)的動能定理是這樣表述的：質(zhì)點(diǎn)動能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的合力所做的功.高中教材表述的“動能定理”與“質(zhì)點(diǎn)的動能定理”基本一致，適用對象是質(zhì)點(diǎn)類物體.在高中階段研究的對象也大多數(shù)是質(zhì)點(diǎn)類物體.

質(zhì)點(diǎn)組的動能定理是另樣表述的：質(zhì)點(diǎn)組動能的增量在數(shù)值上等于一切外力所做功與一切內(nèi)力所做功的代數(shù)和.

上面討論的細(xì)繩只能是看成質(zhì)點(diǎn)組，既有外力做功（外力F對繩子做的功為2FL），也有內(nèi)力做功（繩子內(nèi)一個質(zhì)點(diǎn)拉動下一個質(zhì)點(diǎn)時，內(nèi)力做負(fù)功，經(jīng)分析可以求出細(xì)繩內(nèi)力所做的負(fù)功為－FL）.如果已知內(nèi)力所做的功，那也可用質(zhì)點(diǎn)組的動能定理一步到位地求出細(xì)繩剛好拉直時的速度大小.高中階段顯然不涉及此類問題.

有些質(zhì)點(diǎn)組類的物體在運(yùn)動中內(nèi)力做功為零，那按照質(zhì)點(diǎn)組的動能定理，只需考慮外力做的功，高中階段也涉及過這類物體.

比如圖4中一根光滑的鏈條從光滑的桌面邊緣滑下，求鏈條離開桌面時的速度大小.這時鏈條在運(yùn)動中雖不能看成質(zhì)點(diǎn)，只能是質(zhì)點(diǎn)組，但內(nèi)力做功為零，只需考慮重力做功.

圖4

綜合以上分析，可以得出這樣的體會，高中階段進(jìn)行動能定理的教學(xué)時，雖然定理對適用對象不作說明，但教師要心中有譜，像上述細(xì)繩這樣有內(nèi)力做功的質(zhì)點(diǎn)組類物體就不要涉及，以免出現(xiàn)上述胡亂應(yīng)用的錯誤或加重教學(xué)負(fù)擔(dān).

1 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，1982.157，198