快速繪制內(nèi)力圖的方法研究與探討
——增量法

張 延，滿廣生，孔定娥

在材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)過(guò)程中，繪制桿系結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖是學(xué)習(xí)重點(diǎn)。一般內(nèi)力圖的種類(lèi)有軸力圖、剪力圖、彎矩圖和扭矩圖，常用教材介紹的繪制軸力、剪力和扭矩圖的方法多是基于平面一般力系平衡條件的截面法［1－2］、方程式法［3－4］等。本文根據(jù)“外力引起截面上的內(nèi)力發(fā)生改變（產(chǎn)生增量）”這一基本規(guī)律，結(jié)合外力沿桿件軸線的變化情況，提出了“增量法”這一快速繪制內(nèi)力圖的實(shí)用新方法。此方法同時(shí)適用于繪制軸力圖、剪力圖和扭矩圖，繪制圖形外包線時(shí)一氣呵成，簡(jiǎn)單、快速、準(zhǔn)確，易于被學(xué)習(xí)者接受和掌握。

1 增量法快速繪制軸力、剪力和扭矩圖

“增量法”的理論基礎(chǔ)是“外力引起截面上的內(nèi)力發(fā)生改變（產(chǎn)生增量）”。其中，集中力引起內(nèi)力的突變?cè)隽?，分布（均布）力引起?nèi)力的漸變?cè)隽?。?dāng)然，“增量”不等于“增加”，根據(jù)外力的作用效果會(huì)引起內(nèi)力數(shù)值的增大或減小。

1.1 增量法快速繪制軸力圖示例

以繪制圖1（a）所示AE桿的軸力圖為例。A、B、C、D、E各截面均受到沿桿軸線方向的軸向外力作用，則引起外力作用各截面處軸力的突變，突變量分別為外力的大小，正負(fù)值由外力方向確定。

如圖1（b）所示，以箭頭表示外力引起的內(nèi)力（軸力）外包線繪制過(guò)程的變化。從左向右，A截面作用方向向左的10KN外力使桿件產(chǎn)生受拉效果，于是引起軸力向正方向產(chǎn)生10KN增量（a→a′）；AB段為無(wú)荷載段，軸力沒(méi)有增量（a′→b）；B截面受到同樣向左的20KN外力，引起軸力再向正方向產(chǎn)生20KN增量（b→b′）；C截面受到方向相反（向右）的50KN外力，則引起軸力向反方向（負(fù)方向）產(chǎn)生50KN增量（c→c′）；……按上述方法繪圖至最后一個(gè)外力作用的E截面（e→e′），即完成了軸力圖外包線的繪制。實(shí)際繪圖時(shí)，示意箭頭不必畫(huà)出。運(yùn)用此方法也可以從右向左繪圖，如圖1（c）所示。

1.2 增量法快速繪制剪力圖示例

以繪制圖2（a）所示多跨靜定梁AE的剪力圖為例。求解約束反力后的AE梁的受力狀態(tài)如圖2（b）所示，其中，集中力作用截面處剪力會(huì)產(chǎn)生突變，均布力作用截面處剪力會(huì)產(chǎn)生漸變，力偶作用截面處剪力不改變，鉸結(jié)點(diǎn)處剪力不改變。

圖2 增量法快速繪制梁的剪力圖

如圖2（c）所示，仍以箭頭表示外力引起剪力外包線繪制過(guò)程的變化。從左向右，集中力FAy的方向向上，則引起剪力在A截面向正方向產(chǎn)生FAy＝2kN的突變?cè)隽浚╝→a′）；從A截面開(kāi)始受到向下的均布力q作用，則引起各截面剪力逐漸減小，至B截面，漸變總量8kN為均布力q的大小乘以作用段長(zhǎng)度4m（a′→b）；在B截面處同時(shí)受到向上的集中力FBy（引起剪力突變）和力偶 M（不引起剪力改變）的作用，再引起剪力向正方向產(chǎn)生10kN的突變?cè)隽浚╞→b′）；從B到D為無(wú)荷載段，C點(diǎn)為鉸結(jié)點(diǎn)，能夠傳遞剪力，不引起剪力改變，剪力圖為水平線（b′→d）；……。此方法不宜從從右向左繪制剪力圖。

增量法同樣適用于快速繪制剛架結(jié)構(gòu)的剪力圖，如圖3所示。

圖3 增量法快速剛架的剪力圖

1.3 增量法快速繪制扭矩圖示例

以繪制圖4（a）所示AD桿的扭矩圖為例。A、B、C、D各截面均受到外力偶的作用，則引起作用各截面處扭矩的突變，突變量分別為外力偶矩的大小，正負(fù)值由外力偶的轉(zhuǎn)向確定。

如圖4（b）所示，按照右手螺旋法則，從左向右繪圖時(shí)，順時(shí)針力偶使作用截面處的扭矩向正方向產(chǎn)生突變，反之向負(fù)方向產(chǎn)生突變，突變量等于外力偶矩的大小，無(wú)力偶作用段，扭矩圖為水平線。

圖4 增量法快速繪制扭矩圖

2 結(jié)束語(yǔ)

“增量法”理論基礎(chǔ)明晰，適用于繪制滿足平衡條件的多種桿系結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和扭矩圖。較大部分教材上介紹的傳統(tǒng)方法來(lái)說(shuō)，繪圖更加快速準(zhǔn)確。可在教學(xué)過(guò)程中作為傳統(tǒng)方法的有益補(bǔ)充。

根據(jù)平衡條件，“增量法”繪制內(nèi)力圖必然第一筆起于零，而最后一筆止于零，無(wú)需校核繪圖過(guò)程，正確與否一目了然。

對(duì)于材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)初學(xué)者看來(lái)較難掌握的彎矩圖繪制，筆者將另文介紹繪制彎矩圖的巧妙方法－關(guān)鍵點(diǎn)彎矩值結(jié)合各段線形的彎矩圖分段繪制方法。

［1］龍馭球，包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)教程（Ⅰ）［M］.北京：高等教育出版社，2000：57－79.

［2］楊伯源.材料力學(xué)（Ⅰ）［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2002：40－58.

［3］李舒瑤，趙云翔.工程力學(xué)（第二版）［M］.鄭州：黃河水利出版社，2009：74－97.

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