超靜定懸臂梁臨界荷載的優(yōu)化算法

尤 超，朱永祥，張錦麗

在實(shí)際工程中，大部分結(jié)構(gòu)都是超靜定的，單純依靠靜力學(xué)的平衡條件是無法確定出結(jié)構(gòu)的全部反力和內(nèi)力，因此，具有多余約束是超靜定結(jié)構(gòu)的基本特征，這也使得問題的求解變得更加復(fù)雜。本文選取超靜定懸臂梁變形后的平衡狀態(tài)為研究對(duì)象，采用終態(tài)分析優(yōu)化算法來分析，最后確定超靜定懸臂梁的優(yōu)化問題，并編制相應(yīng)優(yōu)化程序求解其變形和轉(zhuǎn)角。

1 建立力學(xué)模型

梁結(jié)構(gòu)一端為固定端，另一端為鏈桿約束，具有一次超靜定問題。受集中力F作用。彎曲剛度EI，在受載荷前位置為OA，受載荷后平衡位置為OA′，如圖1，變形后梁總長(zhǎng)不變，但是其A支座在x方向向左移動(dòng)。

圖1 超靜定懸臂梁變形前后的平衡狀態(tài)圖

2 局部坐標(biāo)系下結(jié)構(gòu)靜力分析

圖2對(duì)超靜定懸臂梁的第k個(gè)微段進(jìn)行變形分析，左端點(diǎn)坐標(biāo)是Sk－1（Xk－1，Yk－1），右端點(diǎn)坐標(biāo)是Sk（Xk，Yk），以微段左端點(diǎn)Sk－1（Xk－1，Yk－1）的切線和法線為x軸和y軸，建立局部坐標(biāo)系oxy，則變形梁的第k子段，可看成左端為固定端的懸臂梁變形問題。略去剪力和軸力作用。

圖2 超靜定懸臂梁第k個(gè)微段在局部坐標(biāo)系下的變形分析圖

彎矩大小為：

式（2）即為超靜定懸臂梁第k個(gè)微段的轉(zhuǎn)角和變形的表達(dá)式

3 整體坐標(biāo)系下整體坐標(biāo)的建立

在整體坐標(biāo)系下，Sk點(diǎn)的位置由Sk－1點(diǎn)位置和第k個(gè)微段的變形與轉(zhuǎn)角共同決定，第k個(gè)微段的轉(zhuǎn)角與變形分別為 Δθk，Δxk，Δyk。Sk點(diǎn) 的轉(zhuǎn)角和坐標(biāo)由下面遞推關(guān)系式得到：

4 結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題與目標(biāo)函數(shù)的實(shí)現(xiàn)

優(yōu)化問題為：

5 算例分析

算例：集中力P作用在距左端點(diǎn)0.5處，發(fā)生變形時(shí)，本文優(yōu)化分析算法和ANSYS分析軟件分別計(jì)算載荷p＝10時(shí)的情況。

當(dāng)p＝10時(shí)，超靜定懸臂梁的變形和轉(zhuǎn)角計(jì)算結(jié)果列于表2和表3中，其中設(shè)計(jì)變量如表1所示。

表1 p＝10作用下超靜定懸臂梁的設(shè)計(jì)變量列表

表2 當(dāng)p＝10情況下本文優(yōu)化算法所計(jì)算的變形和轉(zhuǎn)角

36 0.150082 0.711066 －0.06999 37 0.162202 0.730823 －0.06688 38 0.173357 0.750542 －0.06354 39 0.183603 0.770224 －0.05999 40 0.192833 0.789871 －0.05625 41 0.201162 0.809484 －0.05234 41 0.208523 0.829066 －0.04827 43 0.214930 0.848619 －0.04406 44 0.220384 0.868147 －0.03975 45 0.224882 0.887654 －0.03533 46 0.228481 0.907142 －0.03083 47 0.231164 0.926616 －0.02528 48 0.232563 0.946080 －0.01968 50 0.233055 0.965539 －0.01206 51 0.234448 0.984993 0－0.024000

表3 當(dāng) 作用時(shí)，有限元方法計(jì)算出的變形和轉(zhuǎn)角

根據(jù)上述結(jié)果，繪制p＝10作用時(shí)，本文優(yōu)化算法和有限元方法確定的變形后的平衡狀態(tài)圖，

如圖3所示。

圖3 本文優(yōu)化算法和有限元方法確定的平衡變形圖

結(jié)論：從本文優(yōu)化算法和有限元方法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖，可以看出二種方法的計(jì)算結(jié)果十分吻合，從另一方面驗(yàn)證了本文算法在解決超靜定懸臂梁?jiǎn)栴}上的正確性和有效性。

6 結(jié)束語

本文通過計(jì)算實(shí)例，對(duì)超靜定懸臂梁的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了受力分析，從對(duì)比圖和計(jì)算結(jié)果中可以看出，采用本文優(yōu)化算法和ANSYS有限元方法的計(jì)算結(jié)果具有很好的一致性，驗(yàn)證本文算法在解決超靜定結(jié)構(gòu)問題上具有有效性和正確性。從而為處理工程實(shí)際問題，提供了一種求解的新思路。

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