一種適用于頻率變化的單相數(shù)字鎖相環(huán)

周敏杰，史旺旺

（揚(yáng)州大學(xué)水利與能源動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225009）

1 引言

隨著環(huán)境問題和能源需求的增加，風(fēng)能和太陽能等新能源發(fā)電技術(shù)得到了廣泛的應(yīng)用。與此同時(shí)單相并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)的運(yùn)行性能要求也在逐漸提高。在新能源單相并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)中，電網(wǎng)電壓的相位、幅值和頻率是并網(wǎng)運(yùn)行的關(guān)鍵信息。電網(wǎng)電壓相位和頻率的準(zhǔn)確獲得直接影響著單相并網(wǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)、動(dòng)態(tài)性能及其安全運(yùn)行［1-3］。目前單相系統(tǒng)中數(shù)字鎖相環(huán)技術(shù)在跟蹤獲取電網(wǎng)電壓相位和頻率方面得到了廣泛應(yīng)用。

在單相系統(tǒng)中，傳統(tǒng)數(shù)字鎖相環(huán)采用過零鑒相的方法，它是通過檢測(cè)電網(wǎng)電壓過零點(diǎn)來得到相位信息。該方法雖然實(shí)現(xiàn)簡單，但是在2 個(gè)檢測(cè)點(diǎn)之間如果頻率發(fā)生變化時(shí)，則不能實(shí)現(xiàn)快速跟蹤相位變化，抗干擾能力差，鎖相效果差。另外還有虛擬乘法器鑒相和構(gòu)造虛擬兩相法鑒相等鑒相方法。其中虛擬乘法器的不足之處在于若輸入信號(hào)中存在2 倍頻信號(hào)，采用一般的低通濾波器時(shí)，濾波器的慣性時(shí)間常數(shù)必須取較大的數(shù)值，這就會(huì)影響系統(tǒng)的響應(yīng)速度。另一方面，當(dāng)電網(wǎng)電壓信號(hào)存在高次諧波時(shí)，輸入信號(hào)存在高次諧波分量，一般的濾波器很難濾除所有的諧波分量［4-10］。根據(jù)構(gòu)造方法的不同，構(gòu)造虛擬兩相法鑒相可分為延時(shí)法構(gòu)造虛擬兩相、微分法構(gòu)造虛擬兩相等鑒相方法［11-14］。延時(shí)法構(gòu)造虛擬兩相需要通過將電網(wǎng)電壓延時(shí)90°以獲得虛擬信號(hào)，來構(gòu)造兩相正交信號(hào)。延時(shí)90°相位角是通過延時(shí)T/4 周期來實(shí)現(xiàn)的，要能夠準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)正弦信號(hào)延時(shí)90°的前提是已知正弦信號(hào)的周期或頻率，而鎖相環(huán)控制的目的就是跟蹤未知的輸入頻率，當(dāng)電網(wǎng)電壓頻率發(fā)生變化時(shí)，延時(shí)T/4存在誤差，因而延時(shí)相位角也存在誤差。

當(dāng)電網(wǎng)頻率是50 Hz 時(shí)，通過延時(shí)法構(gòu)造虛擬兩相電壓矢量在平面中的軌跡是一個(gè)圓。電網(wǎng)頻率發(fā)生變化時(shí)，構(gòu)造的虛擬兩相電壓矢量在平面中的軌跡是一個(gè)橢圓，本文提出了橢圓擬合［15-17］的數(shù)字鎖相環(huán)方法。它利用遞推最小二乘法橢圓擬合方法獲得橢圓的參數(shù)，再由鎖相環(huán)產(chǎn)生不對(duì)稱的正、余弦輸出，使得電網(wǎng)頻率發(fā)生變化時(shí)鑒相器輸出的2 倍頻分量被消除。本文推導(dǎo)了不對(duì)稱相位和橢圓參數(shù)的關(guān)系，設(shè)計(jì)了帶遺忘因子的遞推最小二乘法，最后給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

2 單相頻率變化時(shí)的橢圓方程

單相系統(tǒng)中，通過延時(shí)法產(chǎn)生與電網(wǎng)電壓信號(hào)相差90°的電壓信號(hào)，來構(gòu)成兩相正交的靜止坐標(biāo)系αβ，得到電壓信號(hào)的正弦、余弦分量。正弦、余弦分量表達(dá)式為

式中：U為電網(wǎng)電壓幅值；θ0，ω0，φ0分別為αβ坐標(biāo)系下電網(wǎng)電壓的相位角、角頻率和初相位。

當(dāng)頻率為50 Hz時(shí)，電壓信號(hào)的正弦分量Uα、余弦分量Uβ在平面上的軌跡為圓。當(dāng)頻率發(fā)生變化時(shí)Uα，Uβ在平面上的軌跡為一個(gè)橢圓，此時(shí)電壓方程為

式中：x為α軸分量；y為β軸分量；φ為相位不對(duì)稱程度。

將式（2）中的時(shí)間t消除后就得到橢圓方程：

令

則得到如下橢圓方程：

由式（4）可得：

當(dāng)通過辨識(shí)獲得橢圓參數(shù)a，b后，由式（6）求得φ和U。

3 遞推最小二乘法橢圓擬合

比較常用的橢圓曲線擬合方法主要有以下3種：第1種是基于不變矩的橢圓擬合方法；第2種方法是基于HOUGH 變換的擬合方法；第3 種是基于最小二乘法的橢圓擬合方法。在這幾種擬合方法中，最小二乘法橢圓擬合適用于各種復(fù)雜的對(duì)象模型，它能使得測(cè)量誤差的平方和最小，可以直觀地給出關(guān)于某種擬合誤差的測(cè)度，能夠達(dá)到很高的精度。因此，最小二乘法橢圓擬合方法被認(rèn)為是一種從一組測(cè)量值中求出一組未知量的可信賴的方法。由于本文中橢圓方程有2個(gè)未知數(shù)，測(cè)量點(diǎn)數(shù)m需大于等于2。設(shè)m個(gè)測(cè)量點(diǎn)為xi，yi，滿足式（5），用矩陣表示為

其中

隨著觀測(cè)數(shù)據(jù)的增多，將增加計(jì)算量和加大計(jì)算的困難度，并且隨著計(jì)算次數(shù)的增加會(huì)出現(xiàn)“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象，參數(shù)估計(jì)值和參數(shù)的真值之間的誤差會(huì)越來越大，將導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)值不能跟蹤時(shí)變參數(shù)的變化。為了能夠動(dòng)態(tài)跟蹤時(shí)變的橢圓參數(shù)，減少實(shí)時(shí)計(jì)算工作量，本文采用了帶遺忘因子的遞推最小二乘法。定義為

其中

式中：α為遺忘因子。

則可得橢圓參數(shù)遞推公式為

遺忘因子大小的選擇對(duì)橢圓參數(shù)算法的跟蹤性能和收斂速度有著很大影響。其值越大，則對(duì)時(shí)變參數(shù)的跟蹤能力減弱，但對(duì)噪聲不敏感，橢圓參數(shù)的估計(jì)誤差越??；其值越小，則對(duì)橢圓參數(shù)的跟蹤能力越強(qiáng)，響應(yīng)越快，但同時(shí)對(duì)噪聲越敏感。因此，只有當(dāng)遺忘因子有準(zhǔn)確的取值時(shí)，才能確保對(duì)時(shí)變參數(shù)的快速跟蹤能力和較小的參數(shù)估計(jì)誤差。

4 不對(duì)稱相位輸出鎖相環(huán)

鎖相環(huán)中鑒相器的作用是相位比較，把輸出信號(hào)和輸入?yún)⒖夹盘?hào)的相位進(jìn)行比較，產(chǎn)生2個(gè)信號(hào)的相位差，當(dāng)頻率變化時(shí)鎖相環(huán)鑒相輸出中存在2 倍頻分量，影響著鎖相環(huán)的性能。若能夠準(zhǔn)確地辨識(shí)出靜止坐標(biāo)系下故障電壓的相位差，采用不對(duì)稱輸出鎖相環(huán)，就可以將2 倍頻分量消除。

設(shè)鎖相環(huán)α軸的輸出分量為x1，β軸的輸出分量為y1，可得：

式中：θ為鎖相環(huán)輸入信號(hào)相位，θ=ω0t+φ0。

從式（11）中可看出，當(dāng)橢圓擬合準(zhǔn)確時(shí)鑒相器輸出無2 倍頻分量，橢圓擬合的鎖相環(huán)框圖如圖1所示。

圖1 基于橢圓擬合的鎖相環(huán)框圖Fig.1 Block diagram of DPLL based on ellipse fitting

5 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證所提出的控制方法的正確性，在上述理論分析的基礎(chǔ)上，本文建立了如圖1 所示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，并使用Matlab對(duì)單相數(shù)字鎖相環(huán)進(jìn)行了仿真測(cè)試。圖2 是鎖相環(huán)輸入輸出電壓波形，其中x為輸入波形，x1為輸出波形。圖2中可看出數(shù)字鎖相環(huán)在1個(gè)電網(wǎng)周期內(nèi)就可實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的跟蹤鎖定，同時(shí)能夠輸出較光滑的電壓波形，能起到較好的濾波效果。

圖2 輸入電壓包含諧波時(shí)的仿真波形Fig.2 Simulation under the condition of voltage harmonics

不同頻率下的電壓軌跡圖如圖3 所示，圖3a中顯示在50 Hz下電壓軌跡為一圓；圖3b中顯示在60 Hz下電壓軌跡為一橢圓。為了測(cè)試電壓頻率突變時(shí)的相位跟蹤能力，在0.1 s時(shí)輸入電壓信號(hào)的頻率從50 Hz突變?yōu)?0 Hz，頻率突變時(shí)的鎖相環(huán)輸出波形如圖4 所示，可以看出頻率變化時(shí)數(shù)字鎖相環(huán)仍可以迅速地跟蹤鎖定相位。

圖3 50 Hz和60 Hz頻率時(shí)的電壓軌跡圖Fig.3 Path of input voltage with frequency of 50 Hz and 60 Hz

圖4 頻率突變時(shí)的電壓波形Fig.4 Voltage with frequency mutation

為驗(yàn)證電壓相位突變時(shí)鎖相環(huán)的性能，電壓相位提前π/4，此時(shí)鎖相環(huán)輸出電壓波形如圖5所示，鎖相環(huán)可以迅速鎖定相位，具有較好的相位跟蹤的動(dòng)態(tài)性能。

圖5 相位突變時(shí)的電壓波形Fig.5 Voltage with phase mutation

為了驗(yàn)證電網(wǎng)故障時(shí)鎖相環(huán)的控制效果，進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)平臺(tái)采用TI 公司的F28335DSP芯片，當(dāng)電網(wǎng)電壓故障時(shí)實(shí)測(cè)的電壓波形和鎖相環(huán)輸出的電壓波形如圖6所示。鎖相環(huán)能在1 個(gè)周期內(nèi)鎖定電壓相位，并且能夠消除實(shí)際采樣中產(chǎn)生的諧波干擾。

圖6 實(shí)際采樣時(shí)的輸入電壓曲線和鎖相環(huán)輸出曲線Fig.6 Input and output curves from sampling data

6 結(jié)論

本文提出了一種新型的數(shù)字鎖相環(huán)。針對(duì)在兩相靜止坐標(biāo)系中，電網(wǎng)電壓頻率變化時(shí)電壓在平面上的軌跡為一橢圓，提出用帶遺忘因子的遞推最小二乘法來獲得橢圓擬合參數(shù)，使鎖相環(huán)輸出不對(duì)稱相位來消除電網(wǎng)電壓頻率變化時(shí)存在的2 倍頻分量，進(jìn)而達(dá)到快速跟蹤鎖定相位的目的，同時(shí)也較好地濾除了故障時(shí)輸入電壓的諧波。從仿真和實(shí)驗(yàn)的波形中可看出所設(shè)計(jì)的新型數(shù)字鎖相環(huán)具有良好的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性。通過對(duì)鎖相環(huán)仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的深入分析，本文所提出的基于橢圓擬合的數(shù)字鎖相環(huán)方法是正確和可行的，適用于單相系統(tǒng)的應(yīng)用場(chǎng)合。

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