曲線趨勢外推延伸方法研究及其應用

吳修彬，孫召瑞，孫貴斌，李國平,2

（1.萊蕪職業(yè)技術學院 機械與汽車工程系，萊蕪 271199；2.萊蕪市粉末冶金先進制造重點實驗室，萊蕪 271199）

0 引言

箱體等鑄造類零件常有過渡非圓曲線，針對其進行工程制圖或三維建模，常需將非圓曲線保持其趨勢進行延伸[1]。現(xiàn)有計算機輔助設計軟件，如AutoCAD、Pro/E、UG等均有延伸功能。然而，除AutoCAD可延伸橢圓曲線外，現(xiàn)有軟件僅對直線和圓弧能保持原有曲線特性進行延伸，對任意的非圓曲線或者不響應，或者改變原有特性進行延伸，如CAXA對任何曲線均以直線特性延伸。非圓曲線保持特性延伸是制圖和建模中經(jīng)常遇到的難題，實際應用中，只能采用手工繪制樣條曲線進行替代，誤差較大。

趨勢外推法[2]是根據(jù)過去和現(xiàn)在的發(fā)展趨勢推斷未來的一類方法的總稱，目前用于科技、經(jīng)濟和社會發(fā)展的預測[3～5]。如將趨勢外推法的時間和數(shù)值視為曲線的坐標值，則可將其應用于非圓曲線的延伸。本文基于上述思想，在極角坐標系中研究任意非圓曲線趨勢外推延伸方法，首先建立幾種典型延伸數(shù)學模型，給出模型應用條件，供延伸具體曲線時采用，克服現(xiàn)有CAD軟件共性關鍵難題。

1 多項式延伸模型

1.1 二次曲線模型

用最小二乘法[8]確定延伸參數(shù)。由式（1）得：

式中： r i為第i點的觀察值； ei為第i點的離差；Q為離差平方和。

qi表示極角序列的編號，當極角序列觀察點的項數(shù)為奇數(shù)時，令其中間項 的編號為0，

式（4）可簡化為：

解方程組可得：

根據(jù)離散點數(shù)據(jù)采用式（6）計算延伸參數(shù)，依據(jù)式（1）建立延伸模型。

1.2 三次曲線模型

用最小二乘法確定延伸參數(shù)。由式（7）得：

解方程組可得：

根據(jù)離散點數(shù)據(jù)采用式（12）計算延伸參數(shù)，依據(jù)式（7）建立延伸模型。

2 Gompertz曲線延伸模型

選N=3n組離散點，其中n是離散點分成3組后，各組離散點的個數(shù)。若N不等于3n，摒棄離延伸位置較遠的若干點，使N=3n。將離散點代入下式：

將有關數(shù)據(jù)代入下式，計算Gompertz模型所需參數(shù)。

3 指數(shù)曲線延伸模型

根據(jù)式（2）聯(lián)立求得：

4 曲線趨勢外推延伸實例

如表1所示，分別為二次曲線、三次曲線、Gompertz曲線、指數(shù)曲線上的4組離散點。應用上述方法對4條曲線進行延伸，分析延伸曲線與理論曲線間的誤差，檢驗延伸模型的準確性。

表1 趨勢外推延伸曲線離散點

分別擬合上述4組離散點，在擬合曲線上選取qi為等差數(shù)列的新離散點，分別計算4組新離散點延伸模型應用條件，如表2所示，曲線1的 最大差值最小，接近于常數(shù)，選用二次曲線趨勢外推延伸模型；曲線2的 最大差值最小，選用三次曲線趨勢外推延伸模型；曲線3的(▽l n ρi+1-▽lnρi)▽lnρi最 大 差 值 最 小 ， 選 用Gompertz曲線趨勢外推延伸模型；曲線4的▽ln ρi最大差值最小，選用指數(shù)曲線趨勢外推延伸模型。

對曲線1，經(jīng)運算，延伸參數(shù)為： a ?=3.000+5.526×10-13， b? = 2.000+3.971×10-10，c?= 1.000+1.982×10-11。將（3.500，22.250）作為起始點，利用模型式（1）對曲線進行延伸，圖1為延伸圖及與理論曲線誤差圖，延伸誤差在10-11數(shù)量級，精度較高。

表2 趨勢外推延伸模型選擇

圖1 曲線1的延伸圖及誤差圖

圖2 曲線2的延伸圖及誤差圖

圖3 曲線3的延伸圖及誤差圖

圖4 曲線4的延伸圖及誤差圖

5 結論

1)引入趨勢外推方法，建立多項式、Gompertz曲線、指數(shù)曲線3類延伸數(shù)學模型，提供了模型識別與選擇方法，根據(jù)待延伸曲線離散點特征可合理選擇延伸模型，實現(xiàn)非圓曲線趨勢外推延伸。

2)曲線趨勢外推延伸實例表明：用所建立的延伸模型延伸與之同類型的曲線，可以長距離延伸，精度非常高，且距延伸起始點越近，精度越高，達到趨勢外推延伸。對與延伸模型不同類型的曲線，也可近似延伸。

3)曲線趨勢外推延伸方法可應用于對現(xiàn)有CAD軟件的核心升級，也可對其進行二次開發(fā)，增加其功能模塊，使之更精確的進行交互式設計。

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