非圓曲線參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法研究

曹智梅

（廣東松山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，韶關(guān) 512126）

0 引言

對于數(shù)控系統(tǒng)來說，插補(bǔ)就是對曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)之間的空間進(jìn)行數(shù)據(jù)密化，從而形成要求的輪廓軌跡的過程。插補(bǔ)是數(shù)控技術(shù)的核心，在插補(bǔ)過程中，密化的點(diǎn)如何選擇，按照什么規(guī)律進(jìn)行計算，這就是插補(bǔ)算法要研究的核心問題。在數(shù)控加工中，常常遇到非圓曲線的加工，而一般的數(shù)控系統(tǒng)只配備了直線、圓弧等少數(shù)插補(bǔ)功能，因此給定曲線的理論軌跡不一定能直接處理，需要將給定的理論軌跡按允許的誤差進(jìn)行離散逼近，生成一系列直線段（或圓弧段）所描述的刀具運(yùn)動軌跡。

在采用直線逼近曲線的方式中，目前應(yīng)用較廣的有等參數(shù)插補(bǔ)和等誤差插補(bǔ)，兩種插補(bǔ)方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。等參數(shù)法計算簡單，但對于曲率變化較大的曲線會帶來插補(bǔ)誤差在局部超過允許誤差，從而降低加工的質(zhì)量；等誤差法在控制插補(bǔ)誤差上具有較好的功能，但其節(jié)點(diǎn)的計算涉及到四次方程的求解，計算量大，使用受限。在目前流行的各種CAD/CAM軟件中，采取的方法是通過控制最小的加工誤差生成一系列的直線段，其程序的數(shù)量大，加工時間長，識別度差。

等參數(shù)插補(bǔ)方法在實(shí)際應(yīng)用中還涉及到參數(shù)的選取問題，文獻(xiàn)[1]中分析了不同參變量（也就是等參數(shù)插補(bǔ)中的參數(shù)）對橢圓插補(bǔ)誤差的影響，這些分析說明選取的參變量不同，其插補(bǔ)產(chǎn)生誤差的大小和位置也不同，在同一位置采用不同參變量其誤差會有較大差異，這也給等參數(shù)插補(bǔ)的使用帶來了一定的限制。

本文在研究等參數(shù)插補(bǔ)算法的基礎(chǔ)上，提出一種新的參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法，并在橢圓曲線加工中進(jìn)行了驗(yàn)證。參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法是結(jié)合等參數(shù)插補(bǔ)的優(yōu)勢，借用等誤差逼近的原理，將等參數(shù)中的等參數(shù)設(shè)置成變參數(shù)，且能適用于不同的參數(shù)選取，通過參數(shù)增量的改變來實(shí)時調(diào)節(jié)插補(bǔ)的誤差，以確保插補(bǔ)誤差滿足允許條件。在保證加工質(zhì)量的前提下，參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)比等參數(shù)插補(bǔ)算法的有更好的加工質(zhì)量，比等誤差插補(bǔ)算法有更少的計算量。通過實(shí)例應(yīng)用得出該方法既具有等參數(shù)插補(bǔ)計算簡單的優(yōu)點(diǎn)，又能兼顧到最大誤差的控制，具有良好的應(yīng)用性和推廣性。

1 等參數(shù)直線插補(bǔ)誤差計算

1.1 等參數(shù)直線插補(bǔ)算法解析

非圓曲線的方程表示為 y = f(x)，當(dāng)以自變量x作為參變量時，曲線按等參數(shù)Δx進(jìn)行節(jié)點(diǎn)分割，即每兩個相鄰節(jié)點(diǎn)間的的參數(shù)差值均相同，如圖1所示，D點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（xi,yi），E點(diǎn)為變量增加了Δx后所對應(yīng)的點(diǎn)，其坐標(biāo)為（ xi+1,yi+1），DE之間通過直線插補(bǔ)，依次例推，完成了整個曲線的插補(bǔ)。

圖1 等參數(shù)插補(bǔ)示意圖

當(dāng)曲線的方程不便直接表達(dá)時，可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程表示：

對于參數(shù)方程，在等參數(shù)插補(bǔ)中，主要是保證相鄰兩點(diǎn)間的參數(shù)增量為一常數(shù)tΔ，當(dāng)tΔ一定時，插補(bǔ)的節(jié)點(diǎn)可以直接計算得出。

等參數(shù)插補(bǔ)方法中只考慮了兩點(diǎn)間的參數(shù)增量，整個過程計算方便，但是對于各相鄰插補(bǔ)直線段的插補(bǔ)誤差卻并沒有考慮，一般情況下，為了保證插補(bǔ)誤差，只能是最大限度的減小參數(shù)增量，增加走刀的次數(shù)，對于曲率變化較大的曲線，等參數(shù)插補(bǔ)算法的應(yīng)用受到了較大的限制。

1.2 直線插補(bǔ)誤差計算

要保證在插補(bǔ)過程中的計算方便，又要考慮到對最大插補(bǔ)誤差的控制。如果能將各直線段的插補(bǔ)誤差用公式算出，再對比插補(bǔ)誤差和允許誤差，當(dāng)插補(bǔ)誤差大于允許誤差時，減少等參數(shù)插補(bǔ)中的參數(shù)增量，通過控制參數(shù)增量，達(dá)到控制插誤差的目的。

如圖2所示，即先在曲線 y = f(x)上取相鄰兩點(diǎn)D、E，兩點(diǎn)間的參數(shù)增量為Δx，D點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為 xi，函數(shù)值為 yi，E點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為 xi+1，函數(shù)值為 yi+1，則 xi+1=xi+Δx，接下來要計算直線DE的插補(bǔ)誤差。求解直線的插補(bǔ)的最大誤差，就是要在曲線 y = f(x)上要找到一條直線MN，此直線既與曲線相切于N點(diǎn)，又與直線DE平行，其切點(diǎn)N到直線DE的距離即是最大插補(bǔ)誤差。要計算距離，就先要計算切點(diǎn)N坐標(biāo)，計算曲線時求出的點(diǎn)即為切點(diǎn)N。這種求解插補(bǔ)誤差的方法是比較準(zhǔn)確，但是其切點(diǎn)N的坐標(biāo)求解比較復(fù)雜的，特別是對某些導(dǎo)數(shù)不易求出的曲線更是比較難實(shí)現(xiàn)[2～5]。

圖2 直線插補(bǔ)誤差計算示意圖

1.3 直線插補(bǔ)誤差近似計算

由于直線插補(bǔ)誤差算法比較復(fù)雜，在研究等參數(shù)插補(bǔ)算法的基礎(chǔ)上，引入中間參數(shù)點(diǎn)概念，用中間參數(shù)點(diǎn)來替代相切點(diǎn)，減少了對曲線求導(dǎo)的過程，用中間參數(shù)點(diǎn)到插補(bǔ)直線的距離近似作為插補(bǔ)誤差，這種方法大大減少計算量，同時對數(shù)值準(zhǔn)確性的影響卻很小，有很好的適用性。如圖3所示，在 y = f(x)曲線上取兩點(diǎn)D、E，兩點(diǎn)間的參數(shù)增量為Δx，D點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為xi，函數(shù)值為 yi，E點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為 xi+1，函數(shù)值為 yi+1，在DE曲線段上上取一點(diǎn)F，使得將F點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為D、E這兩點(diǎn)參數(shù)的平均值，即點(diǎn)F對應(yīng)的參數(shù)為通過參數(shù)可計算出中間參數(shù)點(diǎn)F的坐標(biāo)，計算此時F點(diǎn)到直線DE的距離作為插補(bǔ)誤差。

圖3 直線插補(bǔ)誤差近似計算示意圖

等參數(shù)直線插補(bǔ)誤差計算的過程中涉及到直線方程的表達(dá)，點(diǎn)到直線距離的計算。

2 點(diǎn)到直線的距離計算

2.1 過兩點(diǎn)的直線方程

如圖4所示，D、E為非圓曲線上的兩點(diǎn)，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)為D(x1,y1)、E(x2,y2)，若x1=x2，則DE直線的方程可寫為x=x1，改為一般式為：

DE直線方程為y-y1=k(x-x1)，改寫成一般式為：

圖4 點(diǎn)到直線距離示意圖

2.2 點(diǎn)到直線的距離公式

直線的方程一般式為Ax+By+C=0，其中A、B、C為常數(shù)，且 A2+B2≠0，點(diǎn)F(x3,y3)到該方程的距離為：

將式（1）與直線方程的一般式進(jìn)行對照，則此時 A=1,B=0,C=-x1。若要求點(diǎn)F( x3,y3)到DE連線的距離，則將此時的A、B、C的數(shù)值，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)代入式（3）可求出點(diǎn)F點(diǎn)到直線DE的距離為：

將式（2）與直線方程的一般式進(jìn)行對照，則此時 A=-k,B=1,C=kx1-y1。若要求點(diǎn)F(x3,y3)到DE連線的距離，則將此時的A、B、C的數(shù)值、F點(diǎn)的坐標(biāo)代入式（3）可求出點(diǎn)F點(diǎn)到直線DE的距離為：

3 參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法

3.1 算法原理

在參數(shù)自適應(yīng)算法中，一般曲線方程采用參數(shù)方程的形式。參數(shù)自適應(yīng)算法的原理如下。

已知曲線的方程可表示為x=X(t)，y=Y(t)，參數(shù)的取值區(qū)間為[t1， tn]。先在已知曲線上取相鄰兩點(diǎn)D和E，D點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為ti，E點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為ti+1，設(shè) ti+1=ti+Δt，設(shè)D點(diǎn)、E點(diǎn)的坐標(biāo)為（xi,yi），（xi+1,yi+1），則有：

此時，F(xiàn)點(diǎn)到弦DE的距離d可通過式（5）進(jìn)行求解（若xi=xi+1則用式（4）進(jìn)行求解），將d也可看作直線插補(bǔ)的最大誤差。將求得的距離d與允許誤差d允進(jìn)行比較，若此時d＞d允，則減少參數(shù)增量Δt；若此d≤d允，則DE兩點(diǎn)間直接插補(bǔ)滿足誤差條件，可以直接進(jìn)行插補(bǔ)，如此例推，可以計算出所有的插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)，完成整個曲線的加工。通過在加工過程中適時調(diào)整參數(shù)的增量Δt，使直線插補(bǔ)滿足誤差條件。

3.2 算法流程框圖

在進(jìn)行自適應(yīng)參數(shù)插補(bǔ)運(yùn)算時，首先要給定一個刀具起點(diǎn)位置（參數(shù) t1所對應(yīng)的位置），給定加工的允許插補(bǔ)誤差d允，設(shè)定一個合理的初始參數(shù)增量Δt，誤差Δt設(shè)置過大，增加了循環(huán)計算的次數(shù)，Δt設(shè)置過小則起不到減少走刀次數(shù)的作用。

在設(shè)計算法流程框圖時，有三個條件判斷。第一個條件判斷 ti≤tn是判斷是否已經(jīng)插補(bǔ)到終點(diǎn)，如果到終點(diǎn)則結(jié)束程序，如果沒有到終點(diǎn)，則計算當(dāng)前點(diǎn)D的坐標(biāo)，下一插補(bǔ)點(diǎn)E的坐標(biāo)，和參數(shù)中間點(diǎn)F的坐標(biāo)。第二個條件判斷是判斷D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否與E點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，若xi=xi+1，則F點(diǎn)到直線DE的距離d =xi′-xi；若xi≠xi+1，則是比較距離d與允許誤差d允的大小，當(dāng)d≤d允，走直線DE，當(dāng)d＞d允時，減少插補(bǔ)的參數(shù)增量Δt，用新的Δt重新計算點(diǎn)的坐標(biāo)，直至誤差滿足允許條件。走完這段直線DE后，將此時的終點(diǎn)所對的參數(shù)值賦值給下一個起點(diǎn)ti=ti+Δt，重新開始第一個條件判斷。圖5為參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法流程。

圖5 參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法流程圖

4 應(yīng)用實(shí)例及分析

4.1 加工橢圓曲線

為了驗(yàn)證參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法的正確性，現(xiàn)以加工橢圓曲線為例，其橢圓方程為y = 30sint，t的取值區(qū)間為[0，360]，采用參數(shù)方程進(jìn)行加工，設(shè)加工的起點(diǎn)為（50，0），在等參數(shù)插補(bǔ)時，采用參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法時我們?nèi)ˇ = 2，根據(jù)參數(shù)自適應(yīng)算法，利用FAUNC機(jī)床自帶的循環(huán)語句[6]，編寫宏程序O0001。

O0001 程序名稱

#1=0給參變量t賦初值

#2=50橢圓的長半軸

#3=30橢圓的短半軸

#18=0.005設(shè)定允許插補(bǔ)誤差

S1500 M03主軸正轉(zhuǎn)

G54 G90 G40 G17設(shè)定加工坐標(biāo)系

G00 X#2 Y0 Z50定位到起點(diǎn)

Z2 Z向快速定位

G1 Z-1 Z向下刀

WHILE [#1 LE 360] DO 1當(dāng)參數(shù)t360≤時循環(huán)開始

#4=2給參數(shù)增量tΔ賦值

GOTO 2 跳轉(zhuǎn)到N2程序段

N1 #4=0.7*#4減少tΔ

N2 #14=#1+#4 計算下一點(diǎn)E的參數(shù)

#5=#2*COS[#1] 計算當(dāng)前點(diǎn)D的x坐標(biāo)

#6=#3*SIN[#1] 計算當(dāng)前點(diǎn)D的y坐標(biāo)

#7=#2*COS[#14] 計算下一點(diǎn)E的x坐標(biāo)

#8=#3*SIN[#14] 計算下一點(diǎn)E的y坐標(biāo)

IF[#5 EQ#7] GOTO 3 當(dāng)D、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時跳轉(zhuǎn)到N3程序段

#9=[#8-#6]/[#7-#5] 計算直線DE的斜率

#10=#1+0.5*#4 計算中間點(diǎn)F的參數(shù)

#11=#2*COS[#10] 計算中間點(diǎn)F的x坐標(biāo)

#12=#3*SIN[#10] 計算中間點(diǎn)F的y坐標(biāo)

#13=ABS[#12-

#9*#11+#9*#5-#6] 計算式（5）的分子

#15=SQRT[1+#9*#9] 計算式（5）的分母

#17=#13/#15 計算F到直線DE的距離d

GOTO 4 跳轉(zhuǎn)到N4程序段

N3 #17=ABS[#11-#5] 計算F到直線DE的距離d

N4 IF [#17 GT #18] GOTO 1當(dāng)允d＞d時，跳轉(zhuǎn)到N1程序段

G01 X#7 Y#8 F500 走DE直線

#1=#1+#4 將此時終點(diǎn)的參數(shù)賦值給下一個起點(diǎn)的參數(shù)

END 1 循環(huán)結(jié)束

G1 Z5 抬刀

G0Z50 快速抬刀

G0X0 Y0 快速定位到XY的中心

M05 主軸停止

M30 程序結(jié)束

4.2 兩種插補(bǔ)算法對比分析

為了更好的對比等參數(shù)插補(bǔ)算法與參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法，對橢圓曲線進(jìn)行加工。由于橢圓曲線為軸對稱圖形，僅對第一象限的四分之一的橢圓加工進(jìn)行對比。其加工的四分之一橢圓尺寸如圖6所示，要求允許誤差為0.005。

圖6 加工的四分之一橢圓

對于圖6，如果采用等參數(shù)插補(bǔ)算法，取參數(shù)角t為參變量，t∈[0 , 90]，參數(shù)增量Δt為2，此時的走刀次數(shù)為45，再通過直線插補(bǔ)誤差算法可計算出此時的最大插補(bǔ)誤差和最小插補(bǔ)誤差分別為0.0076和0.0046。其插補(bǔ)誤差較均勻，但部分位置不滿足允許插補(bǔ)誤差，即不滿足質(zhì)量要求。采用本文1.3所介紹的近似算法與1.2確準(zhǔn)算法間的最大誤差為9. 9×10-15，說明其近似算法能完全滿足插補(bǔ)要求。取橫坐標(biāo)x為參變量時，x∈[0 , 50]，此時對應(yīng)于每一個x，有一個y對應(yīng)，此時的走刀次數(shù)為50，再通過直線插補(bǔ)誤差公式可計算出此時的最大插補(bǔ)誤差和最小插補(bǔ)誤差分別為0.248和0.0015，其插補(bǔ)誤差不均勻，且部分位置不滿足允許插補(bǔ)誤差，即不滿足質(zhì)量要求。等參數(shù)直線插補(bǔ)中，當(dāng)插補(bǔ)誤差不滿足允許條件時，唯一的辦法只能是減少參數(shù)增量，當(dāng)然此時走刀次數(shù)也會成倍的增加。

當(dāng)采用參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法時，程序O0001是取參數(shù)角t為變量，初始參數(shù)增量Δt為2的參數(shù)自適應(yīng)編程，此時的插補(bǔ)次數(shù)為63（可以通過在程序中設(shè)置計數(shù)變量得到），其最大插補(bǔ)誤差和最小插補(bǔ)誤差分別為0.005和0.0046，其插補(bǔ)誤差的變化幅度非常小，其加工曲線的誤差均勻，加工質(zhì)量好。如果取橫坐標(biāo)x為參變量，初始參數(shù)增量Δx = 1，此時的插補(bǔ)次數(shù)為65，其最大插補(bǔ)誤差和最小插補(bǔ)誤差分別0.005和0.0015。不管以參數(shù)角t還是橫坐標(biāo)x作為參變數(shù)，采用參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法均能滿足插補(bǔ)誤差條件。

參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法與等參數(shù)插補(bǔ)算法結(jié)果對比見表1。從結(jié)果我們可以看出，參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法雖然走刀次數(shù)有所增加，但其計算簡單，加工誤差均勻，加工質(zhì)量好，走刀次數(shù)不依賴于參數(shù)增量的大小，且參數(shù)變量的選擇對插補(bǔ)誤差的影響較小[7,8]。

5 結(jié)束語

本文在研究等參數(shù)插補(bǔ)的基礎(chǔ)上，提出參數(shù)自適應(yīng)算法，主要研究工作有：

表1 兩種插補(bǔ)算法對比分析

1) 以參數(shù)中間點(diǎn)替代相切點(diǎn)來計算插補(bǔ)誤差，簡化的計算過程，且引起的誤差一般為10-10數(shù)量級甚至更小，對計算結(jié)果的影響可以忽略；

2) 在插補(bǔ)過程中，適時改變參數(shù)增量的大小，來控制插補(bǔ)誤差滿足許可條件；

3) 提出參數(shù)自適應(yīng)直線插補(bǔ)算法，給出了算法的插補(bǔ)原理和算法流程圖；

4) 針對橢圓曲線的加工，將參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)和等參數(shù)插補(bǔ)方法進(jìn)行對比，驗(yàn)證算法的正確性和適用性。

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