廣義預(yù)測(cè)控制在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用研究

王麗飛，劉洪娥，于佐軍（中國石油大學(xué)，山東 青島 266555）

1 引言

廣義預(yù)測(cè)控制是Clarke等人在1987年針對(duì)工業(yè)過程的特點(diǎn)，在保持最小方差自校正控制的在線辨識(shí)、最小方差控制的基礎(chǔ)上，吸取了DMC和MAC中的滾動(dòng)優(yōu)化策略，提出的一種新型的計(jì)算機(jī)控制。廣義預(yù)測(cè)控制具有諸多優(yōu)點(diǎn)：首先，它是基于參數(shù)模型的，而其他的預(yù)測(cè)控制算法大部分是基于非參數(shù)模型的。其次，它保留了自適應(yīng)控制的優(yōu)點(diǎn)，而且較自適應(yīng)控制有更好的魯棒性。最后，由于采用多步預(yù)測(cè)、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正等策略，其控制效果更適應(yīng)工業(yè)過程控制的要求[1～3]。由于這些優(yōu)點(diǎn)，廣義預(yù)測(cè)控制一出現(xiàn)就受到了控制界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注，其理論研究不斷深入，并在很多工業(yè)過程中得到應(yīng)用，取得了較好的控制效果[4]。

但是，目前廣義預(yù)測(cè)控制的研究對(duì)象大部分是線性離散時(shí)間系統(tǒng)，對(duì)非線性系統(tǒng)廣義預(yù)測(cè)控制的研究，由于難于構(gòu)造被控對(duì)象的多步預(yù)報(bào)模型因而導(dǎo)致廣義預(yù)測(cè)控制律求解困難。目前非線性系統(tǒng)的廣義預(yù)測(cè)控制一般都是用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法來獲得被控對(duì)象的多步預(yù)測(cè)值，這種方法需要首先訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其模型不能進(jìn)行在線辨識(shí)[5～7]。本文針對(duì)一類比較具有普遍意義的非線性系統(tǒng)，首先將其轉(zhuǎn)化為時(shí)變參數(shù)的線性系統(tǒng)，然后使用具有遺忘因子的最小二乘法或是多項(xiàng)式逼近法在線辨識(shí)模型參數(shù)，進(jìn)行廣義預(yù)測(cè)控制。并以二容液位系統(tǒng)為模型，進(jìn)行了仿真研究，取得了較好的控制效果。

2 非線性系統(tǒng)的廣義預(yù)測(cè)控制

2.1 非線性系統(tǒng)模型及其等效時(shí)變線性系統(tǒng)

非線性系統(tǒng)被控對(duì)象的輸入輸出模型可以描述如下：

其中 u、 y分別表示系統(tǒng)的輸入、輸出，m、n分別表示輸入輸出階次，ε(t)表示噪聲干擾， f(?)是未知的關(guān)于y(t ?1),y(t?n),u(t?1),u(t?m)的非線性函數(shù)，并且滿足下列條件：

（1） 0)0,0,0( =f

（2） f (?)關(guān)于y(t ?1),y(t?n),u(t?1),u(t?m)連續(xù)可導(dǎo)，且各偏導(dǎo)數(shù)有界。

條件（1）要求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為零點(diǎn)，若不滿足此條件，可通過坐標(biāo)變化使之滿足此條件，條件（2）代表了一類非線性系統(tǒng)，也是許多實(shí)際非線性系統(tǒng)過程所滿足的。這兩個(gè)條件并不是很苛刻，對(duì)這類非線性系統(tǒng)的研究也具有實(shí)際意義。可以證明[8～9]，滿足以上兩個(gè)條件的非線性系統(tǒng)可以等價(jià)地表示為如下的時(shí)變線性系統(tǒng)：

并且 ai（i = 1,2,n ）、bj（ j = 1,2,n） 是有界的。這一時(shí)變線性系統(tǒng)相當(dāng)于將非線性系統(tǒng)等價(jià)為一個(gè)由無數(shù)線性系統(tǒng)組成的線性模型的集合，每一時(shí)刻對(duì)應(yīng)集合中的某個(gè)線性模型。

根據(jù)以上論述，我們就可以在廣義預(yù)測(cè)控制的每一步，先辨識(shí)非線性系統(tǒng)的線性化模型，然后再進(jìn)一步求解廣義預(yù)測(cè)控制律。

2.2 模型參數(shù)的辨識(shí)

式（2）是由一個(gè)非線性系統(tǒng)等價(jià)而來的參數(shù)未知的時(shí)變線性系統(tǒng)，當(dāng)非線性系統(tǒng)不是處在穩(wěn)定工作點(diǎn)時(shí)，其等價(jià)的時(shí)變線性系統(tǒng)的參數(shù)是不斷變化的，因此，要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，就必須先辨識(shí)系統(tǒng)模型的參數(shù)（在系統(tǒng)的階次已知的情況下），要辨識(shí)的模型如下：

令：

則式(3)可表示為：

對(duì)于以上時(shí)變系統(tǒng)模型的辨識(shí)，如果參數(shù)屬于慢時(shí)變的，可以采用改進(jìn)的線性定常系統(tǒng)的辨識(shí)方法，本文采用具有遺忘因子的最小二乘法，其計(jì)算公式如下：

其中， 0 <μ ≤1是遺忘因子，一般可取 0 . 95<μ ≤1， l (k )為權(quán)因子， p ( k )為正定的協(xié)方差陣。θ 與p的初值可用一次完成的最小二乘法得到，或直接選為

如果時(shí)變參數(shù)變化較慢，采用上述具有遺忘因子的最小二乘法就能獲得較好的效果，但在參數(shù)變化較快的情況下，參數(shù)的辨識(shí)應(yīng)該依據(jù)對(duì)應(yīng)時(shí)刻的觀察數(shù)據(jù)，不能過多地使用過去時(shí)刻的觀測(cè)數(shù)據(jù)，因此很難滿足時(shí)變參數(shù)辨識(shí)時(shí)對(duì)觀察數(shù)據(jù)充分豐富的要求，使用上述算法就存在較大的誤差，為了解決該問題，比較常用的是多項(xiàng)式逼近法。所謂多項(xiàng)式逼近方法，就是將時(shí)變序列展開成多項(xiàng)式基函數(shù)的線性組合形式，通過辨識(shí)這些線性組合的定常系數(shù)來實(shí)現(xiàn)時(shí)變參數(shù)的辨識(shí)。

對(duì)于式(3)中 )(tθ 的任意一個(gè)元素，在任意一個(gè)時(shí)間間隔 ],[21ttt ∈ 上，存在多項(xiàng)式：

通過引入如下一個(gè)變量代換[10～11]

則式(3)可以寫成：

)(tξ 為系統(tǒng)的噪聲與多項(xiàng)式的截?cái)囗?xiàng)所造成的未建模動(dòng)態(tài)誤差之和。

對(duì)(10)進(jìn)行辨識(shí)時(shí)，先進(jìn)行正則化處理：

即：

對(duì)上式中的參數(shù)采用如下帶有死區(qū)的最小二乘算法進(jìn)行辨識(shí)：

死區(qū)切換函數(shù)定義為：

其中，α1=1+trace(P(0))， t rP (0)表示矩陣 P (t)在時(shí)刻等于 t =0時(shí)的跡，α2為小于1的任選正常數(shù)。

2.3 非線性系統(tǒng)工作點(diǎn)變化時(shí)的廣義預(yù)測(cè)控制

在實(shí)際的過程中，大部分的非線性系統(tǒng)都是工作在某一穩(wěn)定工作點(diǎn)上，因此，系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，可以將系統(tǒng)作為一個(gè)時(shí)不變線性系統(tǒng)進(jìn)行控制，而當(dāng)系統(tǒng)的工作點(diǎn)變化的時(shí)候，就需要采用上面所論述的原理，將非線性系統(tǒng)等價(jià)為時(shí)變的線性系統(tǒng)，在線辨識(shí)模型參數(shù)，并進(jìn)行廣義預(yù)測(cè)控制，使系統(tǒng)由一個(gè)工作點(diǎn)快速平穩(wěn)地達(dá)到另外一個(gè)工作點(diǎn)。

非線性系統(tǒng)工作點(diǎn)變化時(shí)的廣義預(yù)測(cè)控制的步驟：

（1）如果非線性系統(tǒng)工作在同一工作點(diǎn)，轉(zhuǎn)到3，否則執(zhí)行2；

（2）用具有遺忘因子的遞推最小二乘法（參數(shù)變化緩慢）或多項(xiàng)式逼近時(shí)變參數(shù)的方法估計(jì)模型參數(shù) )(tai， )(tbj；

（3）求解Diophantine方程，計(jì)算jE、jF、jG、jH；

（4）計(jì)算矩陣G和G ( G + λ I )?1；

（5）求解控制量 )(tu ；

（6）返回到1，繼續(xù)執(zhí)行；

此處需要說明的是，如果用具有遺忘因子的遞推最小二乘法辨識(shí)參數(shù)，那么它與線性系統(tǒng)廣義預(yù)測(cè)控制中的具有遺忘因子的遞推最小二乘法雖然都是用來估計(jì)系統(tǒng)的參數(shù)，但意義并不相同，前者求的是非線性系統(tǒng)在不同工作點(diǎn)附近的線性化的模型參數(shù)，目的是使線性化后的模型能盡可能逼近非線性模型，參數(shù)變化比較大；后者求的是線性系統(tǒng)的模型參數(shù)，它的作用是使辨識(shí)值不斷地接近線性系統(tǒng)模型參數(shù)的真實(shí)值，參數(shù)變化不大。此外，如果非線性系統(tǒng)是由一個(gè)工作點(diǎn)運(yùn)行到令一個(gè)工作點(diǎn)時(shí)，辨識(shí)的初始值應(yīng)該設(shè)為起始工作點(diǎn)線性化后的模型參數(shù)。

3 廣義預(yù)測(cè)控制在二容液位系統(tǒng)中的應(yīng)用

3.1 二容液位控制系統(tǒng)的建模

二容液位系統(tǒng)如圖1所示：

圖1 二容液位圖

在圖1中，上面的容器稱為容器1，下面的容器稱為容器2。容器1的水流輸入量Q0是由水泵M決定的，水泵的正常工作區(qū)間為0-3 m3/h，即水泵能夠提供的最大水流為 1 /1200m3/s。容器1的水流輸出量Q1與容器1的液位高度的開方成正比，即 Q1 = k 1h1，同理，容器2的水流輸出量Q2與容器2的液位高度的開方成正比，即，則根據(jù)物料平衡方程：

容器內(nèi)儲(chǔ)液量的變化率 = 單位時(shí)間內(nèi)液體流入量 - 單位時(shí)間內(nèi)液體流出量

可以得到容器1的液位：

容器2的液位：

其中的A1，A2分別為容器1、容器2的橫截面積。

3.2 二容液位系統(tǒng)的仿真

在二容液位系統(tǒng)的仿真研究中，以容器1的水流輸入量作為輸入控制量，以容器2的液位高度作為輸出控制量，系統(tǒng)用CARMA表示，即

采用具有遺忘因子的最小二乘法辨識(shí)模型的參數(shù)。系統(tǒng)的仿真輸出采用四階龍格—庫塔法得到，其公式如下：

其中：

f( t,y)為系統(tǒng)的模型。

3.3 仿真結(jié)果

系統(tǒng)在幅值為7.8881e-004的階越響應(yīng)下的響應(yīng)曲線如圖2所示：

圖2 階躍響應(yīng)曲線

初始液位為0，液位設(shè)定值為0.35m，采用具有遺忘因子的最小二乘法辨識(shí)系統(tǒng)模型，其仿真結(jié)果如圖3所示：

圖3 具有遺忘因子的最小二乘法辨識(shí)系統(tǒng)模型的輸出曲線

采用多項(xiàng)式逼近法辨識(shí)模型參數(shù)時(shí)，其仿真結(jié)果如圖4所示：

由圖3和圖4可以看出，由于參數(shù)變化比較緩慢，無論是采用多項(xiàng)式逼近法辨識(shí)模型還是采用具有遺忘因子的最小二乘法辨識(shí)模型，輸出曲線相差不大，都能實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)工作點(diǎn)的切換。

圖4 多項(xiàng)式逼近法辨識(shí)模型的輸出曲線

4 結(jié)語

本文針對(duì)一類比較具有普遍意義的非線性系統(tǒng)，首先將其轉(zhuǎn)化為時(shí)變參數(shù)的線性系統(tǒng)，然后使用具有遺忘因子的最小二乘法或是多項(xiàng)式逼近法在線辨識(shí)模型參數(shù)，進(jìn)行廣義預(yù)測(cè)控制，給出了兩種辨識(shí)時(shí)變參數(shù)的方法，并以二容液位系統(tǒng)為模型，進(jìn)行了仿真研究。結(jié)果表明，使用具有遺忘因子的最小二乘法或是多項(xiàng)式逼近法在線辨識(shí)模型參數(shù)，輸出曲線相差不大，都能實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)工作點(diǎn)的切換。

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