基于貝葉斯理論的導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性研究＊

洪 亮 楊春周 衣冠琛 陳 健

（海軍航空工程學(xué)院 煙臺(tái) 264001）

1 引言

導(dǎo)彈是一種結(jié)構(gòu)復(fù)雜的武器裝備，由于有著長(zhǎng)期貯存、一次性使用的特點(diǎn)，因此，其發(fā)生故障的可能性就會(huì)隨著貯存時(shí)間變長(zhǎng)而逐步增大。作為導(dǎo)彈的心臟，導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)的可靠性更是值得我們重視的現(xiàn)實(shí)問題。如何運(yùn)用科學(xué)的方法對(duì)導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性進(jìn)行科學(xué)評(píng)判，是當(dāng)前需要研究的一項(xiàng)現(xiàn)實(shí)而又緊迫的課題。

2 SPOT方法理論

關(guān)于序貫的檢驗(yàn)方法，人們通常所熟悉的是A.Wald提出的序貫概率比檢驗(yàn)（Sequential Probability Ratio Test，SPRT）方法［1］。這種方法的平均試驗(yàn)次數(shù)較之傳統(tǒng)的檢驗(yàn)方法要少，易于組織實(shí)施，因此對(duì)于成本高昂的試驗(yàn)，人們樂于采用。但是由于這種方法對(duì)驗(yàn)前信息沒有考慮，所需試驗(yàn)次數(shù)仍然比較大。為了對(duì)小子樣條件下的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，得出合理的結(jié)論，需要充分利用驗(yàn)前信息，所以我們采用序貫驗(yàn)后加權(quán)檢驗(yàn)（Sequential Posterior Odd Test，SPOT）方法對(duì)R＆M 指標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)證［2］。

SPOT方法以Baves理論為基礎(chǔ)，不僅運(yùn)用了總體分布未知參數(shù)的驗(yàn)前信息，而且決策的過程是“序貫”的，即在每次試驗(yàn)之后，連同以往試驗(yàn)的結(jié)果，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，看能否做出統(tǒng)計(jì)決策。如果尚不足以作出決策，那么再進(jìn)行下一次試驗(yàn)，因此在這種決策過程中樣本的容量不是事先固定的，而是視出現(xiàn)的樣本而定，即試驗(yàn)數(shù)是隨機(jī)的。所以運(yùn)用SPOT方法對(duì)戰(zhàn)技指標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)試驗(yàn)信息已足夠用于得出統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，就停止試驗(yàn)，這樣就可以避免不必要的試驗(yàn)，達(dá)到節(jié)省費(fèi)用、縮短試驗(yàn)周期和提高試驗(yàn)質(zhì)量的作用。

由于在實(shí)際的試驗(yàn)方案制訂過程中，考慮到試驗(yàn)費(fèi)用和時(shí)間等因素的影響，受武器裝備試驗(yàn)數(shù)量的限制，不能任試驗(yàn)無限制地“序貫”下去，往往一般要求預(yù)先確定試驗(yàn)次數(shù)的上界，即規(guī)定最大試驗(yàn)樣本量，在這種情況下，如果未能在規(guī)定的樣本量?jī)?nèi)得出指標(biāo)合格與否的結(jié)論，就需要采用截尾SPOT方法對(duì)指標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)證。

3 MTBF驗(yàn)證約束條件

一般情況下，在研制合同中根據(jù)作戰(zhàn)需要會(huì)要求戰(zhàn)技指標(biāo)為某一個(gè)數(shù)值，要求檢驗(yàn)的指標(biāo)不大于或不小于另一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)通常表示軍方最大限度的可接受值，如果不滿足要求，則可能對(duì)作戰(zhàn)任務(wù)造成重大影響。對(duì)于可靠性指標(biāo)參數(shù)的驗(yàn)證而言，設(shè)θ表示裝備的平均故障間隔時(shí)間（Mean Time Between Failures，MTBF），根據(jù)作戰(zhàn)任務(wù)的要求，這里規(guī)定θ應(yīng)不小于θ1，θ1表示軍方最大限度的可接受值，由于試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果帶有一定的誤判風(fēng)險(xiǎn)，即生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α和使用方風(fēng)險(xiǎn)β（生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α表示產(chǎn)品實(shí)際上合格時(shí)，由于是抽樣試驗(yàn)而被判定為不合格的概率，這種錯(cuò)誤使產(chǎn)品的生產(chǎn)方受到損失；使用方風(fēng)險(xiǎn)β表示產(chǎn)品不合格時(shí)，而被判定為合格的概率，這種錯(cuò)誤將導(dǎo)致用戶方受到損失。）。并且為了兼顧研制方的利益，設(shè)定檢出比為λ，令θ0表示參數(shù)θ希望達(dá)到的值（檢驗(yàn)上限）。

設(shè)可靠性真值為θ，希望達(dá)到的可靠性值為θ0（檢驗(yàn)上限），最大可接受值為θ1（檢驗(yàn)下限），基于簡(jiǎn)單假設(shè)的SPOT方法，就是通過借助驗(yàn)前信息，在每次試驗(yàn)之后對(duì)所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，判斷在可靠性檢驗(yàn)下限和檢驗(yàn)上限中究竟取哪個(gè)值更為合適。

4 導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)MTBF的驗(yàn)證過程

在已知生產(chǎn)方、使用方兩類風(fēng)險(xiǎn)，軍方對(duì)某型導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)MTBF［3］規(guī)定值以及最大試驗(yàn)樣本量的條件下，通過現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)，獲取一組現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。將導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)MTBF的仿真信息和專家信息這兩種驗(yàn)前信息以分布函數(shù)的形式進(jìn)行描述，獲得各自的先驗(yàn)分布。通過D－S證據(jù)融合方法將先驗(yàn)分布進(jìn)行融合，獲得最終的先驗(yàn)分布。最后，利用現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)和最終的先驗(yàn)分布，通過SPOT方法及截尾SPOT方法對(duì)某型導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的MTBF做出驗(yàn)證，判斷其是否符合軍方對(duì)導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的可靠性要求，具體過程如圖1所示。

圖1 某型導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)MTBF的驗(yàn)證過程

5 導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性數(shù)據(jù)需求分析

在某型導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)驗(yàn)證過程中，需要綜合利用專家信息、仿真信息等形成可靠性指標(biāo)參數(shù)的先驗(yàn)分布，進(jìn)而結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性指標(biāo)的驗(yàn)證。下面給出進(jìn)行驗(yàn)證試驗(yàn)前的數(shù)據(jù)需求分析。

5.1 研制方、使用方需求數(shù)據(jù)

α為生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)；β為使用方風(fēng)險(xiǎn)；θ1為軍方最大限度的可接受值；N為最大試驗(yàn)樣本量；

通過對(duì)某型導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的工程需求的分析，試驗(yàn)單位需對(duì)平均故障間隔時(shí)間MTBF按如下條件進(jìn)行驗(yàn)證：α＝β＝0.2，θ1＝4.5m，N＝5。

5.2 驗(yàn)前信息

由于導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)壽命的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為小樣本，因此需要對(duì)導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性的驗(yàn)前信息進(jìn)行分析，形成先驗(yàn)分布，進(jìn)而用于Bayes統(tǒng)計(jì)推斷。假設(shè)在對(duì)某型導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的驗(yàn)前信息分析中共得到仿真信息和專家信息兩類，下面分別對(duì)這兩種信息進(jìn)行分析。

5.2.1 仿真信息分析

對(duì)于導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的可靠性分析，仿真信息是一種主要的驗(yàn)前信息來源。對(duì)該導(dǎo)彈通過仿真模型仿真得到500組仿真數(shù)據(jù)，在表1中列出了其中50組數(shù)據(jù)的MTBF估計(jì)結(jié)果。

得到仿真數(shù)據(jù)后，可以利用極大似然法得出每次仿真后系統(tǒng)θ（MTBF）的點(diǎn)估計(jì)，這樣針對(duì)上述500組數(shù)據(jù)就有500個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)可供分析。進(jìn)一步假設(shè)系統(tǒng)B的先驗(yàn)分布為逆Gamma分布IG（a，b），則由矩等效法即可求出超參數(shù)（a，b）［4］。由逆Gamma分布IG（a，b）的期望和方差的計(jì)算公式，有

聯(lián)合上述兩個(gè)公式求解得到：

經(jīng)過分析仿真所得的500組數(shù)據(jù)，得出系統(tǒng)MTBF點(diǎn)估計(jì)的均值為4.60，方差為0.40，分別代入a、b的計(jì)算公式，得到

所以在做系統(tǒng)的可靠性分析中，可以以仿真試驗(yàn)分析所得的可靠性指標(biāo)MTBF的先驗(yàn)分布IG（54.9000，247.94）作為θ的先驗(yàn)分布。

表1 MTBF估計(jì)結(jié)果

5.2.2 專家信息分析

對(duì)于導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的MTBF的估計(jì)，專家信息是一種常用的驗(yàn)前信息，通過模擬對(duì)3名專家進(jìn)行咨詢得到表2所示的模擬驗(yàn)前信息。

通過對(duì)表2的分析，由專家信息的規(guī)范化描述方案，可以求解出導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)MTBF的先驗(yàn)分布，如表2所示。

表2 模擬驗(yàn)前信息

5.3 信息融合

出于計(jì)算與繪圖簡(jiǎn)便的考慮，將上述四種先驗(yàn)分布轉(zhuǎn)化為Gamma分布后的圖像如圖2所示，對(duì)驗(yàn)前信息融合過程，可以得出系統(tǒng)可靠性指標(biāo)θ的先驗(yàn)分布，由數(shù)據(jù)融合方法，可以得到如圖3所示的由直方圖表示的融合結(jié)果［5］。

5.4 先驗(yàn)分布的確定

在5.3中已得出驗(yàn)前信息融合結(jié)果的離散化表示，為了對(duì)系統(tǒng)的MTBF進(jìn)行驗(yàn)證，需要利用Gamma分布的形式對(duì)上述融合結(jié)果進(jìn)行擬合，得到其中的超參數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)MTBF的逆Gamma分布描述。通過運(yùn)用矩等效法求解超參數(shù)，得到融合先驗(yàn)分布為Gamma分布G（228.1772，1042.4），如圖4所示。因此，通過對(duì)四種驗(yàn)前信息的規(guī)范化描述和合理融合，得到系統(tǒng)MTBF的融合先驗(yàn)分布為IG（228.1772，1042.4）。

圖2 四種先驗(yàn)概率密度函數(shù)圖形顯示

圖3 驗(yàn)前信息融合結(jié)果的直方圖顯示

圖4 融合先驗(yàn)分布概率密度函數(shù)

6 可靠性指標(biāo)仿真驗(yàn)證分析

首先設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為

此時(shí)，θ0＝｛0＜θ≤4.5｝，θ1＝｛θ＞4.5｝。

由前面的計(jì)算可得θ（MTBF）的先驗(yàn)分布為（228.1772，1042.4），由驗(yàn)后分布的超參數(shù)與先驗(yàn)分布的超參數(shù)的關(guān)系可知，其驗(yàn)后分布為IG（232.1772，1057.9）。計(jì)算后加權(quán)比為

其中α1＝232.1772，β1＝1057.9，θ1＝4.5。

經(jīng)模擬現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)獲得第五發(fā)導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)無故障時(shí)間為4.6734m，此時(shí)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為4.5573，4.5665，1.7811，4.6734，故ˉx＝4.0329。根據(jù)前面的計(jì)算公式可知θ的先驗(yàn)分布為IG（232.1772，1042.4），則其后驗(yàn)分布為IG（232.1772，1062.6）。

此時(shí)驗(yàn)后加權(quán)比為

顯然A＜O5＜B，O5仍處于繼續(xù)試驗(yàn)區(qū)，但由于在實(shí)驗(yàn)之前就已規(guī)定了最大試驗(yàn)樣本量為五發(fā)，所以此時(shí)根據(jù)截尾SPOT方法，需要在決策閾值A(chǔ)，B之間嵌入閾值C，當(dāng)A＜O5＜C時(shí)，接受原假設(shè)H0；當(dāng)C≤O5＜B時(shí)，接受備擇假設(shè)H1。

由以上分析與計(jì)算結(jié)果可以看出，通過試驗(yàn)五枚此類型導(dǎo)彈，即可以對(duì)此導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)的可靠性指標(biāo)MTBF做出驗(yàn)證。相比傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法，基于Bayes理論的SPOT方法大大減低了試驗(yàn)次數(shù)。大量可信的驗(yàn)前信息是對(duì)Bayes序貫檢驗(yàn)方法統(tǒng)計(jì)推斷優(yōu)良性的保證。當(dāng)給定的驗(yàn)前信息越可信、越有效時(shí)，基于多源驗(yàn)前信息［6］的指標(biāo)驗(yàn)證方法越可以充分體現(xiàn)它的優(yōu)勢(shì)，可以在小樣本的條件下對(duì)指標(biāo)作出合理的驗(yàn)證，從而達(dá)到了節(jié)省試驗(yàn)費(fèi)用，縮短試驗(yàn)周期和提高試驗(yàn)質(zhì)量的目的。

7 結(jié)語(yǔ)

基于貝葉斯理論下小子樣可靠性評(píng)定方法對(duì)某型導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量可靠性進(jìn)行分析和研究，運(yùn)用SPOT法對(duì)導(dǎo)彈系統(tǒng)可靠性分析進(jìn)行模型的構(gòu)建與仿真，針對(duì)系統(tǒng)性能可靠性評(píng)定面臨數(shù)據(jù)不足的實(shí)際情況，提出了利用仿真進(jìn)行系統(tǒng)性能可靠性評(píng)定的方法，工程上易于實(shí)現(xiàn)，對(duì)高可靠性的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性評(píng)定更加準(zhǔn)確有效。

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