涵洞流量方程不確定性及參數(shù)敏感度分析

□ 王 芳

在泄洪涵洞流量計(jì)算中，為取得更準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，提高設(shè)計(jì)安全性，必須有相應(yīng)的設(shè)計(jì)流量公式。本文所研究的涵洞地處國(guó)外某水管局運(yùn)營(yíng)范圍內(nèi)，該水管局運(yùn)行維護(hù)超過(guò)400座水利工程設(shè)施，包括泄洪道、泵站、涵洞和堰等。為了充分利用地表徑流，泄水涵洞作為泄水建筑物，利用豎井式閘室內(nèi)的閘門來(lái)控制泄水涵洞的流量，對(duì)蓄納夏洪及冬閑水起到了重大作用。涵洞流量的估算可以通過(guò)實(shí)測(cè)、流量曲線法和經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算等得到。流量測(cè)量中存在大量的不確定性因素(Gonzalez, et. al., 2000a and 2000b)，包括測(cè)量誤差、流量公式不能精確地再現(xiàn)涵洞的復(fù)雜性等原因。此外，水溫、非穩(wěn)流影響、隨季節(jié)變化的水利粗糙度影響、渠道沖刷或沉積等因素也會(huì)給流量測(cè)量帶來(lái)誤差。而對(duì)于流量計(jì)算的一個(gè)重要問(wèn)題是流量公式的不確定性（或精度）。Damisse和Fru等人于2006年在量綱分析的基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)了滿管流涵洞流量公式，目前該水管局用該流量公式來(lái)估算流量。由于客觀世界變化的復(fù)雜性以及測(cè)量技術(shù)水平的限制，公式中有些變量目前還不能精確地進(jìn)行測(cè)量或估計(jì)，存在較大的不確定性。因此，分析研究這些變量的不確定性對(duì)涵洞流量估算值的影響，是目前工程設(shè)計(jì)人員面臨的亟待解決的問(wèn)題之一。

一、涵洞水文設(shè)計(jì)概況及數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

（一）涵洞水文設(shè)計(jì)情況

該泄洪涵洞共包括4孔混凝土涵洞，單孔凈寬8ft，孔高8ft，孔長(zhǎng)153ft，設(shè)計(jì)流量255cfs，總設(shè)計(jì)流量為1 020cfs，閘門為鋼結(jié)構(gòu)平板直升門，閘門尺寸均為8×8ft。其詳細(xì)結(jié)構(gòu)剖視如圖1所示。

圖1 涵洞結(jié)構(gòu)剖視圖

（二） 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

泄洪期間，閘門開(kāi)啟孔數(shù)為4孔，開(kāi)啟高度在1.0～6.0 ft之間，通過(guò)ADCP測(cè)量?jī)x，每組樣本數(shù)據(jù)要進(jìn)行3～5次的反復(fù)測(cè)量，以消除誤差。從實(shí)測(cè)資料來(lái)看，其相應(yīng)的下游水位大于涵洞出口頂部高程，涵洞出口淹沒(méi)在水面以下，呈淹沒(méi)式出流。由于4個(gè)涵洞具有相同的水力特性，因此滿管流流量公式適用于所有涵洞。涵洞滿管流流量的計(jì)算可用由Damisse和Fru（2006）開(kāi)發(fā)的公式（1）計(jì)算：

其中：Q為涵洞流量，cfs；Δh= HW- TW = 水頭-尾水位(ft)；A0= B×H0為涵洞橫斷面積(ft2)；AG= B×G0為涵洞在閘門下的面積(ft2)；B 為涵洞= the barrel span(ft)；H0=D為涵洞高度 (ft)；G0為閘門開(kāi)啟高度 (ft)；R為涵洞水利半徑 (ft)；L 為涵洞長(zhǎng)度 (ft)；n為曼寧系數(shù)；Cd為流量系數(shù)。

滿管流涵洞條件下涵洞入口處測(cè)得的14組流量數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。通過(guò)使用Chauvenet的標(biāo)準(zhǔn)異常檢測(cè)方法，檢測(cè)和剔除測(cè)量數(shù)據(jù)的異常值。表1中還提供了流量測(cè)量樣本均值（Qave），樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差(σQ)和bootstrapping算法樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差(σQ)等相關(guān)測(cè)量值的統(tǒng)計(jì)學(xué)信息。Bootstrapping算法提供了一種易于處理的方法，以減少或消除由于樣本量有限而引起的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。在這里，Mathmatica bootstrap 程序被用于對(duì)每一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行500萬(wàn)次重復(fù)采樣。結(jié)果顯示，當(dāng)重復(fù)抽取樣本數(shù)足夠大時(shí)，即使在每組數(shù)據(jù)中增加樣本也不會(huì)影響bootstrap樣本的平均值，同時(shí)也不會(huì)影響原始數(shù)據(jù)的信息量。數(shù)據(jù)顯示，樣本點(diǎn)流量全部服從正態(tài)分布。以第一組樣本為例，流量服從以171.93為均值，標(biāo)準(zhǔn)偏差為2.33的正態(tài)分布。

（三）現(xiàn)有流量公式校正

從公式（1）可以看出，設(shè)計(jì)流量計(jì)算公式中存在大量的不確定性因素。形成流量的主要變量包括閘門開(kāi)度、水頭差、曼寧系數(shù)、流量系數(shù)等七個(gè)變量。這些主要變量和基本變量都存在或強(qiáng)或弱的不確定性，有的可以根據(jù)已有的資料分析，有的還不能分析。

對(duì)于該泄洪涵洞來(lái)說(shuō)，曼寧系數(shù)n的區(qū)間為（0.011～0.015），優(yōu)選值為0.012（ADCP，2007）。而流量系數(shù)Cd在文獻(xiàn)中并沒(méi)有給出適當(dāng)?shù)姆秶?，在這種情況下，通過(guò)改寫(xiě)公式（1）得到Cd的計(jì)算公式（2），并使用蒙特卡羅法計(jì)算出Cd的優(yōu)選值()和選值區(qū)間(±σCd,M)。流量系數(shù)將用于現(xiàn)有流量公式校正和下一步的流量公式不確定性分析。結(jié)果顯示，Cd優(yōu)選值為0.8029，選值區(qū)間為（0.7303～0.8820），見(jiàn)表1所示。

現(xiàn)有流量公式校正是在公式（1）的基礎(chǔ)上，使用表1中測(cè)量到的公式參數(shù)和現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量值來(lái)進(jìn)行的。使用校正公式重新計(jì)算的流量與測(cè)量流量和現(xiàn)有流量公式計(jì)算流量對(duì)比，來(lái)驗(yàn)證該模型參數(shù)的優(yōu)選值是否合理，見(jiàn)圖2所示。結(jié)果顯示，校正后公式表現(xiàn)較好，與測(cè)量流量的相對(duì)誤差在1.93～13.69%之間，平均相對(duì)誤差為7.11%。但其與現(xiàn)有流量公式的相對(duì)誤差不超過(guò)5%，因此未來(lái)使用時(shí)無(wú)須修訂現(xiàn)有流量公式。

圖2 現(xiàn)有流量公式與校正后公式比較

二、泄洪涵洞流量估算的不確定度分析

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)樣本值及統(tǒng)計(jì)學(xué)信息

由于水文或水力學(xué)模型輸入?yún)?shù)存在不確定性，因此，水文或水力學(xué)模型的輸出變量一般也存在不確定性。其不確定性特征可由其分布函數(shù)和統(tǒng)計(jì)矩（如均值、方差等）來(lái)概括。理論上，水文或水力學(xué)問(wèn)題的不確定性分析，就是根據(jù)水文或水力學(xué)模型中隨機(jī)輸入變量的概率密度函數(shù)，來(lái)推求模型中輸出變量的精確概率密度函數(shù)。由于模型的非線性特征，使得精確推求輸出變量的概率密度函數(shù)難之又難。在工程設(shè)計(jì)中，通常先假定模型的隨機(jī)輸入變量各自服從某一概率分布，再通過(guò)統(tǒng)計(jì)理論估計(jì)出模型輸出變量的頭幾階矩，并在假定輸出變量服從某一概率分布的基礎(chǔ)上，對(duì)輸出變量進(jìn)行不確定性分析，如本文采用的第一階方差估計(jì)方法（FOV）。而蒙特卡羅法（MCS）不需假設(shè)輸出變量服從何種分布函數(shù)，而是通過(guò)大量運(yùn)算，給出輸出變量的可能分布函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)矩。通常情況下，當(dāng)評(píng)價(jià)函數(shù)是非線性或包括高度偏斜分布時(shí)，F(xiàn)OV法與MCS法分析結(jié)果大相徑庭。因此，同時(shí)使用并比較兩種方法的結(jié)論十分必要。

（一）分析方法

1.各參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不確定度A、B類評(píng)定及合成

在計(jì)算流量合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算前，先要計(jì)算每個(gè)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不確定度可用以下兩種方法衡量：

（1）A類不確定度的近似評(píng)定：對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來(lái)確定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，A類不確定度評(píng)定使用公式（3）計(jì)算。其中N為測(cè)量次數(shù)，xi為測(cè)量的數(shù)據(jù)，是xi的平均數(shù)，s為平均數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

（2）B類不確定度的近似評(píng)定：測(cè)量工作中，有時(shí)無(wú)法取得觀測(cè)值，這時(shí)不確定度無(wú)法由A類評(píng)定得到，只能用B類方法評(píng)定。由于B類不確定度通常采用非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定，一般不需要對(duì)被測(cè)量的目標(biāo)在統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)下進(jìn)行重復(fù)觀測(cè)而是按照現(xiàn)有信息加以評(píng)定。B類不確定度評(píng)定的通用計(jì)算如下：

其中，ai為被測(cè)量可能值的區(qū)間半寬度，其信息來(lái)源需考慮經(jīng)驗(yàn)和一般知識(shí)、技術(shù)說(shuō)明書(shū)、手冊(cè)參考資料、校準(zhǔn)證書(shū)；k為置信因子，k的確定可首先測(cè)定測(cè)量值落在±a區(qū)間內(nèi)的概率分布，常用概率分布的置信因子見(jiàn)表2所示。

（3）各參數(shù)的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，公式如下：

2.輸入?yún)?shù)分布函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)不確定度分析

為了準(zhǔn)確量化流量的不確定性，需要確定流量公式中每個(gè)參數(shù)的不確定性來(lái)源和其不確定值，進(jìn)行這些參數(shù)的不確定性是如何傳遞到整體流量的不確定性分析。在工程設(shè)計(jì)中，通常選用統(tǒng)計(jì)參數(shù)較少且易于估計(jì)的分布函數(shù)。均勻分布和三角分布就是其中兩種常用分布，其中三角分布只需給出隨機(jī)變量的最小值、最可能值和最大值，就可獲得隨機(jī)變量的分布函數(shù)，而無(wú)需做大量的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)。涵洞流量公式相關(guān)輸入?yún)?shù)的不確定值計(jì)算和概率分布情況見(jiàn)表3所示。

3.流量標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算

當(dāng)輸入?yún)?shù)xi之間相關(guān)時(shí)，測(cè)量結(jié)果Q的合成方差表達(dá)式為：

（二）第一階方差估計(jì)方法 (FOV)

通過(guò)改寫(xiě)方程1，得到流量方程的一階方差計(jì)算公式（7）。連同表1和表3一起使用FOV法，估算出每組樣本的流量誤差和相對(duì)流量誤差值，結(jié)果見(jiàn)表5和圖3所示。結(jié)果顯示，流量相對(duì)誤差在10.35～22.19%區(qū)間內(nèi)，平均相對(duì)誤差為11.94%，部分樣本流量相對(duì)誤差較高的原因可能是因?yàn)闇y(cè)量質(zhì)量引起的。

表2 研究所用概率分布的置信因子

表3 流量公式輸入?yún)?shù)分布函數(shù)及不確定度分析

圖3 FOV法流量的不確定性區(qū)間

使用上述方法，同時(shí)也可以預(yù)測(cè)水頭差在0.01～2ft范圍內(nèi)，閘門開(kāi)度在5ft高時(shí)且其它參數(shù)確定的條件下，涵洞流量的相對(duì)不確定性UQ/Q與水頭差的相關(guān)性如圖4所示。其結(jié)果顯示，當(dāng)水頭差大于0.2 ft時(shí)，UQ/Q變化不明顯；而當(dāng)水頭差小于0.2 ft時(shí)，UQ/Q變化顯著。例如，當(dāng)水頭差從0.2 ft下降到0.025 ft時(shí)，UQ/Q從6.24%顯著增加到32.37%。這個(gè)變化趨勢(shì)符合實(shí)際測(cè)量水頭差與其相對(duì)流量不確定值之間的趨勢(shì)關(guān)系。

圖4 水頭與流量相對(duì)不確定度的關(guān)系

同樣的曲線擬合步驟被用來(lái)研究閘門開(kāi)度和流量相對(duì)不確定性之間的趨勢(shì)，預(yù)測(cè)條件為水頭差為0.4ft，G0在0.05～6.0 ft之間，如圖5所示。結(jié)果表明，當(dāng)G0＞0.5ft時(shí)，UQ/Q只有微小變化；而當(dāng)G0從0.5 ft下降到0.05 ft（最小閘門開(kāi)度為0.05 ft）時(shí)，UQ/Q有顯著的變化，即從7.43%增加到58.36%。

圖5 閘門開(kāi)度與流量相對(duì)不確定度的關(guān)系

（三）蒙特卡羅方法 (MCS)

MCS是一種隨機(jī)模擬方法。因?yàn)檩斎雲(yún)?shù)是由概率分布而隨機(jī)生成的。所以，采用和已有數(shù)據(jù)分布接近的概率分布是十分必要的，能夠很好地解釋已有數(shù)據(jù)。在本研究中，每個(gè)輸入?yún)?shù)，包括流量系數(shù)（Cd）、閘門開(kāi)度（G0）、曼寧系數(shù)（n）、涵洞長(zhǎng)度（L）、水頭差（△H）、涵洞跨度（B）和涵洞深度（H0），通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析或經(jīng)驗(yàn)分析得出其概率分布函數(shù)。其中G0、N、L、B和H0的概率分布被假定服從均勻分布且通過(guò)兩個(gè)關(guān)鍵因子的測(cè)定（最小值和最大值），水頭差（ΔH）被假定服從三角形分布，流量系數(shù)Cd被假定服從正態(tài)分布（其關(guān)鍵參數(shù)為均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差 ），詳細(xì)信息見(jiàn)表4。

表4 MCS法輸入?yún)?shù)的概率分布與關(guān)鍵因子

圖6 在ΔH=0.42ft和G0=4.5 ft樣本點(diǎn)的流量不確定性預(yù)測(cè)結(jié)果

表7 MCS法流量的不確定性區(qū)間

（四）兩種方法對(duì)比

結(jié)果表明，F(xiàn)OV和MCS對(duì)于流量不確定度的估值高度吻合，但是目前的模型只適用于水頭差在0.08～0.84 ft之間，需要采集更多的流量數(shù)據(jù)（如水頭差和閘門開(kāi)度較高）以進(jìn)一步完善模型。兩種方法估算的流量不確定度的比較如圖8所示。

圖8 各樣本點(diǎn)兩種方法對(duì)流量相對(duì)不確定性的比較

表5 FOV法和MCS法對(duì)流量相對(duì)不確定度的預(yù)測(cè)結(jié)果

表6 兩種方法中各參數(shù)平均敏感度分析

通過(guò)計(jì)算，F(xiàn)OV法和MCS法輸入?yún)?shù)對(duì)于流量不確定性的敏感度見(jiàn)表6中所示。結(jié)果顯示，兩種方法中流量系數(shù)Cd對(duì)流量不確定性的敏感性均最顯著，平均敏感度為64.94%和63.44%，而其它參數(shù)如L、n、B和H0，對(duì)流量不確定性的估算敏感性不顯著。

通過(guò)對(duì)兩種方法中各輸入系數(shù)對(duì)流量不確定性的敏感性研究，發(fā)現(xiàn)流量系數(shù)（Cd）和水頭差（△H）對(duì)流量不確定性的敏感性比其他參數(shù)顯著，是最顯著的兩個(gè)敏感性因素（FOV法：Cd+ΔH= 88.35%；MCS法：Cd+ΔH= 88.59%）。其中當(dāng)△H <0.2ft時(shí)，△H對(duì)模型不確定度的敏感度較大；而當(dāng)△H>0.2ft時(shí)，Cd對(duì)模型不確定度的敏感度較大。通過(guò)比較兩種方法，MCS因其減少對(duì)復(fù)雜或非線性模型分析工作，或在不了解各參數(shù)敏感性的情況下，提供了一種更切實(shí)可行的方法對(duì)流量方程進(jìn)行不確定度分析。

三、結(jié)論

本研究的目的是要分析涵洞滿管流流量公式中各參數(shù)的不確定性變化（所固有的誤差源）和參數(shù)敏感性對(duì)評(píng)估流量的影響。因此首先確定流量公式，并確定影響流量變化的參數(shù)誤差，以這些參數(shù)集為起點(diǎn)進(jìn)行模型的不確定性分析。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)有的滿管流條件下，流量公式和校正公式相對(duì)誤差小于5%，因此可以使用現(xiàn)有流量公式進(jìn)行不確定性分析。而不確定性分析通過(guò)使用一階方差的估算方法（FOV）和蒙特卡羅模擬（MCS）來(lái)計(jì)算。分析顯示，除了水頭差僅為0.08ft的一個(gè)樣本點(diǎn)外，幾乎所有計(jì)算流量的相對(duì)不確定性均位于10～15%之間。此外，隨著水頭差或閘門開(kāi)啟高度的增加，計(jì)算流量的相對(duì)不確定性將逐漸減小至4.5%；在所有七個(gè)輸入?yún)?shù)中，水頭差和流量系數(shù)對(duì)流量不確定性的敏感性最顯著，兩者的總敏感性達(dá)88.47%，兩種方法表現(xiàn)出了很好的一致性。然而，蒙特卡羅模擬方法因其減少對(duì)復(fù)雜或非線性模型分析工作，或在不了解各參數(shù)敏感性的情況下，提供了一種更切實(shí)可行的方法對(duì)流量方程進(jìn)行不確定度分析。

圖9 兩種方法中Cd和△H對(duì)流量不確定性敏感度疊加分析