線性代數(shù)課程教學(xué)體會(huì)點(diǎn)滴

楊二光，汪忠志

（安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 馬鞍山243002）

線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科各專業(yè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課，對(duì)各專業(yè)的后續(xù)課程學(xué)習(xí)起著決定性的作用。通過(guò)對(duì)該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生的抽象思維能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力都能得到較好的培養(yǎng)。但該課程具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性，多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感到課程枯燥乏味及內(nèi)容不連貫，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)習(xí)積極性不高，再加上學(xué)時(shí)少，內(nèi)容多等因素，造成多數(shù)高校線性代數(shù)課程的教學(xué)效果很不理想。因此，如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們盡快掌握線性代數(shù)這一學(xué)科的學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)習(xí)方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，進(jìn)而提高線性代數(shù)課程的教學(xué)效果，一直是線性代數(shù)教學(xué)工作者普遍關(guān)注的問(wèn)題。筆者嘗試從線性代數(shù)教學(xué)中存在的問(wèn)題入手，給出解決這些問(wèn)題的一些對(duì)策。

一、如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

一是從具體到抽象。線性代數(shù)的內(nèi)容比較抽象，尤其是相關(guān)概念方面。在剛開(kāi)始的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的難點(diǎn)主要集中在概念過(guò)于抽象，難以理解，這是導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高的主要原因之一。但抽象源自于具體，了解了概念產(chǎn)生的具體背景能加深對(duì)概念的理解。因此引入相關(guān)概念時(shí)應(yīng)從概念產(chǎn)生的背景出發(fā)，由實(shí)例來(lái)導(dǎo)入概念，做到先具體后抽象，使學(xué)生先對(duì)概念有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。如在引入行列式的概念時(shí)，作為引例，先利用學(xué)生熟悉的消元法給出二元、三元線性方程組的解，然后由解的分母的表示形式自然地引入二階、三階行列式的概念；再通過(guò)對(duì)二、三階行列式所表示的代數(shù)和的特點(diǎn)的分析，自然地引入n階行列式的概念。再如，在講述向量空間的概念時(shí)，可先將學(xué)生熟知的平面向量、空間向量的代數(shù)表示形式、運(yùn)算及滿足的運(yùn)算律推廣到n維向量上去，再由n維向量的運(yùn)算及滿足的運(yùn)算律自然抽象出一般向量空間的概念。

二是注重應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。目前，一些高校均存在課堂教學(xué)與應(yīng)用脫節(jié)的現(xiàn)象。由于各種原因，多數(shù)教師在線性代數(shù)課程的教學(xué)中只強(qiáng)調(diào)理論教學(xué)而忽視了理論知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，導(dǎo)致學(xué)生不了解所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用背景，從而缺乏學(xué)習(xí)積極性。針對(duì)這一現(xiàn)象，教師若能在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)穿插一些線性代數(shù)相關(guān)知識(shí)在生產(chǎn)及生活中的應(yīng)用，一方面可以加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，另一方面還能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)生的求知欲。線性代數(shù)中用于解決實(shí)際問(wèn)題的相關(guān)內(nèi)容很多，例如在講述線性方程組理論在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用時(shí)可引入復(fù)雜化學(xué)方程式的配平問(wèn)題。學(xué)生在中學(xué)里所學(xué)化學(xué)方程式的配平方法主要有：觀察法、奇數(shù)配偶法、得失法、待定系數(shù)法等，其中待定系數(shù)法即為線性方程組理論在化學(xué)方程式的配平問(wèn)題中的應(yīng)用，但由于學(xué)生在中學(xué)里還沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)習(xí)線性方程組的解法，能用這一方法配平的化學(xué)方程式很少。學(xué)習(xí)了線性方程組的解法后，就能用這種方法去配平較為復(fù)雜的化學(xué)方程式。例如，考慮化學(xué)方程式C3H8＋O2→CO2＋H2O的配平問(wèn)題，設(shè)x1C3H8＋x2O2＝x3CO2＋x4H2O，得線性方程組

求解得其中一組解為x1＝1，x2＝5，x3＝3，x4＝4，從而得配平方程式為：C3H8＋5O2＝3CO2＋4H2O。

三是采取互動(dòng)式教學(xué)方式，促使學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。目前，為保證教學(xué)進(jìn)度，一些高校線性代數(shù)課程的教學(xué)均采取滿堂灌的教學(xué)方式，缺少與學(xué)生之間必要的互動(dòng)。線性代數(shù)課程的內(nèi)容的抽象性使得學(xué)生很難在短時(shí)間內(nèi)消化所學(xué)內(nèi)容，再加上學(xué)生的注意力很難一直集中在教學(xué)內(nèi)容上，這導(dǎo)致前面所學(xué)內(nèi)容還沒(méi)消化又要學(xué)習(xí)新的內(nèi)容，造成學(xué)生“坐暈車”的局面，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。為改變這一局面，可在每節(jié)課的中間出一道小的思考題讓學(xué)生用幾分鐘的時(shí)間獨(dú)立解決，這樣可以為學(xué)生留有獨(dú)立思考的余地及消化前面所學(xué)內(nèi)容的時(shí)間，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。

四是在教學(xué)過(guò)程中穿插一些與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史。例如在講述范德蒙行列式的時(shí)候，可以介紹一下法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙對(duì)代數(shù)學(xué)特別是對(duì)行列式理論的貢獻(xiàn)以及其后的一些數(shù)學(xué)家在行列式理論方面所做的工作等。這一舉措可以讓學(xué)生了解相關(guān)知識(shí)的來(lái)龍去脈，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，而且還能增加教學(xué)的生動(dòng)性，趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將部分學(xué)生分散的注意力重新吸引到教學(xué)內(nèi)容上來(lái)。

二、如何讓學(xué)生對(duì)課程形成整體認(rèn)識(shí)

目前，多數(shù)理工科高校的線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容基本相同，主要內(nèi)容包括：行列式、矩陣、n－維向量空間、線性方程組、特征值及特征向量、二次型等六大塊。對(duì)學(xué)生而言，由于以前沒(méi)有接觸過(guò)這門課程，因此分散的塊狀結(jié)構(gòu)使得學(xué)生普遍感到線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)較多，內(nèi)容不連貫。這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中突出教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，理清課程的的主線，使學(xué)生對(duì)課程有一個(gè)整體的把握。

線性代數(shù)看起來(lái)內(nèi)容較為松散，實(shí)際上是“形散而神不散”，如果仔細(xì)分析課程各部分內(nèi)容，線性方程組理論貫穿了課程的始終。如行列式、矩陣等概念的產(chǎn)生的背景都與線性方程組的解有關(guān)，反過(guò)來(lái)這些概念又為解線性方程組服務(wù)。此外，線性代數(shù)中很多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為對(duì)線性方程組的研究，如向量組的線性相關(guān)性與齊次線性方程組有無(wú)非零解有關(guān)：齊次線性方程組的向量表示形式為x1α1＋x2α2＋…＋xnαn＝0為方程組的系數(shù)矩陣的列向量，這樣，向量組α1，α2，…，αn是否線性相關(guān)歸結(jié)為是否存在一組不全為0的數(shù)k1，k2…，kn，使得k1α1＋k2α2＋…＋knαn＝0，即齊次線性方程組有無(wú)非零解。再如，數(shù)λ是否是方陣A的特征值歸結(jié)為齊次線性方程組（λI－A）x＝0有無(wú)非零解。由此看出，線性方程組理論在線性代數(shù)中起著舉足輕重的作用，它把行列式、矩陣、向量等知識(shí)點(diǎn)緊密聯(lián)系起來(lái)，是課程的主線。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中只要把握住這條主線，學(xué)習(xí)起來(lái)就不會(huì)感到毫無(wú)頭緒了。因此教師在線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)牢牢把握線性方程組理論這條主線，將線性方程組理論貫穿于整個(gè)線性代數(shù)課程的教學(xué)過(guò)程中去，從而使學(xué)生對(duì)課程有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)與把握。

三、如何解決學(xué)時(shí)數(shù)偏少的問(wèn)題

目前，多數(shù)高校線性代數(shù)課程的總學(xué)時(shí)為32學(xué)時(shí)，而要講授的內(nèi)容包括行列式、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量等，相對(duì)教學(xué)內(nèi)容來(lái)說(shuō)，學(xué)時(shí)數(shù)偏少。解決這一矛盾的直接方法是壓縮教學(xué)內(nèi)容或增加學(xué)時(shí)，但為了確保教學(xué)質(zhì)量，多數(shù)高校均要求在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求上都不能降低，而且根據(jù)教學(xué)大綱的要求，增加學(xué)時(shí)也不現(xiàn)實(shí)，因此，解決這一矛盾只有用間接的方法。

一是積極引導(dǎo)學(xué)生做好課前預(yù)習(xí)。教師可以在當(dāng)次課程結(jié)束時(shí)告訴學(xué)生下次課程要學(xué)習(xí)的大致內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生在預(yù)習(xí)的時(shí)候把一些簡(jiǎn)單的內(nèi)容先消化掉，對(duì)難以理解的內(nèi)容在課堂上著重去聽(tīng)。這樣，可以使學(xué)生帶著問(wèn)題聽(tīng)課，使聽(tīng)課更具有目的性，從而提高課堂效率。這一做法還可以培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，提高自學(xué)能力，為將來(lái)獨(dú)立研究問(wèn)題打下基礎(chǔ)。

二是合理使用多媒體教學(xué)手段。目前，人們對(duì)多媒體教學(xué)有“優(yōu)點(diǎn)論”及“缺點(diǎn)論”兩種不同的觀點(diǎn)。前一觀點(diǎn)認(rèn)為多媒體教學(xué)可以增加教學(xué)容量，節(jié)省教師講課的時(shí)間，提高教學(xué)效率；可以彌補(bǔ)教師自身不足，完善課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)；可以將抽象的問(wèn)題直觀化，提高學(xué)生的思維能力。后一觀點(diǎn)則認(rèn)為多媒體教學(xué)節(jié)奏太快，學(xué)生無(wú)法跟上教學(xué)進(jìn)度；無(wú)法體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用及學(xué)生的主體地位等。上述兩種說(shuō)法各有道理。

對(duì)線性代數(shù)課程來(lái)說(shuō)，在板書與行列式、矩陣、線性方程組等有關(guān)的內(nèi)容時(shí)要占用大量時(shí)間，因此在學(xué)時(shí)數(shù)較少的情況下，單純依靠傳統(tǒng)板書教學(xué)方式很難按時(shí)完成教學(xué)任務(wù)。要解決這一矛盾，必須使多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)方式實(shí)現(xiàn)有機(jī)結(jié)合，比如在矩陣、線性方程組等章節(jié)采用多媒體教學(xué)，而對(duì)邏輯性強(qiáng)、推理嚴(yán)格的內(nèi)容則由板書來(lái)完成。這樣才能做到既節(jié)約了時(shí)間，又保證了教學(xué)質(zhì)量。

以上是筆者在線性代數(shù)教學(xué)中的一些體會(huì)與思考。當(dāng)然，在線性代數(shù)的教學(xué)中還存在其它的一些問(wèn)題，比如，如何針對(duì)不同的專業(yè)搞好線性代數(shù)的教學(xué)，這些問(wèn)題有待于在以后的教學(xué)實(shí)踐中加以解決。

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