子彈藥落點(diǎn)散布隨機(jī)模擬方法

居仙春，錢建平，季溢棟，雷 偉

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

研究子母彈的落點(diǎn)是進(jìn)行該武器效能評(píng)估的基礎(chǔ)。目前，研究子母彈落點(diǎn)散布的方法主要有數(shù)值模擬法和統(tǒng)計(jì)模擬法。數(shù)值模擬法指根據(jù)子彈的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和運(yùn)動(dòng)原理，建立子彈彈道動(dòng)力學(xué)模型，從而模擬子彈的落點(diǎn)散布，如文獻(xiàn)［1-4］;統(tǒng)計(jì)模擬法是根據(jù)子彈的實(shí)際落點(diǎn)情況從數(shù)學(xué)的角度建立子彈的落點(diǎn)抽樣模型，如文獻(xiàn)［5］。統(tǒng)計(jì)模擬法雖能模擬出具有各種隨機(jī)分布特性的落點(diǎn)分布形態(tài)，但由于沒有考慮子彈的飛行彈道，因此和子彈實(shí)際落點(diǎn)分布差別較大;而數(shù)值模擬法雖然考慮了子彈的飛行彈道，但沒有考慮隨機(jī)因素的影響。因此，模擬出的子彈落點(diǎn)往往不具有隨機(jī)性。

本文針對(duì)后拋式子母彈，將兩種方法結(jié)合，提出了一種隨機(jī)模擬方法，即根據(jù)子彈的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立子彈拋撒彈道模型，在彈道模型中引入各種隨機(jī)因素的影響，并利用蒙特卡羅法進(jìn)行求解，獲得了具有中心毀傷盲區(qū)的子彈落點(diǎn)分布。

1 子彈拋撒彈道模型

1.1 基本假設(shè)

子彈拋出后僅受重力和空氣阻力的作用，飛行過程中不受隨機(jī)因素的干擾，其運(yùn)動(dòng)視為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng);子彈和母彈速度方向始終與母彈彈軸方向重合，即為零攻角飛行，且始終在母彈彈體縱平面內(nèi)運(yùn)動(dòng);母彈為右旋彈，拋射過程中不考慮轉(zhuǎn)速的衰減;由于子彈的高度遠(yuǎn)小于拋射高度h，因此認(rèn)為所有子彈都由o 點(diǎn)拋出;不考慮橫風(fēng)和縱風(fēng)的影響，氣象條件符合炮兵標(biāo)準(zhǔn)氣象條件。

1.2 坐標(biāo)系的建立

為了便于描述子彈的運(yùn)動(dòng)，建立如圖1 所示的空間直角坐標(biāo)系。原點(diǎn)o 為拋撒時(shí)刻母彈的質(zhì)心位置，坐標(biāo)系o-x1y1z1為平動(dòng)坐標(biāo)系，o-x1y1平面始終與母彈彈體縱平面重合，ox1軸平行于水平面，指向射擊方向;oy1軸垂直于地面，向上為正;oz1軸垂直于o-x1y1平面，其方向按右手定則確定。o- x2y2z2為拋撒坐標(biāo)系，其原點(diǎn)與平動(dòng)坐標(biāo)系o-x1y1z1的原點(diǎn)重合，該坐標(biāo)系由平動(dòng)坐標(biāo)系繞oz1軸旋轉(zhuǎn)θ 角得到，順時(shí)針為正，θ 角亦為彈道傾角。vA為母彈拋撒賦予子彈軸向上的牽連速度，即子彈的初速;vω為母彈旋轉(zhuǎn)賦予子彈切向上的牽連速度，方向垂直于母彈彈軸。

圖1 拋撒彈道坐標(biāo)系

1.3 初始參數(shù)的確定

根據(jù)假設(shè)，子彈在o 點(diǎn)被拋出后，將沿著理想彈道飛行，其初始速度矢量主要由兩部分組成:母彈拋撒賦予子彈軸向上的牽連速度和母彈旋轉(zhuǎn)賦予子彈切向上的牽連速度，由矢量加法定理得

設(shè)I1= (ix1，iy1，iz1)T、I2= (ix2，iy2，iz2)T分別為坐標(biāo)系o-x1y1z1和o-x2y2z2的坐標(biāo)基，則由圖1 可得

子彈在母彈中的排布情況如圖2 所示，由于母彈為右旋彈，因此從母彈前端看，為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。φi為各子彈中心和母彈中心的連線與y2軸正向的夾角(逆時(shí)針方向?yàn)檎?，即各子彈中心在母彈圓周方向上的方位角，ω 為母彈轉(zhuǎn)速，r 為子彈質(zhì)心到母彈彈軸的距離。

圖2 子彈排布示意圖

以y2軸正方向?yàn)槠瘘c(diǎn)，按逆時(shí)針方向?qū)ψ訌椷M(jìn)行編號(hào)，質(zhì)心在y2軸左邊的第1 枚子彈為1 號(hào)，依次為2，3，…，n(n為1 圈子彈的個(gè)數(shù))，與其對(duì)應(yīng)的方位角依次為φ1，φ2，…，φn，則第i 號(hào)子彈的方位角為

則由圖2 可得:

將式(2)和式(5)代入式(1)得

又設(shè)拋撒坐標(biāo)系到平動(dòng)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為A，即I2=AI1，其中

再次，在豬傳染性胸膜肺炎發(fā)病的初期，可以適當(dāng)實(shí)行群體給藥。在該疫病的發(fā)病初期，生豬的病情尚且處于可控狀態(tài)，因此應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格堅(jiān)持將專家所配置的藥物混入飼料中，讓整體豬群共同食用，以便增加豬群機(jī)體的抵抗力，避免病情加重甚至產(chǎn)生擴(kuò)散的趨勢(shì)，也有助于病豬的及早康復(fù)。

1.4 子彈運(yùn)動(dòng)方程［1］

由質(zhì)點(diǎn)外彈道學(xué)可知，空氣阻力隨高度變化的關(guān)系式為

式中:R 為空氣阻力;i 為彈形系數(shù);Cx(Ma)是標(biāo)準(zhǔn)彈的阻力系數(shù);S 是子彈的橫截面積;ρon是地面的空氣密度，其值是1.206 kg/m3;v 是子彈的速度;y 是子彈所處高度。

因此，得到子彈運(yùn)動(dòng)方程為

式(10)中:vx、vy、vz分別為子彈的速度在x1、y1、z1軸上的分量;m 為子彈質(zhì)量;g 為重力加速度。初始條件為式(8)和x0=z0=0，y0=h，t0=0，終止條件為y=0。

2 子彈落點(diǎn)散布擬合模型

2.1 子彈落點(diǎn)散布中心計(jì)算

設(shè)子彈的落點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，z1)，(x2，z2)，…，(xn，zn)(n 為子彈總數(shù))，則落點(diǎn)散布中心坐標(biāo)為

2.2 子彈落點(diǎn)散布計(jì)算

根據(jù)子母彈彈道特性，當(dāng)子彈落點(diǎn)散布為橢圓時(shí)的橢圓方程為

令:

則式(12)變?yōu)?/p>

設(shè):

根據(jù)最小二乘法有:

所以橢圓的長(zhǎng)、短半軸分別為

3 子彈落點(diǎn)散布影響因素分析

以某模擬子母彈為例，內(nèi)裝30 枚子彈，為單圈多段式排列，每圈排列6 枚子彈。子彈直徑為40 mm，質(zhì)量為0.71 kg，分布半徑r=45 mm，阻力系數(shù)Cx=0.38，彈形系數(shù)i =1.05，彈道傾角θ =60°，母彈角速度ω =860 rad/s，拋撒高度h =700 m。

實(shí)際中影響子彈落點(diǎn)的因素有很多，諸如彈道傾角、拋撒高度、母彈角速度等，為了便于采用蒙特卡洛法求解子彈運(yùn)動(dòng)方程組，須對(duì)這些隨機(jī)因素進(jìn)行分析，找出影響子彈落點(diǎn)散布最大的幾個(gè)因素，按隨機(jī)變量處理，而對(duì)其余因素則全部按固定參數(shù)處理?，F(xiàn)取其中一圈子彈進(jìn)行分析，子彈軸向初速vA=300 m/s，分析各量變化±10%時(shí)對(duì)其分布橢圓長(zhǎng)短半軸的影響［6］，其計(jì)算結(jié)果如圖3 ～圖6 所示。

圖3 彈道傾角對(duì)長(zhǎng)短半軸的影響

由圖3 可以看出，子彈落點(diǎn)散布長(zhǎng)短半軸隨著彈道傾角的增加而減小，并且長(zhǎng)短半軸之比呈減小趨勢(shì)，即子彈落點(diǎn)趨近于一個(gè)圓。由圖4 可以看出，子彈落點(diǎn)散布長(zhǎng)短半軸隨著母彈轉(zhuǎn)速的增加而增加，并且母彈轉(zhuǎn)速對(duì)散布橢圓長(zhǎng)短半軸之比基本沒有影響。由圖5 可以看出，子彈落點(diǎn)散布長(zhǎng)短半軸隨著拋撒高度的增加而增加，并且拋撒高度對(duì)散布橢圓長(zhǎng)短半軸之比基本沒有影響。由圖6 可以看出，子彈質(zhì)量的變化對(duì)子彈落點(diǎn)散布長(zhǎng)短半軸及兩者之比幾乎沒有影響。

圖4 母彈轉(zhuǎn)速對(duì)長(zhǎng)短半軸的影響

圖5 拋撒高度對(duì)長(zhǎng)短半軸的影響

圖6 子彈質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)短半軸的影響

4 落點(diǎn)散布隨機(jī)模擬模型

根據(jù)前面的分析可知，影響子彈落點(diǎn)散布的因素主要有彈道傾角、母彈轉(zhuǎn)速和拋撒高度這3 個(gè)因素。因此，取這3個(gè)因素為隨機(jī)變量，并假定這些量在其誤差范圍內(nèi)均服從正態(tài)分布，即:彈道傾角θ 在θ0±Δθ 范圍內(nèi)服從以θ0為期望的正態(tài)分布，即θ ～N(θ0);母彈轉(zhuǎn)速ω 在ω0±Δω 范圍內(nèi)服從以ω0為期望的正態(tài)分布，即ω ～N(ω0);拋撒高度h 在h0±Δh 范圍內(nèi)服從以h0為期望的正態(tài)分布，即h ～N(h0)。

此外，子彈在母彈圓周方向上的初始方位角φ1直接影響著其在散布橢圓圓周方向上的位置。因此，假定φ1在其取值范圍內(nèi)服從均勻分布，即φ1～U(0，2π/n)。

根據(jù)內(nèi)彈道理論可以獲得母彈內(nèi)各層子彈出倉后的軸向初速vA，然后采用Monte Carlo 方法求解式(10)，即利用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器分別產(chǎn)生符合各隨機(jī)變量實(shí)際分布的相關(guān)參數(shù)，代入方程組(10)進(jìn)行求解，得到子彈的落點(diǎn)分布如圖7(a)所示，圖7(b)為利用經(jīng)典外彈道模型得到的結(jié)果。

由圖7 可以看出，利用隨機(jī)模擬法獲得的子彈落點(diǎn)仿真結(jié)果明顯優(yōu)于經(jīng)典彈道模型的仿真結(jié)果。

圖7 子彈落點(diǎn)散布示意圖

5 結(jié)束語

子母彈拋撒出的子彈落在地面并非實(shí)實(shí)在在的一個(gè)圓，而是一個(gè)橢圓，并且中心區(qū)域存在毀傷盲區(qū)，本文的研究也證實(shí)了這一點(diǎn)。本文得到的子彈落點(diǎn)散布情況與實(shí)際拋撒情況更為一致，為子彈藥的效能分析奠定了基礎(chǔ)，本文建立的子彈拋撒隨機(jī)外彈道模型為火力運(yùn)用方案擬制和作戰(zhàn)決策提供了依據(jù)，通過調(diào)整參數(shù)可以滿足不同的作戰(zhàn)需求。

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