通過(guò)案例的構(gòu)建自然地體現(xiàn)計(jì)算思維

金瑩　張潔

摘要：隨著計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教學(xué)改革的不斷深入，在計(jì)算機(jī)教育中培養(yǎng)計(jì)算思維能力已成為各方共識(shí)。文章認(rèn)為構(gòu)造計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課程內(nèi)容時(shí)，應(yīng)自然地引入計(jì)算思維的概念，通過(guò)一系列案例將計(jì)算思維要素潛移默化地體現(xiàn)出來(lái)，以實(shí)踐計(jì)算思維能力，提出通過(guò)教與學(xué)的互動(dòng)和學(xué)生的自我學(xué)習(xí)與探索，將其內(nèi)化為一種思維習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：計(jì)算思維；計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教學(xué)；案例；算法

1 背景

計(jì)算思維（Computational Thinking）是近幾年計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教育界的熱門(mén)研究領(lǐng)域。2006年，周以真教授全面定義和闡述了計(jì)算思維。她認(rèn)為，計(jì)算思維就是運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)概念進(jìn)行問(wèn)題求解、系統(tǒng)設(shè)計(jì)以及人類(lèi)行為理解的涵蓋計(jì)算機(jī)科學(xué)之廣度的一系列思維活動(dòng)。隨后陳國(guó)良院士將其引入國(guó)內(nèi)，引起各界的廣泛共鳴，為高校乃至各層次的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教學(xué)改革提供了思路。目前，計(jì)算思維能力的培養(yǎng)已成為高校計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教學(xué)界公認(rèn)的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教學(xué)改革的方向，然而，計(jì)算思維并非新鮮事物，它早已有之，并隨著計(jì)算工具的發(fā)展而發(fā)展，只不過(guò)周以真教授將其清晰化和系統(tǒng)化。以往的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課程的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動(dòng)中很多地方都體現(xiàn)著計(jì)算思維，現(xiàn)在需要我們把它更加科學(xué)化、顯性化地表現(xiàn)出來(lái)，并且更有目的地進(jìn)行培養(yǎng)。2012年教育部高等學(xué)校計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)舉辦召開(kāi)的第一屆計(jì)算思維與大學(xué)計(jì)算機(jī)課程教學(xué)改革研討會(huì)上，專(zhuān)家提出將“普及計(jì)算機(jī)文化、培養(yǎng)專(zhuān)業(yè)應(yīng)用能力、訓(xùn)練計(jì)算思維能力”作為大學(xué)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課程教學(xué)的總體目標(biāo)要求。

2012年11月，經(jīng)教育部高等教育司批準(zhǔn)，教育部高等學(xué)校計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)與文科計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)啟動(dòng)大學(xué)計(jì)算機(jī)課程改革項(xiàng)目，自此之后，關(guān)于計(jì)算思維的研究如火如荼，有不少成果問(wèn)世，這使計(jì)算思維理論體系得以逐步完善。計(jì)算思維是一種解決問(wèn)題的方法體系，可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化，也可以轉(zhuǎn)換到跨學(xué)科的應(yīng)用中；它通過(guò)一個(gè)個(gè)要素形成其框架體系。典型的計(jì)算思維包括一系列廣泛的計(jì)算機(jī)科學(xué)的思維方法，如遞歸、抽象和分解、保護(hù)、冗余、容錯(cuò)、糾錯(cuò)和恢復(fù)等，這些要素不是枯燥而抽象的純粹理論表述，它們完全可以自然而然地通過(guò)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課程中所涉及的各種知識(shí)點(diǎn)和案例進(jìn)行更加有效的表達(dá)。例如，通過(guò)窮舉法、回溯法、遞歸、分治法、貪心法等經(jīng)典的算法設(shè)計(jì)體現(xiàn)計(jì)算思維中的幾種經(jīng)典思維，將這些經(jīng)典算法和學(xué)生所熟知的排序問(wèn)題、漢諾塔問(wèn)題、國(guó)王的婚姻、背包問(wèn)題等相結(jié)合，通過(guò)對(duì)這些具體問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)到如何選擇合適的方法陳述問(wèn)題，如何對(duì)一個(gè)問(wèn)題或問(wèn)題的相關(guān)方面進(jìn)行建模，并考慮如何使其易于計(jì)算機(jī)處理。

2 計(jì)算思維概念的自然引入

人類(lèi)通過(guò)思考自身的計(jì)算方式，研究是否能由外部機(jī)器模擬，代替我們實(shí)現(xiàn)計(jì)算的過(guò)程，從而誕生了計(jì)算工具，并且在不斷的科技進(jìn)步和發(fā)展中發(fā)明了現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)。在此思想的指引下，還產(chǎn)生了人工智能，用外部機(jī)器模仿和實(shí)現(xiàn)我們?nèi)祟?lèi)的智能活動(dòng)。隨著計(jì)算機(jī)的日益“強(qiáng)大”，它在很多應(yīng)用領(lǐng)域中所表現(xiàn)出的智能也日益突出，成為人腦的延伸。與此同時(shí)，人類(lèi)所制造出的計(jì)算機(jī)在不斷強(qiáng)大和普及的過(guò)程中，反過(guò)來(lái)對(duì)人類(lèi)的學(xué)習(xí)、工作和生活都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，同時(shí)也大大增強(qiáng)了人類(lèi)的思維能力和認(rèn)識(shí)能力，這一點(diǎn)對(duì)于身處當(dāng)下的人類(lèi)而言都深有體會(huì)。早在1972年，圖靈獎(jiǎng)得主Edsger Dii.kstra就曾說(shuō)：“我們所使用的工具影響著我們的思維方式和思維習(xí)慣，從而也深刻地影響著我們的思維能力”，這就是著名的“工具影響思維”的論點(diǎn)。計(jì)算思維就是相關(guān)學(xué)者在審視計(jì)算機(jī)科學(xué)所蘊(yùn)含的思想和方法時(shí)被挖掘出來(lái)的，成為與理論思維、實(shí)驗(yàn)思維并肩的3種科學(xué)思維之一。計(jì)算思維是計(jì)算時(shí)代的產(chǎn)物，應(yīng)當(dāng)成為這個(gè)時(shí)代中每個(gè)人都具備的一種基本能力。

由此可見(jiàn)，在介紹計(jì)算機(jī)的誕生與發(fā)展時(shí)，自然地提及計(jì)算思維的基本思想，進(jìn)而再較為詳細(xì)地介紹計(jì)算思維的相關(guān)概念和內(nèi)涵，更容易被學(xué)生接受，并且在后續(xù)學(xué)習(xí)中主動(dòng)而有意識(shí)地加強(qiáng)相關(guān)能力的培養(yǎng)。

3 計(jì)算思維要素的自然體現(xiàn)

算法和數(shù)論中很多內(nèi)容涉及計(jì)算與計(jì)算思維，如遞歸就是一種典型的計(jì)算思維。遞歸的案例很多，可以從德羅斯特效應(yīng)（Droste effect）說(shuō)起，用一張圖（如圖1）就能很好地說(shuō)明什么是德羅斯特效應(yīng)，然后解釋德羅斯特效應(yīng)與遞歸的關(guān)系，因?yàn)樗⒎菄?yán)格意義上的遞歸，讓學(xué)生從感性的角度對(duì)遞歸有一個(gè)認(rèn)識(shí)。再如電影盜夢(mèng)空間，從現(xiàn)實(shí)走入一層又一層有意構(gòu)建的夢(mèng)境，而后又克服重重困難走出層層夢(mèng)境回歸現(xiàn)實(shí)，這部電影充斥著典型的遞歸思想，通過(guò)這種學(xué)生感興趣或者采用當(dāng)前熱門(mén)的話題來(lái)介紹遞歸概念的方式，可以顯著提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。

下面我們通過(guò)與計(jì)算相關(guān)的案例進(jìn)一步介紹遞歸，例如漢諾塔問(wèn)題（Tower of Hanoi），這是目前在介紹遞歸的書(shū)中用的非常多的一個(gè)案例，它不僅是一個(gè)遞歸問(wèn)題，而且通過(guò)計(jì)算我們不難發(fā)現(xiàn)，移動(dòng)金片的次數(shù)，f（n）與寶石針上的金片個(gè)數(shù)n之間的關(guān)系是為：

f（n）=2n-1

因此當(dāng)n=64時(shí)，f（n）的值將高達(dá)18，446，744，073，709，551，615，按移動(dòng)一次花費(fèi)1s計(jì)算，需要約5 845億年才能完成，這樣的問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)中幾乎是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，但我們可以借用計(jì)算機(jī)的超高速，在計(jì)算機(jī)中模擬實(shí)現(xiàn)。由此可見(jiàn)，借助現(xiàn)代計(jì)算機(jī)超強(qiáng)的計(jì)算能力，有效地利用計(jì)算思維，就能解決之前人類(lèi)望而卻步的很多大規(guī)模計(jì)算問(wèn)題。

相對(duì)于漢諾塔問(wèn)題，斐波那契數(shù)列（Fibonacci Sequence）是更為簡(jiǎn)單、典型且易于接受的遞歸問(wèn)題。斐波那契數(shù)列又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21……，即后一個(gè)數(shù)字是前兩個(gè)數(shù)字之和，在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列直接被以遞歸的方法定義：

f（0）=0

f（1）=1

f（n）=f（n-1）+f（n-2）（n>=2，n∈N^*）endprint

這個(gè)級(jí)數(shù)與大自然植物的關(guān)系極為密切，幾乎所有花朵的花瓣數(shù)都來(lái)自這個(gè)級(jí)數(shù)中的一項(xiàng)數(shù)字。例如，菠蘿表皮方塊形鱗苞形成兩組旋向相反的螺線，他們的條數(shù)必須是這個(gè)級(jí)數(shù)中緊鄰的兩個(gè)數(shù)字（如左旋8行，右旋13行），又如向日葵花盤(pán)（見(jiàn)圖2）。它形成了一種自然規(guī)律，現(xiàn)在人們也將其應(yīng)用于股票、期貨技術(shù)分析中，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域也都有直接的應(yīng)用，為此，美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)從1960年代起出版了Fibonacci Sequence季刊，專(zhuān)門(mén)刊載這方面的研究成果。有趣的是，隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越來(lái)越逼近黃金分割的數(shù)值0.618 033 988 7，這個(gè)數(shù)值的作用不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫(huà)、雕塑、音樂(lè)、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設(shè)計(jì)等方面也有著不可忽視的作用，另外在取石子的博弈游戲中按此規(guī)律必能獲勝。利用這種規(guī)律，我們可以用計(jì)算機(jī)模擬自然、創(chuàng)建人機(jī)對(duì)戰(zhàn)的博弈游戲，以及對(duì)金融走勢(shì)的分析等。

此外，計(jì)算機(jī)中文件夾的復(fù)制也是一個(gè)遞歸問(wèn)題，因?yàn)槲募A是多層次性的，需要讀取每一層子文件夾中的文件進(jìn)行復(fù)制。掃雷游戲中也有遞歸問(wèn)題，當(dāng)鼠標(biāo)單擊到四周沒(méi)有雷的點(diǎn)時(shí)往往會(huì)打開(kāi)一片區(qū)域，因?yàn)樵诖蜷_(kāi)沒(méi)有雷的四周區(qū)域時(shí)，如果其中打開(kāi)的某一點(diǎn)其四周也沒(méi)有雷，那么它的四周也會(huì)被打開(kāi)，以此類(lèi)推，就能打開(kāi)一片區(qū)域。這些問(wèn)題用遞歸方法實(shí)現(xiàn)既清晰易懂，還能通過(guò)較為簡(jiǎn)單的程序代碼實(shí)現(xiàn)。

計(jì)算思維的要素還有很多，以上我們以遞歸為例介紹了如何通過(guò)學(xué)生喜歡并易于接受的案例將遞歸的概念、思維方法顯現(xiàn)出來(lái)，并應(yīng)用于各種現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用和問(wèn)題解決中。根據(jù)計(jì)算思維的要素構(gòu)造案例時(shí)，最好能夠構(gòu)造出3種不同層次的案例（見(jiàn)圖3），驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思考并領(lǐng)會(huì)計(jì)算思維。這3個(gè)層次包括簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題案例、與

通過(guò)案例的驅(qū)動(dòng)、問(wèn)題的解析，在強(qiáng)化計(jì)算思維要素的同時(shí)，也經(jīng)由3種不同層次案例的遞進(jìn)關(guān)系逐步深化對(duì)學(xué)生計(jì)算思維能力的培養(yǎng)。

4 程序設(shè)計(jì)與計(jì)算思維

計(jì)算思維也可以體現(xiàn)在程序設(shè)計(jì)中，如經(jīng)典的證比求易算法——“國(guó)王的婚姻”。這是一個(gè)很有意思的故事：一個(gè)酷愛(ài)數(shù)學(xué)的年輕國(guó)王向鄰國(guó)一位聰明美麗的公主求婚，公主出了這樣一道題：求出48，770，428，433，377，171的一個(gè)真因子。若國(guó)王能在一天之內(nèi)求出答案，公主便接受他的求婚。國(guó)王回去后立即開(kāi)始逐個(gè)數(shù)地進(jìn)行計(jì)算，他從早到晚共算了3萬(wàn)多個(gè)數(shù)，最終還是沒(méi)有結(jié)果。國(guó)王向公主求情，公主告知223，092，827是其中的一個(gè)真因子，并說(shuō)，我再給你一次機(jī)會(huì)，如果還求不出將來(lái)，你只好做我的證婚人了。國(guó)王立即回國(guó)并向時(shí)任宰相的大數(shù)學(xué)家求教，大數(shù)學(xué)家在仔細(xì)地思考后認(rèn)為，這個(gè)數(shù)為17位則最小的一個(gè)真因子不會(huì)超過(guò)9位。于是他給國(guó)王出了一個(gè)主意，按自然數(shù)的順序給全國(guó)的老百姓每人編一個(gè)號(hào)發(fā)下去，等公主給出數(shù)目后立即將它們通報(bào)全國(guó)，讓每個(gè)老百姓用自己的編號(hào)去除這個(gè)數(shù)，除盡了立即上報(bào)賞金萬(wàn)兩。最后國(guó)王用這個(gè)辦法求婚成功。實(shí)際上這是一個(gè)求大數(shù)真因子的問(wèn)題，由于數(shù)字很大，國(guó)王一個(gè)人采用順序算法求解，其時(shí)間消耗非常大。當(dāng)然，如果國(guó)王生活在擁有超高速計(jì)算能力的計(jì)算機(jī)的現(xiàn)在，這個(gè)問(wèn)題就不是什么難題了，而在當(dāng)時(shí)，國(guó)王只有通過(guò)將可能的數(shù)字分發(fā)給百姓，才能在有限的時(shí)間內(nèi)求取結(jié)果。該方法增加了空間復(fù)雜度，但大大降低了時(shí)間的消耗，這就是非常典型的分治法，將復(fù)雜的問(wèn)題分而治之，這也是我們面臨很多復(fù)雜問(wèn)題時(shí)經(jīng)常會(huì)采用的解決方法，這種方法也可作為并行的思想看待，而這種思想在計(jì)算機(jī)中的應(yīng)用比比皆是，如現(xiàn)在CPU的發(fā)展就是如此。同樣，計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教學(xué)在介紹各個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，往往也是由簡(jiǎn)人難、不斷深入的，隨著問(wèn)題復(fù)雜度的逐步提升，需要讓學(xué)生掌握如何采用抽象和分解來(lái)控制龐雜的任務(wù)或進(jìn)行巨大復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì)的方法。這些思想方法和思維能力是一通百通的，也是如今計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教學(xué)中真正希望學(xué)生能夠掌握的。

在日常的教學(xué)過(guò)程中，介紹這些經(jīng)典的算法后，需要通過(guò)一種具體的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言將算法轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)可以執(zhí)行的程序，了解如何將具體問(wèn)題抽象化后由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的過(guò)程，并從程序的執(zhí)行效率中讓學(xué)生感性地判斷出算法的好壞，從而對(duì)各種算法進(jìn)行評(píng)價(jià)分析，體現(xiàn)出在時(shí)間和空間之間，在計(jì)算機(jī)處理能力和存儲(chǔ)容量之間需要進(jìn)行折衷的思維方法。當(dāng)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教育界在熱議計(jì)算思維的同時(shí)，“Machine Thinking”在管理學(xué)界也成為時(shí)下最流行的詞匯之一，他們認(rèn)為編程特別是其思想正在成為數(shù)字時(shí)代的一項(xiàng)基本技能，對(duì)新時(shí)代的知識(shí)工作者而言，編程早已不是程序員的必修課，而是營(yíng)銷(xiāo)人員、業(yè)務(wù)人員甚至CEO的必修課，一些必要的編程知識(shí)成為更好地理解新技術(shù)、新服務(wù)和新商業(yè)模式的第3只眼睛。因此，對(duì)于各種專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，無(wú)論文理，都應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)一些基本的算法和程序設(shè)計(jì)，雖然很多非計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生將來(lái)可能很少進(jìn)行程序設(shè)計(jì)和系統(tǒng)構(gòu)建這樣直接應(yīng)用計(jì)算科學(xué)的實(shí)踐，但是在其接觸到的信息技術(shù)中，計(jì)算科學(xué)的應(yīng)用和計(jì)算思維的體現(xiàn)無(wú)處不在，而且由于計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，可以在不同的邏輯層次進(jìn)行定制與開(kāi)發(fā)，這也為非計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)學(xué)生進(jìn)行計(jì)算思維培養(yǎng)相關(guān)的實(shí)踐活動(dòng)提供了可能性。對(duì)于理工科學(xué)生可以學(xué)習(xí)C、Visual Basic、Visual C++、Java、c≠}、Fortran、Python等高級(jí)程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言，而對(duì)于文科專(zhuān)業(yè)學(xué)生可以選擇學(xué)習(xí)的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言也很多，例如可以選擇文科專(zhuān)業(yè)需要掌握的某項(xiàng)技能軟件之上的二次開(kāi)發(fā)，例如在EXCEL、WORD中的宏編程（Visual Basic Application），或者網(wǎng)頁(yè)開(kāi)發(fā)中的腳本語(yǔ)言VB Script或JavaScript等。而且隨著程序語(yǔ)言向自然語(yǔ)言編程方向的不斷發(fā)展，還可以選用起點(diǎn)很低的完全可視化編程語(yǔ)言，如RAPTOR（the Rapid AlgorithmicPrototyping Tool for Ordered Reasoning）、MIT開(kāi)發(fā)的Scratch、Google開(kāi)發(fā)的Blockly等，這些可視化編程語(yǔ)言和環(huán)境可通過(guò)簡(jiǎn)單直觀的圖譜結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)編程，通過(guò)它們?cè)O(shè)計(jì)的程序和算法亦可直接轉(zhuǎn)換成為c++、c#、Java等高級(jí)程序語(yǔ)言，為程序和算法設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)課程提供教學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境。程序設(shè)計(jì)課程應(yīng)當(dāng)從復(fù)雜的語(yǔ)法規(guī)則中解放出來(lái)，將內(nèi)容重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到問(wèn)題的抽象，算法的構(gòu)造，程序的實(shí)現(xiàn)和評(píng)價(jià)等知識(shí)上，讓學(xué)生不僅能掌握一門(mén)算法語(yǔ)言，更重要的是可以加深他們對(duì)相關(guān)軟件實(shí)現(xiàn)的理解，從而進(jìn)一步理解計(jì)算科學(xué)的本質(zhì)——抽象和自動(dòng)化。endprint

5 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課程內(nèi)容中，通過(guò)典型案例的構(gòu)建，完全能夠潛移默化地將計(jì)算思維的思想融入其中，在教與學(xué)的互動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)學(xué)生的自我學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟，使其最終能沉淀于學(xué)生的腦海里，內(nèi)化為一種思維習(xí)慣，真正實(shí)現(xiàn)將計(jì)算思維能力與“讀、寫(xiě)、算”（Read、Write acomposition、Arithmetic，簡(jiǎn)稱(chēng)3R）能力一樣的一種基本能力，并能在學(xué)生自身的專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)中，通過(guò)這種能力和思維方式，分析并解決各種專(zhuān)業(yè)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題；同時(shí)還能在所從事的研究領(lǐng)域內(nèi)也注重其學(xué)科本身所蘊(yùn)含的思想與方法，實(shí)現(xiàn)方法的互通與思想的交融。當(dāng)然，值得警惕的是，在我們以計(jì)算思維為切入點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教學(xué)改革，沖破原有“狹隘工具論”的同時(shí)，仍應(yīng)堅(jiān)持面向應(yīng)用，且不應(yīng)偏廢其他能力和思維的培養(yǎng)，如應(yīng)用能力、動(dòng)手能力、創(chuàng)造性思維等，不能犯片面主義的錯(cuò)誤。在2013年第九屆“全國(guó)高等學(xué)校計(jì)算機(jī)教育改革與發(fā)展高峰論壇”上，根據(jù)30多年來(lái)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教育所取得的經(jīng)驗(yàn)和形成的基本規(guī)律，大會(huì)總結(jié)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)教育不變的本質(zhì)特征——“面向應(yīng)用、需求導(dǎo)向、能力核心、分類(lèi)指導(dǎo)”。實(shí)際上，計(jì)算思維能力的培養(yǎng)就是一個(gè)動(dòng)手動(dòng)腦的學(xué)習(xí)和實(shí)踐過(guò)程，從普適通用的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力層面看，計(jì)算思維能力和信息行動(dòng)能力等同等重要。

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（編輯：孫怡銘）endprint