矩形油藏多段壓裂水平井不穩(wěn)態(tài)壓力分析

王曉冬，羅萬(wàn)靜，侯曉春，王軍磊

（1. 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）；2. 中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院）

矩形油藏多段壓裂水平井不穩(wěn)態(tài)壓力分析

王曉冬1，羅萬(wàn)靜1，侯曉春1，王軍磊2

（1. 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）；2. 中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院）

通過(guò)確定導(dǎo)流能力影響函數(shù)，給出了有限導(dǎo)流垂直裂縫井不穩(wěn)定滲流的新解析解。再利用疊加原理得到了帶有多條有限導(dǎo)流垂直裂縫的壓裂水平井不穩(wěn)定壓力分布。計(jì)算結(jié)果表明，理想模式下滲流方式發(fā)生的順序是早期雙線性流動(dòng)→早期線性流動(dòng)→中期徑向流動(dòng)→中期線性流動(dòng)→晚期擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)；均勻分布等導(dǎo)流裂縫縫長(zhǎng)的不均勻性主要影響早期雙線性流動(dòng)和線性流動(dòng)階段的轉(zhuǎn)換時(shí)期，加快中期徑向流動(dòng)的出現(xiàn)；等長(zhǎng)等導(dǎo)流裂縫分布的不對(duì)稱性主要影響中期線性流動(dòng)階段，不對(duì)稱性越強(qiáng)，受矩形地層各條邊界的影響越明顯；等長(zhǎng)均布裂縫導(dǎo)流能力的強(qiáng)弱主要影響早期雙線性流動(dòng)和線性流動(dòng)階段，導(dǎo)流能力的差異使得早期雙線性流動(dòng)持續(xù)時(shí)間變短而線性流動(dòng)持續(xù)時(shí)間相對(duì)增加；等長(zhǎng)等導(dǎo)流均布裂縫條數(shù)增加，儲(chǔ)集層整體壓力降落加快，中期徑向流段持續(xù)時(shí)間變短而中期線性流段延長(zhǎng)，而裂縫長(zhǎng)度相對(duì)增加，中期徑向流段持續(xù)時(shí)間變短而中期線性流段可能不出現(xiàn)，說(shuō)明壓裂水平井具分段改善滲流方式的特點(diǎn)。圖8參19

多段壓裂水平井；有限導(dǎo)流垂直裂縫；不穩(wěn)態(tài)壓力分析；流動(dòng)段；矩形油藏

0 引言

壓裂水平井通過(guò)選擇性地分段建立水力裂縫，將近井筒地層中的滲流方式由平面徑向流動(dòng)改變?yōu)槠矫婢€性流動(dòng)，由此提高開(kāi)采過(guò)程中地層能量的利用率，擴(kuò)大動(dòng)用面積。隨著壓裂工藝的進(jìn)步，壓裂水平井在中國(guó)開(kāi)采致密油氣方面應(yīng)用前景廣泛[1-4]。

壓裂水平井的動(dòng)態(tài)分析難點(diǎn)主要在于合理描述多裂縫間的相互干擾以及與地層流動(dòng)相耦合的橫切裂縫（Transverse Fracture）導(dǎo)流影響。在多裂縫干擾方面，Larsen和Hegre[5-6]首先給出了三維無(wú)界地層中帶有多條圓形有限導(dǎo)流裂縫的壓裂水平井不穩(wěn)態(tài)滲流解析解，結(jié)果只是比較好地展現(xiàn)了系統(tǒng)早、中期階段的滲流特征；Guo和Evans[7]給出了一種平面無(wú)界地層中帶有多條無(wú)限導(dǎo)流等長(zhǎng)垂直裂縫的壓裂水平井不穩(wěn)態(tài)滲流實(shí)時(shí)域解析解，由于邊部裂縫和內(nèi)部裂縫控制的泄流面積不同，其直接疊加的解式不很嚴(yán)格；Horne和Temeng[8]雖然改進(jìn)了Guo和Evans模型對(duì)縫間干擾考慮的不足，但依然沒(méi)有考慮裂縫導(dǎo)流的影響。在裂縫導(dǎo)流影響方面，Chen和Raghavan[9]在Laplace變換域中給出了平面無(wú)界地層中帶有多條有限導(dǎo)流均勻分布垂直裂縫的壓裂水平井不穩(wěn)態(tài)滲流解析解，由于采用邊界元方法求解有限導(dǎo)流裂縫模型，當(dāng)裂縫條數(shù)比較多時(shí)計(jì)算速度不佳；Al-Kobaisi和Ozkan等[10]建立了一種解析-數(shù)值混合網(wǎng)格模型（用解析解表述地層滲流，用差分模型描述裂縫流動(dòng)），Valkó和Amini[11]提出了一種DVS（Distributed Volumetric Sources）方法，采用數(shù)值離散法描述裂縫導(dǎo)流的影響，較為復(fù)雜；Brown和Ozkan等人[12]以及Stalgorova和Mattar[13]將有限導(dǎo)流垂直裂縫之三線性流動(dòng)模型用于多段壓裂水平井動(dòng)態(tài)分析中，雖然能夠避免數(shù)值求解裂縫流動(dòng)模型，卻不能得到中期徑向流動(dòng)特征。

綜上所述，多裂縫間相互干擾問(wèn)題可通過(guò)多井疊加原理解決，而橫切裂縫導(dǎo)流和聚流的影響問(wèn)題，主要有4種處理方式：①采用無(wú)限導(dǎo)流假設(shè)，不考慮裂縫導(dǎo)流影響，只是附加聚流表皮；②采用經(jīng)典的邊界元方法求解有限導(dǎo)流裂縫的耦合積分方程，再附加聚流表皮；③采用有限差分或者DVS等數(shù)值方法求解有限導(dǎo)流裂縫的耦合積分方程；④采用三線性流動(dòng)模型。

本文采用多井疊加原理解決多裂縫間相互干擾問(wèn)題，對(duì)于橫切裂縫導(dǎo)流影響問(wèn)題則給出一種新的解決方法，即在無(wú)限導(dǎo)流垂直裂縫模型上疊加導(dǎo)流能力影響函數(shù)并輔以聚流表皮模型，給出了導(dǎo)流能力影響函數(shù)的解析解，并計(jì)算了定井流量條件下壓裂水平井的壓力動(dòng)態(tài)特征。

1 單一有限導(dǎo)流垂直裂縫壓力分布

在長(zhǎng)為xe、寬為ye、高為h（油層厚度）的箱形封閉均質(zhì)地層中有一壓裂水平井（見(jiàn)圖1）。首先考察在某位置處產(chǎn)生一條板狀橫切垂直裂縫情形（見(jiàn)圖1中第1條裂縫），裂縫的高度等于儲(chǔ)集層厚度。若裂縫產(chǎn)出微可壓縮牛頓流體（流量為qref），則地層中產(chǎn)生不穩(wěn)態(tài)Darcy滲流。將裂縫中的流動(dòng)分解為線性流動(dòng)和徑向流動(dòng)2部分，其導(dǎo)流影響可以用普通垂直裂縫井模型再附加聚流表皮來(lái)表述[14]。

定義無(wú)量綱壓力、無(wú)量綱時(shí)間、無(wú)量綱導(dǎo)流能力和裂縫無(wú)量綱生產(chǎn)指數(shù)為：

圖1 壓裂水平井示意圖

其他無(wú)量綱量為：

對(duì)于單一無(wú)限導(dǎo)流垂直裂縫情形，通過(guò)Green函數(shù)求解和Laplace變換，其壓力分布為[15]：

上式中s為L(zhǎng)aplace變量，上標(biāo)“～”為L(zhǎng)aplace變換量。對(duì)于單一有限導(dǎo)流垂直裂縫情形，壓力分布可以寫為：

基于Riley等[16]的結(jié)果，本文提出導(dǎo)流能力影響函數(shù)f (cfD)為：

Cinco-Ley等[17]采用有限差分、Cinco-Ley和Meng[18]采用邊界元方法數(shù)值計(jì)算裂縫導(dǎo)流模型得到有限導(dǎo)流裂縫的井底壓力，本文則通過(guò)（2）式得到相應(yīng)結(jié)果，對(duì)比結(jié)果見(jiàn)圖2。

圖2表明，采用（2）式計(jì)算垂直裂縫導(dǎo)流的影響完全可行，這一結(jié)果比Cossio等人[19]的分區(qū)分形近似模型要簡(jiǎn)單實(shí)用。顯然，利用（2）式計(jì)算壓裂水平井的橫切裂縫問(wèn)題還需要加入聚流表皮因子Sc[14]：

由（4）式可見(jiàn)，對(duì)于給定的儲(chǔ)集層，聚流表皮的影響與裂縫導(dǎo)流能力（Kfwf）成反比關(guān)系。對(duì)于給定的裂縫，聚流表皮因子是常值，它只產(chǎn)生附加壓降，不影響流動(dòng)期表現(xiàn)特征。

圖2 有限導(dǎo)流垂直裂縫無(wú)量綱井底壓力計(jì)算對(duì)比

2 多段壓裂水平井不穩(wěn)態(tài)滲流模型

若分段壓裂水平井產(chǎn)生N條裂縫，當(dāng)N條裂縫同時(shí)工作，在儲(chǔ)集層任意位置處產(chǎn)生的無(wú)量綱壓降等于單個(gè)裂縫獨(dú)自工作產(chǎn)生的無(wú)量綱壓降之代數(shù)和。由于每條裂縫的總流量是時(shí)間的函數(shù)，根據(jù)Duhamel褶積，在Laplace變換域中有：

若井定流量生產(chǎn)，忽略沿水平井筒壓力損失，每條裂縫的流壓近似相同，且等于井底流壓，則有如下線性方程組：

求解（6）式，可以同時(shí)得到井定流量生產(chǎn)情形下每條裂縫瞬時(shí)流量和井底壓力，以下主要討論井底壓力表現(xiàn)特征。

3 壓力動(dòng)態(tài)特征

壓裂水平井不穩(wěn)態(tài)壓力特征的主要影響因素有裂縫條數(shù)、位置分布、長(zhǎng)度分布以及導(dǎo)流能力。由于影響因素較多，本文首先建立一種理想模式（泄流區(qū)中心位置布置等長(zhǎng)均布等導(dǎo)流裂縫模型），然后相對(duì)改變單因素進(jìn)行計(jì)算和對(duì)比分析，以便把握各個(gè)參數(shù)的影響特征。

圖3 對(duì)稱均勻分布5條等長(zhǎng)等導(dǎo)流裂縫壓裂水平井井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線

3.1 對(duì)稱均勻分布5條等長(zhǎng)等導(dǎo)流裂縫

裂縫對(duì)稱均勻等長(zhǎng)分布為一種理想模式，即處于中心地帶的N條裂縫等長(zhǎng)均勻分布，具有相同導(dǎo)流能力的各條裂縫（包括邊部裂縫）占有相同的子泄流面積（子泄流面積等于總泄流面積的1/N）。由于2條裂縫間產(chǎn)生分流線，井底壓力表現(xiàn)將與相應(yīng)的單條裂縫行為一致（單條裂縫位于各自占據(jù)的泄流面積內(nèi)，流量為井流量的1/N）。這一特例與Guo和Evans[7]的解析解式一致，反映了多段壓裂水平井壓力診斷曲線的基本特征（見(jiàn)圖3），滲流方式發(fā)生的順序是：早期雙線性流動(dòng)（裂縫+近井地層）→早期線性流動(dòng)（近井地層）→中期徑向流動(dòng)（地層）→中期線性流動(dòng)（遠(yuǎn)井地層）→晚期擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)（封閉邊界影響）。受裂縫導(dǎo)流能力和相對(duì)位置等影響，某些情況下部分流動(dòng)方式的特征可能不明顯。

3.2 對(duì)稱均勻分布5條不等長(zhǎng)等導(dǎo)流裂縫

若裂縫分布均勻，但各裂縫長(zhǎng)度不等，其井底壓力表現(xiàn)形態(tài)見(jiàn)圖4。對(duì)比等長(zhǎng)情形（見(jiàn)圖4模型1）可知，裂縫長(zhǎng)度的不均勻性主要影響早期雙線性流動(dòng)和線性流動(dòng)的轉(zhuǎn)換時(shí)期，加快中期徑向流動(dòng)的出現(xiàn)，而對(duì)中期線性流動(dòng)和晚期擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)影響較弱。

圖4 對(duì)稱均勻分布5條不等長(zhǎng)等導(dǎo)流裂縫壓裂水平井井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線

3.3 不對(duì)稱均勻分布5條等長(zhǎng)等導(dǎo)流裂縫

若等長(zhǎng)裂縫分布不對(duì)稱，其井底壓力表現(xiàn)形態(tài)見(jiàn)圖5。圖5表明，等長(zhǎng)裂縫分布的不對(duì)稱性主要影響中期線性流動(dòng)階段，類似于偏心的單條垂直裂縫情形，對(duì)比等長(zhǎng)情形（見(jiàn)圖5模型1）可知，隨著裂縫分布不對(duì)稱性增強(qiáng)，矩形地層各條邊界的影響有可能分期而至，有可能掩蓋中期徑向流動(dòng)而直接出現(xiàn)半徑向流或者中期線性流動(dòng)，最后歸結(jié)為擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)。

圖5 不對(duì)稱均勻分布5條等長(zhǎng)等導(dǎo)流裂縫壓裂水平井井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線

3.4 對(duì)稱均勻分布多條等長(zhǎng)等導(dǎo)流裂縫

若對(duì)稱等長(zhǎng)均布裂縫條數(shù)增加，其井底壓力表現(xiàn)形態(tài)見(jiàn)圖6。圖6表明，等長(zhǎng)均布裂縫條數(shù)主要影響早期雙線性流動(dòng)、線性流動(dòng)和中期徑向流動(dòng)階段。與單條裂縫情形（見(jiàn)圖6模型1）相比，裂縫條數(shù)的增加將使儲(chǔ)集層整體壓力降落加快，無(wú)量綱壓力變小，壓力導(dǎo)數(shù)水平段（中期徑向流段）下降至0.5/N位置，中期徑向流段持續(xù)時(shí)間變短而中期線性流段增長(zhǎng)，體現(xiàn)了壓裂水平井分段改善滲流方式的特點(diǎn)，能夠提高開(kāi)采過(guò)程中地層能量的利用率。

圖6 對(duì)稱均勻分布多條等長(zhǎng)等導(dǎo)流裂縫壓裂水平井井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線

3.5 對(duì)稱均勻分布5條等長(zhǎng)不等導(dǎo)流裂縫

若等長(zhǎng)均布裂縫導(dǎo)流能力各有差異，其井底壓力表現(xiàn)形態(tài)見(jiàn)圖7。圖7表明，等長(zhǎng)均布裂縫導(dǎo)流能力差異主要影響前期雙線性流動(dòng)和線性流動(dòng)階段，與導(dǎo)流能力一致情形（見(jiàn)圖7模型1）相比，導(dǎo)流能力的差異使得早期雙線性流動(dòng)過(guò)早轉(zhuǎn)化為線性流動(dòng)，即雙線性流動(dòng)持續(xù)時(shí)間變短而線性流動(dòng)持續(xù)時(shí)間增加。

圖7 對(duì)稱均勻分布等長(zhǎng)5條不等導(dǎo)流裂縫壓裂水平井井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線

3.6 對(duì)稱均勻分布5條等導(dǎo)流裂縫長(zhǎng)度變化

若等長(zhǎng)均布、等導(dǎo)流裂縫長(zhǎng)度增加，其井底壓力表現(xiàn)形態(tài)見(jiàn)圖8。圖8表明，裂縫長(zhǎng)度增加，等效于矩形儲(chǔ)集層垂直于裂縫方向（y方向）的邊界縮小，主要影響中期徑向流動(dòng)階段持續(xù)時(shí)間、中期線性流段持續(xù)時(shí)間和晚期擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)出現(xiàn)時(shí)間，比較而言，長(zhǎng)裂縫使得儲(chǔ)集層中早期雙線性流、線性流動(dòng)段相對(duì)加長(zhǎng)，而中期徑向流段持續(xù)時(shí)間變短，甚至于出現(xiàn)短暫中期徑向流動(dòng)而不出現(xiàn)中期線性流動(dòng)，這也體現(xiàn)了壓裂水平井分段改善滲流方式的特點(diǎn)。

圖8 對(duì)稱均勻分布5條等導(dǎo)流裂縫長(zhǎng)度變化壓裂水平井井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線

由于本文給出的是Laplace變換解，根據(jù)Duhamel褶積很容易得到考慮井筒存儲(chǔ)和表皮效應(yīng)的不穩(wěn)定試井壓力診斷曲線，井筒存儲(chǔ)效應(yīng)主要使早期的雙線性流動(dòng)和線性流動(dòng)階段滯后出現(xiàn)，而早期壓力和壓力導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生單位斜率直線段，限于篇幅，本文不再贅述。

4 結(jié)論

多段壓裂水平井壓力動(dòng)態(tài)分析的主要難點(diǎn)在于合理描述多裂縫間的相互干擾以及與地層流動(dòng)相耦合的橫切裂縫導(dǎo)流和聚流影響?；谇叭藬?shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和不足，提出無(wú)限導(dǎo)流垂直裂縫模型疊加導(dǎo)流能力影響函數(shù)的新方法，給出了導(dǎo)流能力影響函數(shù)的解析解，計(jì)算對(duì)比表明，本文方法便捷準(zhǔn)確。

建立了矩形地層中心地帶多條等長(zhǎng)均勻分布、等導(dǎo)流裂縫理想模式，每條裂縫占有相同的子泄流面積；在理想模式下，生產(chǎn)井的井底壓力表現(xiàn)與相應(yīng)的單條裂縫行為一致，指明了不穩(wěn)定滲流過(guò)程中滲流方式發(fā)生的次序和井底壓力導(dǎo)數(shù)特征。

與理想模式相比，均勻分布、等導(dǎo)流裂縫的縫長(zhǎng)的參差不齊，主要影響井底壓力早期雙線性流動(dòng)和線性流動(dòng)階段的轉(zhuǎn)換時(shí)期，加快中期徑向流動(dòng)的出現(xiàn)；而等長(zhǎng)、等導(dǎo)流裂縫分布的不對(duì)稱性主要影響中期線性流動(dòng)階段，不均勻性越強(qiáng)，受矩形地層各條邊界的影響越明顯，有可能掩蓋中期徑向流動(dòng)而直接出現(xiàn)半徑向流或者中期線性流動(dòng)等；等長(zhǎng)均布裂縫導(dǎo)流能力的強(qiáng)弱主要影響早期雙線性流動(dòng)和線性流動(dòng)階段，導(dǎo)流能力的差異使得早期雙線性流動(dòng)過(guò)早轉(zhuǎn)化為線性流動(dòng)，即雙線性流動(dòng)持續(xù)時(shí)間變短而線性流動(dòng)持續(xù)時(shí)間相對(duì)增加。

若等長(zhǎng)、等導(dǎo)流均布裂縫條數(shù)增加，將使得儲(chǔ)集層整體壓力降落加快，中期徑向流段持續(xù)時(shí)間變短而中期線性流動(dòng)段延長(zhǎng)；若等長(zhǎng)、等導(dǎo)流均布裂縫之裂縫長(zhǎng)度相對(duì)增加，中期徑向流段持續(xù)時(shí)間變短而中期線性流動(dòng)段可能不出現(xiàn)，體現(xiàn)了壓裂水平井分段改善滲流方式的特點(diǎn)。

本文旨在闡述不穩(wěn)態(tài)壓力的流動(dòng)期特征，由于給出的是Laplace變換解式，用于指導(dǎo)不穩(wěn)定試井分析，結(jié)果很容易擴(kuò)展得到包含井筒存儲(chǔ)效應(yīng)和表皮效應(yīng)的壓力診斷曲線。

符號(hào)注釋：

x、y——平面坐標(biāo)；wf——填砂裂縫寬度，m；yf——裂縫半長(zhǎng)，m；p——壓力，MPa；pi——地層靜壓，MPa；pw——井底流壓，MPa；K——地層滲透率，μm2；Kf——填砂裂縫滲透率，μm2；h——儲(chǔ)集層厚度，m；μ——流體黏度，mPa·s；B——流體體積系數(shù)，m3/m3；φ——儲(chǔ)集層孔隙度，f；t——延續(xù)時(shí)間，d；ct——綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；Lf——特征長(zhǎng)度，m，可取所有水力裂縫中的最大半長(zhǎng)；cf——裂縫導(dǎo)流能力，10-3μm2·cm；qref——特征流量，m3/d；qf——裂縫流量，m3/d；xwj——第j條裂縫橫坐標(biāo)位置，m；ywj——第j條裂縫縱坐標(biāo)位置，m；xe——儲(chǔ)集層橫向邊界，m；ye——儲(chǔ)集層縱向邊界，m；pinfD——單一無(wú)限導(dǎo)流垂直裂縫無(wú)量綱壓力分布；n——求和中的枚舉變量；Sc——聚流表皮因子，無(wú)量綱；rw——井筒半徑，m；N——總裂縫條數(shù)。下標(biāo)：D——無(wú)量綱；j——裂縫序號(hào)。

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Transient pressure analysis of multiple-fractured horizontal wells in boxed reservoirs

Wang Xiaodong1, Luo Wanjing1, Hou Xiaochun1, Wang Junlei2
(1. China University of Geosciences, Beijing 100083, China; 2. PetroChina Research Institute of Petroleum Exploration & Development, Beijing 100083, China)

A new analytical solution of fluid unsteady flow was presented for wells with finite-conductivity vertical fractures by determining impact functions of fracture conductivity. Based on the new solution, the transient pressure distribution of a fractured horizontal well with multiple finite-conductivity vertical fractures was obtained using the principle of superposition. Calculation results show the pressure transient behavior of fractured horizontal wells under the condition of constant bottom rate. In the ideal fracture arrangement, flow patterns occur in the order of early bilinear flow → early linear flow → middle radial flow → middle linear flow→ late pseudo steady state. Uneven length of fractures with equal conductivity and uniform arrangement may affect the transform of early linear flows from earlier bilinear flows and the premature birth of middle radial flows. Nonuniform arrangement of fractures with even length and equal conductivity may influence middle radial flows. Different conductivity of fractures with equal length and uniform arrangement shortens the period of bilinear flows and lengthens the linear flows. Increase in the number of fractures with even length, equal conductivity and uniform arrangement accelerates pressure drops in the reservoir, shortens the period of middle radial flows and lengthens the middle linear flows. Increase in length of all fractures shortens the period of middle radial flows and may result in absence of radial flows. It is demonstrated that the horizontal well with multiple vertical fractures may improve fluid flow patterns.

multiple-fractured horizontal well; vertical fracture with finite conductivity; transient pressure analysis; flow regimes; boxed reservoir

TE355.6; 357.14

A

王曉冬（1963-），男，黑龍江延壽人，中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，主要從事油藏工程、油氣滲流力學(xué)、儲(chǔ)集層建模與油藏?cái)?shù)值模擬等方面的教學(xué)和科研工作。地址：北京市海淀區(qū)學(xué)院路29號(hào)，中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院，郵政編碼：100083。E-mail：wxd_cug@cugb.edu.cn

2013-08-20

2013-12-30

（編輯 郭海莉 繪圖 劉方方）

1000-0747(2014)01-0074-05

10.11698/PED.2014.01.09

國(guó)家科技重大專項(xiàng)（2011ZX05013-002；2011ZX05009-004）