馬爾可夫調(diào)制模型下交換期權(quán)的定價

趙旭龍 王偉

摘 要：在這篇文章中，假定市場經(jīng)濟狀態(tài)由一個兩狀態(tài)馬爾可夫鏈描述，風(fēng)險資產(chǎn)滿足一個兩狀態(tài)的馬爾可夫調(diào)制過程。當(dāng)市場處于高波動狀態(tài)時，風(fēng)險資產(chǎn)的價格滿足跳擴散過程；當(dāng)市場處于穩(wěn)定狀態(tài)時，風(fēng)險資產(chǎn)的價格滿足幾何布朗運動.通過測度變換的技術(shù)，得到了交換期權(quán)的定價公式。最后，利用蒙特卡洛方法給出了期權(quán)價值的數(shù)值結(jié)果。

關(guān)鍵詞：馬爾可夫；期權(quán)定價；蒙特卡洛模擬

中圖分類號：F830 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）10-0120-04

引言

馬爾可夫調(diào)制模型是近年來非常受歡迎的一種金融模型，國內(nèi)外大量學(xué)者將其應(yīng)用到金融的多個領(lǐng)域當(dāng)中，并取得了豐碩的研究成果。有關(guān)馬爾可夫調(diào)制模型下資產(chǎn)定價方面，Guo [1]考慮了當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格滿足馬爾可夫調(diào)制的幾何布朗運動時歐式期權(quán)定價題。Guo [2]得到了在馬爾可夫調(diào)制模型下美式期權(quán)的定價公式。Siu [3]研究了當(dāng)市場中風(fēng)險資產(chǎn)價格滿足馬爾可夫調(diào)制的幾何布朗運動時，嵌入退保期權(quán)的分紅保單的價值。Boyle和Draviam [4]研究了馬爾可夫調(diào)制的幾何布朗運動時奇異期權(quán)的定價問題。Bo et al[5]研究了馬爾可夫調(diào)制的跳擴散模型下外匯期權(quán)的定價問題。Wang和Wang[6]研究了馬爾可夫調(diào)制模型下歐式脆弱期權(quán)的定價問題。在這篇文章中我們考慮一個兩狀態(tài)馬爾可夫調(diào)制模型，市場狀態(tài)由一連續(xù)時間馬爾可夫鏈描述，假定市場處于穩(wěn)定狀態(tài)時，股票價格滿足幾何布朗運動；而當(dāng)市場處于高波動狀態(tài)時，股票價格服從跳擴散過程。從文中的數(shù)值結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)市場的經(jīng)濟狀態(tài)對期權(quán)價值有著很大的影響，因此我們考慮的問題是有意義的。

三、數(shù)值模擬

馬爾可夫調(diào)制的跳擴散模型下交換期權(quán)的價值比在Black-Scholes模型下的價值大，這說明了跳風(fēng)險對期權(quán)價值有著很大的影響，在金融模型中忽略了跳風(fēng)險的存在可能會嚴(yán)重低估期權(quán)的價值。

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Pricing Exchange Options Under a Markov-modulated Model

ZHAO XU-long，WANG Wei

（Department of Financial Engineer，Ningbo University，Ningbo 315211，China）

Abstract：In this paper，we suppose that the states of market economy are described by a two-state Markov chain，and the risky asset follows a two-state Markov-modulated process.The risky asset price is driven by a Markov-modulated geometric Brownian motion when the market is stable，but the risky asset follows a jump diffusion process if the market is at a high volatility state.We obtain the pricing formula of a exchange option by measure change.Finally，the result of illustration is provided by Monte Carlo simulation technique.

Key words：Markov；option pricing；Monte Carlo simulation

[責(zé)任編輯 吳明宇]