基于全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪參數(shù)化設(shè)計(jì)及接觸特性

翟秀云，張學(xué)剛，謝永春，劉 丹，2

(1.攀枝花學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，四川 攀枝花 617000;2.西華大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，成都610039)

0 引言

齒輪被廣泛地應(yīng)用于各種機(jī)械設(shè)備中，主要用來(lái)傳遞一定的速度和力矩，力矩的傳遞對(duì)齒輪輪齒的強(qiáng)度有一定的要求，其中，增加輪齒間接觸線的長(zhǎng)度是提高齒輪強(qiáng)度的一種方式。隨著機(jī)械工業(yè)的不斷發(fā)展，相續(xù)出現(xiàn)了直齒圓柱齒輪、斜齒圓柱齒輪、人字齒輪等用于傳遞平行軸運(yùn)動(dòng)的齒輪，齒輪副在嚙合過(guò)程中，這三種齒輪的齒面接觸線依次增加，人字齒輪的接觸線最長(zhǎng)，因?yàn)槿俗铸X輪的加工是齒輪中間截面的兩邊斜齒分開(kāi)加工，所以保證人字齒輪的對(duì)稱性是比較困難的。早在1952 年，日本學(xué)者長(zhǎng)谷川吉三郎［1］第一次提出了弧齒圓柱齒輪，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的加工機(jī)床，弧齒圓柱齒輪具有接觸線長(zhǎng)、嚙合性能好、傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)，由于該齒輪的加工效率低、成本高等原因?qū)е聸](méi)有大面積推廣。2000 年以后，臺(tái)灣學(xué)者Tseng 和Tsay［2-5］采用滾刀法和假想齒條加工法對(duì)弧齒圓柱齒輪的接觸特性和幾何特性做了一定的理論研究。2012 年，王少江、侯力等人［6-7］借助UG 的二次開(kāi)發(fā)通過(guò)弧齒齒條刀具虛擬加工出弧齒圓柱齒輪的三維實(shí)體模型，提出了弧齒圓柱齒輪正確嚙合的條件，即曲線齒輪凹面半徑必須大于等于凸面半徑，當(dāng)凹面半徑等于凸面半徑時(shí)，齒輪達(dá)到全齒寬嚙合。

基于全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪和非全齒寬嚙合齒輪的主要區(qū)別如圖1 所示。宋愛(ài)平團(tuán)隊(duì)在全齒寬嚙合弧齒圓柱齒輪方面作了大量的研究［8-13］，但是沒(méi)有提及到齒根過(guò)渡曲面的數(shù)學(xué)模型，其齒面接觸曲線是通過(guò)計(jì)算兩齒面嚙合平面和齒面的交線獲得，齒輪凸面剛進(jìn)入嚙合時(shí)的接觸曲線分布于齒面完整齒寬。本文根據(jù)全齒寬嚙合弧齒圓柱齒輪的嚙合原理，推導(dǎo)出全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪精確齒面和過(guò)渡曲面的方程，用MATLAB 軟件編寫(xiě)人性化的人機(jī)交互界面，快速獲取不同參數(shù)下的弧齒圓柱齒輪齒面和過(guò)渡曲面的數(shù)據(jù)點(diǎn)，經(jīng)三維實(shí)體建模軟件簡(jiǎn)單處理生成精確的齒輪三維模型。最后，直接將兩齒輪凹面和凸面分別對(duì)應(yīng)的離散漸開(kāi)線接觸，用數(shù)值解法計(jì)算出弧齒圓柱齒輪齒面接觸的離散點(diǎn)，這些離散點(diǎn)便構(gòu)成齒面真實(shí)接觸曲線，輪齒凸面剛進(jìn)入嚙合時(shí)接觸曲線僅分布于齒面中間。

圖1 齒形示意圖

1 弧齒圓柱齒輪的齒面方程

為了得到精確的全齒寬嚙合弧齒圓柱齒輪實(shí)體模型，必須根據(jù)齒輪嚙合原理推導(dǎo)出齒輪的齒面方程和過(guò)度曲面方程。本文的做法是首先根據(jù)全齒寬嚙合弧齒圓柱齒輪的嚙合原理采用包絡(luò)線法推導(dǎo)出二維精確過(guò)渡曲線和漸開(kāi)線方程，然后通過(guò)坐標(biāo)變換推導(dǎo)出弧齒圓柱齒輪的齒面和過(guò)度曲面方程。

1.1 漸開(kāi)線和過(guò)渡曲線方程

漸開(kāi)線和過(guò)渡曲線的生成按照文獻(xiàn)［14］中提及的方法采用齒條刀具包絡(luò)法，首先獲得齒條刀具刀尖曲線參數(shù)方程:

對(duì)刀尖曲線方程進(jìn)行變換可求得過(guò)渡曲線方程:

其中，

同理，可以獲得齒條刀具齒線參數(shù)方程:

其中，- m≤θ ≤m

對(duì)齒線方程進(jìn)行變換可求得漸開(kāi)線方程:

其中，

過(guò)渡曲線和漸開(kāi)線，即方程(1)、(2)之間的交點(diǎn)可以用三分法求得，在交點(diǎn)處將過(guò)渡曲線和漸開(kāi)線連接起來(lái)，即可產(chǎn)生一條完整的齒廓曲線。

1.2 齒面和過(guò)渡曲面方程

在文獻(xiàn)［12］中提到，齒面和過(guò)渡曲面方程分別由漸開(kāi)線和過(guò)渡曲線經(jīng)坐標(biāo)變換而成，其坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換示意圖如圖2 所示。漸開(kāi)線和過(guò)渡曲線由坐標(biāo)系S2(X2，Y2，Z2)轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系S1(X1，Y1，Z1)中，即可得到弧齒圓柱齒輪的齒面方程和過(guò)渡曲面方程。

圖2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換示意圖

因此，齒輪的凹面的方程可以表示為如下形式:

其中，

齒輪凹面的過(guò)渡曲面方程可以表示為:

其中，

其中，

在這里只需要推導(dǎo)出弧齒圓柱齒輪一個(gè)齒的凹面、凹面的過(guò)渡曲面、凸面、凸面的過(guò)渡曲面即可，其它齒的齒面可以通過(guò)在三維實(shí)體造型軟件里面處理完成。

2 弧齒圓柱齒輪齒面參數(shù)化程序

由1.2 節(jié)推導(dǎo)出的弧齒圓柱齒輪齒面參數(shù)方程借助MATLAB 編寫(xiě)參數(shù)化程序，具體操作步驟參見(jiàn)文獻(xiàn)［14］。編寫(xiě)的用戶交互界面如圖3 所示。

圖3 生成點(diǎn)云的用戶交互界面

將弧齒圓柱齒輪的基本參數(shù)輸入人機(jī)交互界面，點(diǎn)擊“Generate”按鈕即可顯示出生成的單個(gè)齒面圖形和齒面點(diǎn)云文件，將獲得的點(diǎn)云文件轉(zhuǎn)化為三維實(shí)體造型軟件可識(shí)別的文件格式導(dǎo)入其中，簡(jiǎn)單處理即可生成完整的基于全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪，如圖4所示。

圖4 基于全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪三維實(shí)體模型

3 弧齒圓柱齒輪的接觸特性

弧齒圓柱齒輪在嚙合過(guò)程中，相互接觸的兩個(gè)齒面分別為大(小)齒輪凸面和小(大)齒輪凹面。為了研究齒輪的接觸特性，我們根據(jù)1.2 節(jié)中推導(dǎo)的齒輪凸面和凹面方程，經(jīng)坐標(biāo)變換，分別表達(dá)出大(小)齒輪凸面和小(大)齒輪凹面方程使兩齒面的中截面處的兩條漸開(kāi)線剛好相互接觸，因?yàn)樵诨↓X圓柱齒輪齒面中截面處至少存在一個(gè)接觸點(diǎn)。

齒輪1 的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)態(tài)凸面方程表示為:

其中，

參數(shù)φ 表示齒輪1 嚙合時(shí)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角;M1r表示齒輪1 繞齒輪2 中心的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣。

齒輪2 的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)態(tài)凹面方程表示為:

其中，

參數(shù)z1、z2分別表示齒輪1 和齒輪2 的齒數(shù);φ＇表示齒輪2 嚙合時(shí)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角;為了使兩齒輪的齒面存在初始接觸，就必須調(diào)整齒輪2 齒面的位置，Mcr表示齒輪2 上凸面的調(diào)整矩陣;M2r表示齒輪2 繞齒輪2中心的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣;矩陣［xc yc zc］T表示齒輪1 和齒輪2之間的中心距。

跨文化管理對(duì)從事國(guó)際化經(jīng)營(yíng)的企業(yè)的生存和發(fā)展有重要影響，是企業(yè)管理中不可忽視和不可缺少的一部分.跨國(guó)企業(yè)的首要問(wèn)題，就是要解決各種不同文化的融合問(wèn)題.注重結(jié)合企業(yè)實(shí)際，形成企業(yè)統(tǒng)一的經(jīng)營(yíng)理念、思維方式、管理理念、共同愿景等，在國(guó)際市場(chǎng)上參與國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)，提高企業(yè)的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力.在世界經(jīng)濟(jì)一體化、全球化越來(lái)越成為一種趨勢(shì)的情況下，跨文化管理正在變得越來(lái)越具有現(xiàn)實(shí)意義，在企業(yè)發(fā)展的過(guò)程中，發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用.

為了計(jì)算出齒面間的接觸曲線我們將組成齒輪凹面和凸面的漸開(kāi)線按一定步長(zhǎng)分布，使凹面和凸面上的漸開(kāi)線一一對(duì)應(yīng)，然后計(jì)算每?jī)蓷l對(duì)應(yīng)漸開(kāi)線間的接觸點(diǎn)，通過(guò)B 樣條曲線連接漸開(kāi)線上的接觸點(diǎn)，從而構(gòu)成齒面間的接觸曲線，漸開(kāi)線間步長(zhǎng)越小，擬合出的接觸曲線也就越精確。具體計(jì)算過(guò)程如下(參見(jiàn)圖5):

(1)分別將齒輪1 的凸面和齒輪2 的凹面上的漸開(kāi)線步長(zhǎng)h統(tǒng)一，使兩齒面間的漸開(kāi)線一一對(duì)應(yīng)，便于計(jì)算漸開(kāi)線間的接觸點(diǎn);

(2)將兩條漸開(kāi)線投影到x坐標(biāo)軸上，找出兩條漸開(kāi)線公共部分的范圍;

(3)將組成兩條漸開(kāi)線公共部分的坐標(biāo)點(diǎn)的x坐標(biāo)合并在一起，用幾何插值法處理公共部分的坐標(biāo)點(diǎn)的x坐標(biāo);

(4)將處理后得x坐標(biāo)還原到兩條漸開(kāi)線上，便于計(jì)算公共x坐標(biāo)點(diǎn)xi對(duì)應(yīng)的y(xi)值，當(dāng)y2(xi)-y1(xi)=0 時(shí)，兩對(duì)應(yīng)漸開(kāi)線存在接觸點(diǎn);當(dāng)y2(xi)-y1(xi)≠0 時(shí)，兩對(duì)應(yīng)漸開(kāi)線間不存在接觸點(diǎn);

(5)修改步長(zhǎng)h重復(fù)(1)～(4)步，計(jì)算下一個(gè)對(duì)應(yīng)漸開(kāi)線間的接觸點(diǎn);

(6)將計(jì)算出的每個(gè)接觸點(diǎn)依次用B 樣條曲線連接，形成齒面間的接觸曲線。

圖5 對(duì)應(yīng)漸開(kāi)線間接觸點(diǎn)計(jì)算說(shuō)明圖

齒面間的接觸曲線隨著齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)而變化。在標(biāo)準(zhǔn)安裝條件下，本文僅分析了齒輪副凸面進(jìn)入嚙合到退出嚙合四個(gè)嚙合位置(轉(zhuǎn)角φ = 12°，9°，- 9°，-15°)的接觸曲線。齒輪副的基本參數(shù)為Z1=20，Z2=30，mc=4，RT=30，B=30。四個(gè)嚙合位置齒面接觸曲線如圖6 所示。

圖6 齒輪側(cè)面觀察四個(gè)嚙合位置在凸面上的接觸曲線

圖6a 到圖6d 依次表示凸面進(jìn)入嚙合到退出嚙合的過(guò)程。從圖可以看出凸齒面剛進(jìn)入嚙合的時(shí)候接觸線分布在齒面中間;凸面完全進(jìn)入嚙合的時(shí)候接觸線分布于整個(gè)齒面;退出嚙合的時(shí)候接觸線分布于凸齒面兩端。

4 結(jié)論

以上內(nèi)容闡述基于全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪的精確參數(shù)化設(shè)計(jì)，并分析了該齒輪的接觸特性，得出以下結(jié)論:

(1)齒根過(guò)度曲面模型的建立為全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪有限元精確齒根應(yīng)力分析奠定了基礎(chǔ);

(2)該弧齒圓柱齒輪的嚙合曲線關(guān)于齒輪中截面對(duì)稱;

(3)齒輪剛進(jìn)入嚙合和退出嚙合時(shí)的接觸曲線均分布于齒面局部。當(dāng)凸面剛進(jìn)入嚙合時(shí)接觸曲線分布于齒面中間，當(dāng)凸面剛退出嚙合時(shí)接觸曲線分布于齒面兩端;

(4)當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)到全齒寬嚙合位置時(shí)，接觸曲線比直齒輪接觸曲線更長(zhǎng)。

［1］長(zhǎng)谷川吉三郎，太田信之.關(guān)于圓弧齒線齒輪的切齒機(jī)床［J］.精密機(jī)械，1952，18(8):253 -257.

［2］Rui-Tang Tseng，Chung-Biau Tsay. Mathematical model and undercutting of cylindrical gears with curvilinear shaped teeth［J］.Mechanism and Machine Theory，2001，36:1189-1202.

［3］Rui-Tang Tseng，Chung-Biau Tsay. Contact characteristics of cylindrical gears with curvilinear shaped teeth［J］.Mechanism and Machine Theory，2004，39:905 -919.

［4］Rui-Tang Tseng，Chung-Biau Tsay. Mathematical Model and Surface Deviation of Cylindrical Gears With Curvilinear Shaped Teeth Cut by a Hob Cutter［J］. Journal of Mechanical Design，2005，127:982 -987.

［5］Rui-Tang Tseng，Chung-Biau Tsay. Undercutting and Contact Characteristics of Cylindrical Gears with Curvilinear Shaped Teeth Generated by Hobbing［J］. Journal of Mechanical Design，2006，128:634 -643.

［6］王少江，侯力，董璐，等. 面向制造的弧齒圓柱齒輪建模及強(qiáng)度分析［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，44(2):210 -215.

［7］姜平，侯力，任文娟，等. 曲線齒輪的成型原理及嚙合特性分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2012(7):197 -199.

［8］宋愛(ài)平，易紅，湯文成，等. 漸開(kāi)線弧齒圓柱齒輪及嚙合特性［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2006，17(18):1888 -1892.

［9］王召壘，宋愛(ài)平，陳婷，等. 漸開(kāi)線弧齒圓柱齒輪副齒面接觸應(yīng)力分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2008(12):188-190.

［10］宋愛(ài)平，周驥平，吳偉偉，等. 弧齒齒輪泵瞬間流量及其脈動(dòng)特性研究［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2009，20(19):2315-2319.

［11］吳偉偉，宋愛(ài)平，王召壘. 漸開(kāi)線弧齒圓柱齒輪的齒根應(yīng)力分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2009，11:227 -229.

［12］宋愛(ài)平，吳偉偉，高尚，等. 弧齒圓柱齒輪理想幾何參數(shù)及其加工方法［J］. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，44(12):1735 -1740.

［13］吳偉偉，宋愛(ài)平，王召壘，等. 漸開(kāi)線弧齒圓柱齒輪的應(yīng)力分析［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2010，34(11):38 -44.

［14］張學(xué)剛，謝永春. 漸開(kāi)線圓柱齒輪全參數(shù)化精確建模研究［J］.組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2013(7):46 -48.