反復(fù)荷載作用下鋼筋混凝土柱的非線性分析

高向玲 張?jiān)_(dá)

(同濟(jì)大學(xué)建筑工程系，上海200092)

1 引言

鋼筋混凝土柱作為混凝土框架結(jié)構(gòu)及橋梁結(jié)構(gòu)的主要承重構(gòu)件，在地震作用下表現(xiàn)為顯著的彈塑性受力特性。準(zhǔn)確預(yù)測(cè)地震作用下鋼筋混凝土柱的受力性能及其震后殘余變形，對(duì)評(píng)估結(jié)構(gòu)的震害程度和安全性具有重要意義。

研究者對(duì)鋼筋混凝土柱進(jìn)行了大量的研究。Lee 和 Elnashai[1]基于纖維單元程序 ADAPTIC，對(duì)彎剪作用下鋼筋混凝土柱的滯回性能進(jìn)行了模擬分析;Esmaeily和Xiao[2]基于纖維單元模型編制了橋墩的滯回分析程序;龍凌等[3]基于ANSYS對(duì)外包鋼筋混凝土加固鋼筋混凝土柱進(jìn)行了有限元分析;高利軍等[4]基于ABAQUS對(duì)考慮約束混凝土的RC柱的承載力進(jìn)行了研究。

本文分別采用ABAQUS和OpenSEES兩種不同的有限元分析軟件對(duì)一根鋼筋混凝土柱在反復(fù)荷載作用下的受力性能進(jìn)行了模擬，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，比較了兩者的異同。

2 基于ABAQUS的數(shù)值模擬

2.1 混凝土損傷塑性模型簡(jiǎn)介

ABAQUS提供的混凝土損傷塑性模型是依據(jù)Lubliner[5]，Lee 和 Fenves[6]提出的損傷塑性模型確定的，其目的是為分析在循環(huán)加載和動(dòng)態(tài)加載條件下混凝土結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)提供普適的材料模型，它考慮了材料拉壓性能的差異，主要用于模擬低靜水壓力下由損傷引起的不可恢復(fù)的材料退化。這種退化主要表現(xiàn)在材料宏觀屬性的拉壓屈服強(qiáng)度不同、拉伸屈服后材料表現(xiàn)為軟化及壓縮屈服后材料先硬化后軟化、拉伸和壓縮采用不同的損傷和剛度折減因子、在循環(huán)荷載作用下，剛度可以部分恢復(fù)等。

2.2 混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

采用損傷塑性模型時(shí)，需要計(jì)算混凝土應(yīng)力、非彈性應(yīng)變和損傷因子，本文采用《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[7](GB 50010—2010)(下文簡(jiǎn)稱為《規(guī)范》)推薦的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變骨架曲線計(jì)算損傷塑性模型中所需的參數(shù)。

2.2.1 混凝土受拉應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

《規(guī)范》建議的混凝土單軸受拉應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表達(dá)式見式(1)—式(3)。

式中，αt為混凝土單軸受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段的參數(shù)值;ft，r為混凝土的單軸抗拉強(qiáng)度代表值;εt，r為與單軸抗拉強(qiáng)度 ft，r相應(yīng)的混凝土峰值拉應(yīng)變。

由于KEEL試驗(yàn)室提供的試驗(yàn)柱的混凝土立方體抗壓強(qiáng)度實(shí)測(cè)值為35.7 N/mm2，其抗拉強(qiáng)度ft，r近似取立方體抗壓強(qiáng)度的十分之一，即3.5 N/mm2，彈性模量 Ec取 2.8 × 1010N/m2，查《規(guī)范》得 εt，r=128 ×10－6，αt=3.82?；炷潦芾緲?gòu)相關(guān)參數(shù)取值如表1所示。2.2.2 混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

表1 混凝土受拉本構(gòu)參數(shù)Table 1 Paraneters of concrete for tension

《規(guī)范》建議的混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表達(dá)式見式(4)—式(7)。

式中，αc為混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段的參數(shù)值;fc，r為混凝土的單軸抗壓強(qiáng)度代表值;εc，r為與單軸抗拉強(qiáng)度 fc，r相應(yīng)的混凝土峰值壓應(yīng)變。

本文中 fc，r取 35 × 106N/mm2，Ec取 2.8 ×1010N/m2，查《規(guī)范》求得 εc，r=1 720 × 10－6，αc=1.65?；炷潦軌罕緲?gòu)相關(guān)的參數(shù)取值如表2所示。

表2 混凝土受壓本構(gòu)參數(shù)Table 2 Parameters of concrete for compression

2.2.3 損傷因子的確定

本文采用基于能量損失的方法來計(jì)算損傷因子。按照Najar的損傷理論[8]，脆性固體材料的損傷定義為

式中，W0為無損材料的應(yīng)變能密度，且

式中，E0為無損材料的四階彈性系數(shù)張量;E為損傷材料的四階彈性系數(shù)張量;ε為相應(yīng)的二階應(yīng)變張量;ΔWε表示無損材料的應(yīng)變能密度W0與損傷材料的應(yīng)變能密度Wε之差。

對(duì)于混凝土單軸受壓的一維受力狀態(tài)，可得

式中，W0和Wε分別為混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系圖(圖1)中三角形OAB和陰影部分的面積。

圖1 基于能量損失的損傷模型Fig.1 Energy loss-based damage model

根據(jù)式(14)，只要知道混凝土的受壓或者受拉應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，將陰影部分面積分解成若干個(gè)梯形面積之和，運(yùn)用Matlab編制相應(yīng)的計(jì)算程序，即可得出陰影部分的近似面積。

本文采用《規(guī)范》推薦的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變骨架曲線計(jì)算損傷因子?；炷潦芾仙魏?jiǎn)化為直線，不考慮損傷;混凝土受壓考慮全過程損傷。非彈性應(yīng)變根據(jù)下式求得:

通過計(jì)算得到受拉損傷因子Dt和受壓損傷因子Dc隨非彈性應(yīng)變的變化曲線分別如圖2和圖3所示。

圖2 受拉損傷因子-非彈性應(yīng)變關(guān)系Fig.2 Tensile damage factor vs inelastic strain

圖3 受壓損傷因子-非彈性應(yīng)變關(guān)系Fig.3 Compression damage factor vs inelastic strain

從圖2和圖3中可以看出，損傷因子均隨著非彈性應(yīng)變的增加而增加，并且趨于1;隨著非彈性應(yīng)變的增加，損傷因子的增長速率逐漸減小。

2.2.4 損傷塑性模型參數(shù)

1)混凝土受壓剛度恢復(fù)系數(shù)wc

此參數(shù)表示混凝土從受拉狀態(tài)轉(zhuǎn)入受壓狀態(tài)時(shí)混凝土材料的抗壓剛度恢復(fù)程度。由于本試驗(yàn)是對(duì)柱端施加低周反復(fù)荷載，混凝土?xí)?jīng)歷拉、壓的反復(fù)作用，故此參數(shù)在模擬中顯得尤為重要。當(dāng)wc=0時(shí)表示材料不能恢復(fù)剛度;當(dāng)wc=1時(shí)，則表示材料完全恢復(fù)抗壓剛度;當(dāng)wc在0～1之間時(shí)，則表示剛度只能部分恢復(fù)，如圖4所示。經(jīng)過反復(fù)試算，文中取wc=0.3。

圖4 受壓剛度恢復(fù)系數(shù)Fig.4 Recovery coefficient of compression stiffness

2)其他參數(shù)

混凝土損傷塑性模型其他相關(guān)的參數(shù)還包括:Ψ為膨脹角，μ為黏性系數(shù)，∈為流動(dòng)勢(shì)偏移值，αf為雙軸極限抗壓強(qiáng)度與單軸極限抗壓強(qiáng)度的比值，Kc為拉伸子午面與壓縮子午面上第二應(yīng)力不變量之比。各參數(shù)取值如表3所示。

表3 混凝土損傷塑性模型參數(shù)Table 3 Parameter of concrete damage plastic model

2.3 鋼筋本構(gòu)模型

鋼筋本構(gòu)模型采用PQ-Fiber中的USTEEL02模型[9]。PQ-Fiber是清華大學(xué)土木工程系基于ABAQUS開發(fā)的一組材料單軸滯回本構(gòu)模型的集合，其中的USTEEL02本構(gòu)模型是一種再加載剛度按Clough本構(gòu)退化的隨動(dòng)硬化單軸本構(gòu)模型。

該模型如圖5所示，其主要特點(diǎn)是在反向再加載時(shí)，并不立即指向歷史最大點(diǎn)(εmax，fmax)，而是先按卸載剛度加載至歷史最大點(diǎn)對(duì)應(yīng)應(yīng)力的0.2倍，即0.2fmax，再指向歷史最大點(diǎn)。此模型定義的強(qiáng)度退化模型考慮累積損傷引起的鋼筋混凝土構(gòu)件的受彎承載力退化，可采用表達(dá)式(16)表示如下:

式中，fyi表示第i個(gè)加載循環(huán)的屈服強(qiáng)度，正負(fù)號(hào)分別表示正向或反向加載;α為屈服后剛度系數(shù);Eeff，i表示加載至第i個(gè)循環(huán)時(shí)的有效積累滯回耗能，將最大響應(yīng)和滯回耗能兩個(gè)物理量結(jié)合在一起，在累積滯回耗能相等的情況下，較小位移幅值下的承載力退化程度小于較大位移幅值下的承載力退化程度。

圖5 反向再加載規(guī)則Fig.5 Rule of inverse loading

式中，Ei為第i個(gè)循環(huán)的滯回耗能;εi為第i個(gè)循環(huán)所達(dá)到的最大應(yīng)變;εf為鋼筋混凝土構(gòu)件在單調(diào)加載下達(dá)到破壞時(shí)的受拉鋼筋應(yīng)變。

該模型中，鋼筋屈服強(qiáng)度的退化以及骨架曲線的下降并非僅考慮鋼筋本身的劣化，而是綜合反映了鋼筋混凝土界面的粘結(jié)滑移以及混凝土保護(hù)層剝落等引起的綜合退化效果。

2.4 有限元模型建立

2.4.1 試件尺寸及配筋

本文采用Kawashima Earthquake Engineering Laboratory數(shù)據(jù)庫[10]里的第一組數(shù)據(jù)的 TP-2作為研究鋼筋混凝土柱數(shù)值模擬的對(duì)象，柱基本信息如表4所示，柱截面尺寸及配筋分別如圖6和圖7所示。

表4 鋼筋混凝土柱信息Table 4 Information of reinforced conerete column

2.4.2 模型建立

共創(chuàng)建三個(gè)分析步，初始分析步施加柱底固端約束;分析步一施加柱頂荷載，模擬中為了消除集中荷載的影響，將柱頂力簡(jiǎn)化為均布荷載，取為981 250 Pa;分析步二采用位移加載模式，在柱頂端施加低周反復(fù)荷載。為了消除加載端的應(yīng)力集中，在水平加載處設(shè)置了剛度較大的墊塊，如圖8所示。

圖6 試件尺寸及配筋圖Fig.6 Dimension and reinforcement of testing element

圖7 截面配筋圖Fig.7 Reinforcement of cross section

圖8 柱子模擬圖Fig.8 Diagram of column

混凝土采用縮減積分實(shí)體單元C3D8R，鋼筋采用桁架單元 T3D2，進(jìn)行分離式建模，采用ABAQUS軟件自帶的Embed技術(shù)，將鋼筋嵌入到混凝土中，共同受力。

2.4.3 加載制度

本文進(jìn)行低周反復(fù)的位移加載制度下柱的受力模擬，加載制度如圖9所示。

圖9 位移加載模式Fig.9 Loading mode of displacement

2.4.4 應(yīng)力云圖

ABAQUS程序分析的結(jié)果如圖10、圖11所示。從圖10中可以看出，混凝土柱的底部區(qū)域應(yīng)力最大，破壞從柱底部區(qū)域開始發(fā)展，符合試驗(yàn)現(xiàn)象描述。圖11中柱和基礎(chǔ)相交處的底部箍筋所受應(yīng)力大部分達(dá)到屈服強(qiáng)度。2.4.5 數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較

圖10 混凝土應(yīng)力云圖Fig.10 Stree distribution of concrete

圖11 鋼筋應(yīng)力云圖Fig.11 Stree distribution of reinforcement

如圖12所示。從圖中可以看出:①滯回環(huán)骨架曲線峰值強(qiáng)度低于真實(shí)值，初始剛度略大于真實(shí)值;②數(shù)值模擬所得的滯回環(huán)整體趨勢(shì)與真實(shí)情況吻合較好;③模擬的滯回環(huán)骨架曲線呈下降趨勢(shì)，反映了鋼筋混凝土柱加載后期的軟化行為。

圖12 模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.12 Comparison of numerical simulation and experimental data

3 基于OpenSEES的數(shù)值模擬

OpenSEES采用纖維模型建模，纖維模型是指將纖維截面賦予梁柱構(gòu)件，即定義構(gòu)件的每一截面為纖維截面。纖維截面是將構(gòu)件截面劃分成很多小纖維，包括鋼筋纖維和混凝土纖維，對(duì)每一根纖維只考慮它的軸向本構(gòu)關(guān)系，且各個(gè)纖維可以定義不同的本構(gòu)關(guān)系。纖維模型中，假定構(gòu)件的截面在變形過程中滿足平截面假定。

3.1 單元選擇

文中采用OpenSEES中的dispalcement-based beam column element單元，該單元允許剛度沿桿長變化，首先通過節(jié)點(diǎn)位移得到相應(yīng)的單元桿端位移，然后根據(jù)位移插值函數(shù)求得截面的變形，再根據(jù)截面的恢復(fù)力模型得到相應(yīng)截面抗力與截面切線剛度矩陣，最后按照Gauss-Legendre積分方法計(jì)算出整個(gè)截面抗力與切線剛度矩陣。

3.2 混凝土本構(gòu)模型

混凝土采用OpenSEES中的Concrete01本構(gòu)模型。為了考慮箍筋約束作用，截面核心區(qū)混凝土采用Mander模型[11]確定材料參數(shù)。

Mander模型的表達(dá)式如式(18)、式(19)所示。式中和εcc為約束混凝土的峰值應(yīng)力及其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變;fco'和εco為非約束混凝土的峰值應(yīng)力及其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變;為混凝土的割線模量;為混凝土的切線模量。

考慮箍筋約束修正后的混凝土各參數(shù)取值如表5所示。

表5 約束混凝土本構(gòu)參數(shù)取值Table 5 Parametor of constrained concrete

3.3 鋼筋本構(gòu)模型

鋼筋采用OpenSEES中的Steel02模型，該模型為雙折線模型，可反映鋼筋的包興格效應(yīng)，如圖13所示，模型表達(dá)式如式(20)—式(23)所示。式中，σ0和ε0表示雙線性包絡(luò)線屈服點(diǎn)處鋼筋的應(yīng)力和應(yīng)變;σr和εr表示雙線性包絡(luò)線反向點(diǎn)處鋼筋的應(yīng)力和應(yīng)變;b為鋼筋的硬化剛度和原點(diǎn)切線剛度的比值;R，a1和a2為材料常數(shù);ξ為塑性應(yīng)變的絕對(duì)值。各參數(shù)取值見表6。

圖13 Steel02本構(gòu)模型Fig.13 Steel02 constitutive model

表6 鋼筋本構(gòu)參數(shù)取值Table 6 Parameter of steel constitutive model

3.4 模型建立

整根柱沿柱高劃分為四個(gè)單元。每個(gè)單元纖維截面示意圖如圖14所示。核心區(qū)混凝土劃分?jǐn)?shù)為10×10，采用約束混凝土本構(gòu);保護(hù)層混凝土劃分?jǐn)?shù)為10×1和8×1，采用非約束混凝土本構(gòu)。

圖14 纖維截面簡(jiǎn)化示意圖Fig.14 Schematic drawing of a fiber element cross-section

圖15 模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.15 Comparision between numerical simulation and testing results

OpenSEES模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比如圖15所示。從圖中可以看出:①采用OpenSEES模擬時(shí)，滯回環(huán)骨架曲線峰值強(qiáng)度與真實(shí)值較接近，初始剛度略大于真實(shí)值;②數(shù)值模擬所得的滯回環(huán)中，除了第一個(gè)和后三個(gè)滯回環(huán)，其他幾個(gè)滯回環(huán)與真實(shí)情況吻合較好;③滯回環(huán)骨架曲線在后期呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，不能反映鋼筋混凝土柱加載后期強(qiáng)度軟化的現(xiàn)象;④模擬結(jié)果較好地反映了滯回曲線的捏攏現(xiàn)象，與真實(shí)情況較接近。

4 討論

(1)圖15中，除了第一個(gè)和后三個(gè)滯回環(huán)，其他幾個(gè)滯回環(huán)與真實(shí)情況吻合較好，幾乎一致，與ABAQUS模擬結(jié)果相比，能更好地符合真實(shí)情況。其原因可能是由于OpenSEES采用纖維單元建模，而ABAQUS采用實(shí)體單元建模。雖然三維實(shí)體有限元模型可以準(zhǔn)確地模擬一些重要的非線性行為，但是這種模型的使用是有限制的，計(jì)算成本遠(yuǎn)高于纖維模型，同樣的鋼筋混凝土柱，用纖維單元分析只需3分鐘左右，而實(shí)體單元分析卻需要大約2小時(shí)。相比之下離散纖維模型從內(nèi)部纖維的本構(gòu)關(guān)系出發(fā)，可以有效地模擬復(fù)雜的非線性行為，例如損傷導(dǎo)致的剛度和強(qiáng)度退化。由于將構(gòu)件截面劃分成纖維，其位置、截面面積和材料的單軸本構(gòu)關(guān)系都由用戶定義，可以運(yùn)用到各種截面形狀。同一截面不同纖維，可以采用不同的單軸本構(gòu)關(guān)系，例如可以分別考慮保護(hù)層混凝土和核心區(qū)約束混凝土。

(2)OpenSEES中鋼筋本構(gòu)模型采用的是Steel02模型，該模型雖然反映了鋼筋的包興格效應(yīng)，但是并沒有體現(xiàn)鋼筋在低周反復(fù)荷載下的低周疲勞效應(yīng)和斷裂破壞，因此在圖15中，滯回環(huán)的骨架曲線在加載后期呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。

5 結(jié)語

本文選用了低周反復(fù)荷載下的鋼筋混凝土柱進(jìn)行數(shù)值模擬，分別采用了ABAQUS實(shí)體單元建模和OpenSEES纖維單元建模，并將其同試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，顯然OpenSEES模擬所得結(jié)果要好于 ABAQUS所得結(jié)果，且計(jì)算成本遠(yuǎn)低于ABAQUS。故對(duì)于本文中的鋼筋混凝土柱，推薦使用OpenSEES纖維模型。

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