熱傳導(dǎo)方程的一個三層差分格式

陳國玉，謝英超，程燕

(陸軍軍官學(xué)院a.數(shù)學(xué)教研室;b.研究生管理大隊，合肥230031)

熱傳導(dǎo)方程的一個三層差分格式

陳國玉a，謝英超b，程燕a

(陸軍軍官學(xué)院a.數(shù)學(xué)教研室;b.研究生管理大隊，合肥230031)

有限差分方法是求解偏微分方程的重要的數(shù)值方法之一。利用有限差分方法構(gòu)造了一個三層差分格式，當(dāng)θ=1－時截斷誤差達(dá)到了O(τ2+h4)，并將精確解和數(shù)值解進(jìn)行了對比，數(shù)值結(jié)果顯示，該格式是求解熱傳導(dǎo)方程的高精度格式。

有限差分法;熱傳導(dǎo)方程;差分格式;截斷誤差;matlab

本文考慮一維熱傳導(dǎo)方程的定解問題

其中:a為常數(shù)，φ(x)為連續(xù)函數(shù)。

目前常用的差分格式有向前Euler格式、向后Euler格式、Crank－Nicolson格式、Richardson格式，這些格式的精度都不高，本文將給出一個新的三層差分格式，精度將達(dá)到O(τ2+h4)，并通過數(shù)值例子進(jìn)行驗證。

1 差分格式的建立

為了使精度達(dá)到O(τ2+h4)，用關(guān)于t的向后二步差商近似，即

得到下面的差分格式:

2 格式的截斷誤差

式(1)的截斷誤差為

由泰勒公式得

故有

3 差分格式的先驗估計式

4 數(shù)值例子

考慮一維熱傳導(dǎo)方程的定解問題

編寫Matlab程序，給出精確解，數(shù)值解及誤差的圖形(圖1為精確解的圖形，圖2精確解的圖形，圖3為誤差的圖形，圖4為當(dāng)θ=1－112r ≈0.1975時的誤差圖)。

圖1 精確解的圖形(Ucf)

圖2 精確解的圖形(Uj)

圖3 誤差的圖形

圖4 當(dāng)θ=1－≈0.1975時的誤差

差分格式和精確解的絕對誤差如表1所示。

表1 差分格式和精確解的絕對誤差(縱向為x橫向為t)

由圖形及表格可以看出所構(gòu)造的格式是有效的。

［1］陳國玉.邱國新.擬線性雙曲－拋物奇異攝動問題的O(ε3)階漸近展開［J］.甘肅科學(xué)學(xué)報，2008(1):20－23.

［2］陳國玉.擬線性雙曲－拋物奇異攝動問題的變步長差分格式［J］.甘肅科學(xué)學(xué)報，2012，24(2):17－19.

［3］郭明普，呂保獻(xiàn).Schr?dinger方程的一個新顯格［J］.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院學(xué)報，2003，21(2):17－18.

［4］孫志忠.偏微分方程數(shù)值解法［M］.北京:科學(xué)出版社，2005.

［5］戴嘉尊.邱建賢.微分方程數(shù)值解法［M］.南京:東南大學(xué)出版社，2004.

(責(zé)任編輯楊繼森)

Three-leval Scheme for Solving Heat Conduction Equation

CHEN Guo－yua，XIE Ying－chaob，CHENG Yana
(a.Department of Basic Courses;b.Graduate Management Unit，Army Officer Academy of PLA，Hefei230031，China)

Finite difference method is one of the numericalmethods for solving partial differential equations.In this paper，a three－level schemewas builtby using themethod.Its truncation error is O(τ2+h4) whenθ=1－.The exact solution and the numerical solution obitained by this schemewere compared.The comparison shows that this scheme provides highly numerical solution for heat conduction equation.

:finite differencemethod;heat condition equations;difference scheme;truncation error;matlab Citation form at:CHEN Guo－yu，XIE Ying－chao，CHENG Yan.Three－leval Scheme for Solving Heat Conduction Equation［J］.Journal of Sichuan Ordnance，2014(7):143－146.

O241.82Key words:A

1006－0707(2014)07－0143－04

本文引用格式:陳國玉，謝英超，程燕.熱傳導(dǎo)方程的一個三層差分格式［J］.四川兵工學(xué)報，2014(7):143－146.

10.11809/scbgxb2014.07.040

2014－03－10

解放軍陸軍軍官學(xué)院基金(2013xyjj－023)。

陳國玉(1974—)，女，碩士，講師，主要從事偏微分方程研究。