重力與磁力測量數(shù)據(jù)向下延拓中最優(yōu)正則化參數(shù)確定方法

劉曉剛,李迎春,肖 云,翟振和

1.西安測繪研究所,陜西西安 710054;2.地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710054;3.武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢 430079

重力與磁力測量數(shù)據(jù)向下延拓中最優(yōu)正則化參數(shù)確定方法

劉曉剛1,2,3,李迎春1,2,肖 云1,2,翟振和1,2

1.西安測繪研究所,陜西西安 710054;2.地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710054;3.武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢 430079

根據(jù)觀測面和延拓面測量數(shù)據(jù)的Poisson積分平面近似關(guān)系,結(jié)合快速傅里葉變換算法,將其轉(zhuǎn)換到頻率域進(jìn)行計(jì)算,提高了計(jì)算速度。同時,為了克服計(jì)算的不穩(wěn)定性并進(jìn)一步提高計(jì)算精度,引入Landweber正則化迭代法,并在此基礎(chǔ)上采用L曲線法研究了最優(yōu)正則化參數(shù)的確定。最后,采用模型磁測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了L曲線法在確定磁場反演正則化參數(shù)時的有效性,取得了較好的延拓結(jié)果。

向下延拓;正則化參數(shù);Landweber正則化迭代法;快速傅里葉變換;L曲線法

1 引 言

在實(shí)際工作中,航空重力與磁力測量通常是在起伏的航線上進(jìn)行的。然而重力與磁力資料的定量解釋方法一般要求測量數(shù)據(jù)分布在一個平面上,因此需要將實(shí)測資料換算到一個平面上。

重力與磁力測量數(shù)據(jù)的向下延拓直接關(guān)系到這些數(shù)據(jù)的處理及反演方法的應(yīng)用效果。利用向下延拓可以把重力與磁力測量數(shù)據(jù)的觀測面外推到場源體附近,突出局部場,有利于提高重力與磁力測量數(shù)據(jù)解釋的可靠性。然而,向下延拓是一個典型的不適定問題,主要表現(xiàn)為計(jì)算的不穩(wěn)定性。隨著向下延拓深度的增大,會對重力與磁力測量數(shù)據(jù)中的高頻干擾信號起著顯著的放大作用,導(dǎo)致不能分辨有效信號。

目前處理不適定問題的主要方法是采用正則化技術(shù),國內(nèi)外學(xué)者也作了大量的研究。文獻(xiàn)[1]采用正則化技術(shù)研究了位場數(shù)據(jù)的向下延拓,并推導(dǎo)出了穩(wěn)定的頻率域延拓算子;文獻(xiàn)[2]討論了正則化方法位場向下延拓的4個頻率響應(yīng)公式;文獻(xiàn)[3]介紹了解決非線性病態(tài)性問題的改進(jìn)Landweber迭代法的收斂分析;文獻(xiàn)[4]評述了向下延拓及其基于Tikhonov正則化算法的正則化過程;文獻(xiàn)[5]研究了航空和地表重力數(shù)據(jù)向下延拓的幾種正則化方法;文獻(xiàn)[6]基于Poisson積分方程,給出了向下延拓的正則化算法;文獻(xiàn)[7]采用正則化方法中的Landweber迭代法來處理不適定問題;文獻(xiàn)[8—9]結(jié)合Tikhonov正則化算法和移去-恢復(fù)技術(shù)對航空重力測量數(shù)據(jù)進(jìn)行了向下延拓的仿真試驗(yàn);文獻(xiàn)[10]根據(jù)逆Poisson積分方程,采用L曲線法確定Tikhonov正則化參數(shù);文獻(xiàn)[11]研究了位場數(shù)據(jù)的正則化向下延拓法,并考慮了幾種有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的正則化方案;文獻(xiàn)[12]研究了迭代正則化方法(包括迭代Tikhonov法、Landweber迭代法和截?cái)嗥娈愔捣纸夥?在位場下延中的應(yīng)用;文獻(xiàn)[13]比較3種正則化參數(shù)的選取方法;文獻(xiàn)[14]推導(dǎo)了積分迭代法對應(yīng)的正則化濾波子函數(shù);文獻(xiàn)[15]探討了3種空間域迭代解法在位場向下延拓中的異同和各自優(yōu)勢;文獻(xiàn)[16]提出了Tikhonov雙參數(shù)正則化法;文獻(xiàn)[17]提出將廣義嶺估計(jì)用于求解航空重力向下延拓病態(tài)問題,研究了求解逆Poisson積分問題的3種正則化方法。

在向下延拓的正則化方法研究中,正則化參數(shù)的確定是一項(xiàng)非常重要的任務(wù),參數(shù)選擇的優(yōu)劣直接影響了最終延拓結(jié)果的精度。目前,許多重力與磁力測量數(shù)據(jù)向下延拓方法都使用了正則化技術(shù)。然而,最佳正則化因子的確定,在模擬試驗(yàn)中是在延拓面數(shù)據(jù)已知的情況下根據(jù)最小延拓誤差來估算的。而對于實(shí)際的重力與磁力測量數(shù)據(jù)向下延拓,延拓面并不一定存在已知的測量數(shù)據(jù)。因此,在這種情況下如何確定最優(yōu)正則化參數(shù),是應(yīng)該重點(diǎn)研究的問題?？傮w來說,在目前的重力與磁力測量數(shù)據(jù)向下延拓的正則化技術(shù)研究中,有關(guān)正則化參數(shù)確定方法的研究較少。因此,最優(yōu)正則化參數(shù)的確定問題研究具有重要意義。

本文根據(jù)觀測面和延拓面重力與磁力測量數(shù)據(jù)的Poisson積分平面近似關(guān)系,結(jié)合快速傅里葉變換算法,將其轉(zhuǎn)換到頻率域進(jìn)行計(jì)算。為了克服計(jì)算的不穩(wěn)定性并提高計(jì)算結(jié)果的精度,引入Landweber正則化迭代法,在此基礎(chǔ)上采用L曲線法研究磁力數(shù)據(jù)向下延拓中最優(yōu)正則化參數(shù)的確定。

2 重力與磁力測量數(shù)據(jù)向下延拓的基礎(chǔ)模型

重力與磁力測量數(shù)據(jù)向下延拓的基本原理如圖1所示。

圖1 向下延拓示意圖Fig.1 Downward continuation sketch map

u0(x,y)表示觀測面上的重力與磁力測量數(shù)據(jù),uh(ξ,η)表示延拓面上的重力與磁力測量數(shù)據(jù),計(jì)算觀測面以下至場源以上空間z＝h平面的重力與磁力測量數(shù)據(jù),這種換算稱為重力與磁力測量數(shù)據(jù)向下延拓。

根據(jù)重力與磁力測量數(shù)據(jù)向上延拓公式,得到觀測面重力與磁力測量數(shù)據(jù)u0(x,y)與向下延拓面重力與磁力數(shù)據(jù)uh(x,y)之間的平面近似關(guān)系為[19]

式中,h是向下延拓深度;r是延拓面上點(diǎn)(ξ,η, h)與觀測面上點(diǎn)(x,y,0)之間的距離。

對上式進(jìn)行傅里葉變換,經(jīng)過整理,得到向下延拓的基本原理公式

式中,f＝(u2＋v2)1/2,u、v為波數(shù),分別表示空域變量x、y對應(yīng)的頻域變量。

從式(2)可以看出,由于向下延拓算子e2πfh的不穩(wěn)定性,會對重力與磁力測量數(shù)據(jù)中的高頻噪聲有著顯著的放大作用,在延拓深度較大時導(dǎo)致延拓結(jié)果精度不高,為了解決這種不適定問題,需要引入正則化因子,因此,研究了Landweber正則化迭代法數(shù)學(xué)模型。

式(1)可以修改為

對式(6)兩端進(jìn)行傅里葉變換,并由數(shù)學(xué)歸納法,經(jīng)過調(diào)整,即可得到重力與磁力測量數(shù)據(jù)向下延拓的Landweber正則化迭代法公式為[3,14-15]

利用式(7)進(jìn)行重力與磁力測量數(shù)據(jù)的向下延拓時,如果是采用仿真數(shù)據(jù),則可以根據(jù)觀測面和延拓面的仿真數(shù)據(jù)來求解其最優(yōu)正則化參數(shù),但在處理實(shí)測數(shù)據(jù)時,最優(yōu)正則化參數(shù)的確定就需要采用其他方法,本文使用的是L曲線法。

3 L曲線法

利用一階和二階差分可以得到ρ和θ的一階和二階導(dǎo)數(shù)。根據(jù)給定的α值,利用FFT算法,可快速計(jì)算得到相應(yīng)的c(α)序列,繪成曲線后其極大值所對應(yīng)的正則化參數(shù)即為確定的正則化參數(shù)α?。

4 數(shù)值試驗(yàn)與結(jié)果分析

本文在數(shù)值試驗(yàn)時,以磁力測量數(shù)據(jù)為例來對最優(yōu)正則化參數(shù)的確定方法進(jìn)行研究。

4.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)仿真

利用球體磁場模型計(jì)算磁異常的公式為[20]

式中,μ0為真空中的磁導(dǎo)率,μ0＝4π×10－7H/m; M為磁化強(qiáng)度;v為球體模型的體積;I為磁化傾角;A′為磁化偏角;(ε,η,ξ)為球心點(diǎn)坐標(biāo);(x,y, z)為空間一點(diǎn)的坐標(biāo)。

為了增加磁力試驗(yàn)數(shù)據(jù)的復(fù)雜性,本文共設(shè)計(jì)了4個不同位置、不同埋深的球體磁場模型,并將其產(chǎn)生的磁異常進(jìn)行疊加。球體磁場模型采用的基本參數(shù)如表1所示。

表1 球體磁場模型采用的基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters adopted by sphere magnetic field model

球體磁場模型采用的球心坐標(biāo)如表2所示。

表2 球體磁場模型采用的球心坐標(biāo)Tab.2 Sphere-centered coordinates adopted by sphere magnetic field model m

磁異常數(shù)據(jù)的格網(wǎng)分辨率為50 m×50 m,點(diǎn)數(shù)為221×221。根據(jù)球體磁場公式分別計(jì)算z＝0 m和z＝300 m兩個不同觀測面上的理論磁異常數(shù)據(jù)。圖2、圖3分別為觀測面z＝0 m和z＝300 m的理論磁異常數(shù)據(jù)等值線圖。為了驗(yàn)證本文確定最優(yōu)正則化參數(shù)方法的有效性,在z＝0 m觀測面理論磁異常數(shù)據(jù)中加入均值為0、方差為3 n T的高斯白噪聲,其等值線圖如圖4所示。

圖2 觀測面z＝0 m的理論磁異常數(shù)據(jù)等值線(單位:n T)Fig.2 Isoline figure of theoretical magnetic anomaly data on the plane of z＝0 m(unit:n T)

圖3 觀測面z＝300 m的理論磁異常數(shù)據(jù)等值線圖(單位:n T)Fig.3 Isoline figure of theoretical magnetic anomaly data on the plane of z＝300 m(unit:n T)

圖4 z＝0 m觀測面加入3 n T高斯白噪聲后的理論磁異常數(shù)據(jù)等值線圖(單位:n T)Fig.4 Isoline of theoretical magnetic anomaly data added with 3 n T white noise on the plane of z＝0 m(unit:n T)

其統(tǒng)計(jì)特性如表3所示。

表3 兩個觀測面上的理論磁異常數(shù)據(jù)Tab.3 Theoretical magnetic anomaly data on two observation plane

4.2 Landweber正則化迭代法試驗(yàn)結(jié)果

在對Landweber正則化迭代法的延拓精度進(jìn)行測試時,首先需要對延拓誤差與正則化因子及迭代次數(shù)的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。具體計(jì)算時,取正則化因子分別為α＝0.5、1.0、1.5、2.0。延拓誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系如圖5所示。當(dāng)?shù)螖?shù)分別取10次、20次、30次和40次時,延拓誤差與正則化因子的關(guān)系如圖6所示。

圖5 延拓誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系圖Fig.5 Relationship figure of continuation error and iteration times

圖6 延拓誤差與正則化因子的關(guān)系圖Fig.6 Relationship figure of continuation error and regularization factors

從圖5可以看出,對于不同的正則化因子, Landweber正則化迭代法在曲線的拐點(diǎn)處取得了最小的延拓誤差。但是當(dāng)正則化因子α＝2.0時,延拓誤差突然增大,因此可以得知,選取的正則化因子不宜過大,以小于2.0為宜。

從圖6可以看出,迭代次數(shù)越多時,在取得最小延拓誤差處對應(yīng)的正則化因子越小。另外,在正則化因子大于2.0時,可以看到延拓誤差急劇增大,這與圖5顯示的結(jié)果相符,說明在采用Landweber正則化迭代法進(jìn)行磁場數(shù)據(jù)向下延拓時,正則化因子應(yīng)該小于2.0。

表4表示Landweber正則化迭代法在延拓結(jié)果取得最小延拓誤差時對應(yīng)的正則化因子和迭代次數(shù)。

表4 最小延拓誤差對應(yīng)的正則化因子和迭代次數(shù)Tab.4 Regularization factors and iteration times corresponding to the least continuation error n T

圖7給出了Landweber正則化迭代法在取得最小延拓誤差(即α＝1.171)時對應(yīng)的延拓結(jié)果等值線圖。

圖7 延拓結(jié)果等值線圖(單位:n T)Fig.7 Isoline figure of continuation results(unit:n T)

從圖3、圖7比較看,Landweber正則化迭代法延拓結(jié)果對延拓面上理論磁異常數(shù)據(jù)的逼近效果很好。

4.3 L曲線法試驗(yàn)結(jié)果

圖8和圖9分別為迭代次數(shù)取30時Landweber正則化迭代法對應(yīng)的曲率函數(shù)圖和L曲線圖,圖8中曲率最大值點(diǎn)即對應(yīng)著最優(yōu)正則化參數(shù),也就是圖9中L曲線中的拐點(diǎn)處,有趣的是圖9中的曲線形狀為倒L型。從圖8可知,α?＝0.732,將α?代入式(7),可以得到L曲線法選取的正則化因子對應(yīng)的延拓結(jié)果,其等值線圖如圖10所示。

由圖10和圖3的比較可以看出,Landweber正則化迭代法中,根據(jù)L曲線法確定的最優(yōu)正則化因子,其對應(yīng)的延拓結(jié)果對延拓面上的理論磁異常數(shù)據(jù)的逼近效果較好。

圖8 曲率函數(shù)圖Fig.8 Curvature function figure

圖9 L曲線圖Fig.9 L-curve figure

圖10 L曲線法選取的正則化因子對應(yīng)延拓結(jié)果的等值線圖(單位:n T)Fig.10 Isoline figure of the continuation results corresponding to regularization factor chosen by L-curve method(unit:n T)

表5為延拓面數(shù)據(jù)未知時利用L曲線法選取的正則化因子對應(yīng)的延拓結(jié)果精度統(tǒng)計(jì)情況。通過與表4比較可以看出,本文利用L曲線法來確定正則化因子,對于Landweber正則化迭代法來說精度較好。

表5 L曲線法選取的正則化因子α對應(yīng)的延拓結(jié)果精度統(tǒng)計(jì)Tab.5 Statistic of the continuation results corresponding to regularization factorαchosen by L-curve method n T

從圖9可以看出,L曲線主要由一個“水平”的部分和一個接近“垂直”的部分組成。水平部分對應(yīng)的解表示正則化參數(shù)太大,因此這部分解主要由正則化誤差影響較大;垂直部分對應(yīng)的解表示正則化參數(shù)太小,因此這部分解主要由觀測數(shù)據(jù)誤差影響較大。所以,水平部分和垂直部分分別表示過于平滑解和不太平滑解,只有曲線的拐點(diǎn)處則是對這兩種解最好的平衡。

利用理論磁場反演實(shí)例表明:①當(dāng)正則化參數(shù)小于2時,反演效果很好,當(dāng)正則化參數(shù)大于2時,反演效果迅速變差;②當(dāng)正則化參數(shù)處于[0.7,2]區(qū)間時,反演效率最好,因?yàn)橹恍?0步反演就能取得精確的結(jié)果;③當(dāng)正則化參數(shù)小于2時,反演效果均不錯,而L曲線法確定的正則化參數(shù)(0.732)亦小于2,這也說明了L曲線法在確定正則化參數(shù)時的有效性。

5 結(jié) 論

本文采用L曲線法研究了Landweber正則化迭代法中最優(yōu)正則化參數(shù)的確定問題,并通過模型磁測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了L曲線法在確定正則化參數(shù)時的有效性。重力測量數(shù)據(jù)與磁力測量數(shù)據(jù)同屬于位場數(shù)據(jù),因此,L曲線法在重力測量數(shù)據(jù)的正則化向下延拓中也同樣適用,只是其確定的正則化參數(shù)會有所不同。

對于正則化參數(shù)的確定,當(dāng)觀測數(shù)據(jù)噪聲水平已知時,可以通過偏差原理、廣義偏差原理、Arcangeli準(zhǔn)則等方法確定;當(dāng)數(shù)據(jù)噪聲水平未知時,可以通過擬最優(yōu)準(zhǔn)則、廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則、L曲線準(zhǔn)則等方法來確定。本文僅研究了L曲線法,還需要對其他方法的適用性進(jìn)行試驗(yàn)。

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(責(zé)任編輯:宋啟凡)

Optimal Regularization Parameter Determination Method in Downward Continuation of Gravimetric and Geomagnetic Data

LIU Xiaogang1,2,3,LI Yingchun1,2,XIAO Yun1,2,ZHAI Zhenhe1,2
1.Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping,Xi’an 710054,China;2.State Key Laboratory of Geo-Information Engineering,Xi’an 710054,China;3.Key laboratory of Geo-space Environment and Geodesy of Ministry of Education,Wuhan University,Wuhan 430079,China

Downward continuation is one of the key steps in the processing of gravimetric and geomagnetic data.However,downward continuation is a typical ill-posed problem,and its computation is unstable.Therefore,the regularization methods are needed in order to realize the effective continuation of gravimetric and geomagnetic data,and the determination of regularization parameter is the most important content in the study of downward continuation by regularization method.According to the Poisson integral plane approximate relationship between observation and continuation data,and combining with fast Fourier transform(FFT)algorithm,the computation formulae were transformed to frequency domain so as to accelerate the computational speed.The Landweber regularization iteration method was introduced so that the instability could be overcome and the results precision could be improved,based on that the determination method of optimal regularization parameter in downward continuation was studied by L-curve method.The availability of regularization parameter was validated by simulated geomagnetic data, and continuation results in good precision were also derived.

downward continuation;regularization parameter;Landweber regularization iteration method; fast fourier transform(FFT);L-curve method

LIU Xiaogang(1983—),male,PhD,assistant researcher,majors in the satellite gravimetry.

P228

A

1001-1595(2014)09-0881-07

國家自然科學(xué)基金(41304022;41174026;41104047);國家973項(xiàng)目(61322201; 2013CB733303);地球空間環(huán)境和大地測量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(13-01-08);“高分辨率對地觀測系統(tǒng)重大專項(xiàng)”青年創(chuàng)新基金(GFZX04060103-5-12)

2013-12-24

劉曉剛(1983—),男,博士,助理研究員,主要從事衛(wèi)星重力測量研究。

E-mail:liuxiaogang_1949＠163.com

LIU Xiaogang,LI Yingchun,XIAO Yun,et al.Optimal Regularization Parameter Determination Method in Downward Continuation of Gravimetric and Geomagnetic Data[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(9):881-887.(劉曉剛,李迎春,肖云,等.重力與磁力測量數(shù)據(jù)向下延拓中最優(yōu)正則化參數(shù)確定方法[J].測繪學(xué)報(bào),2014,43(9):881-887.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0160

修回日期:2014-06-27