常見(jiàn)直線與曲線比較問(wèn)題的深度分析

張洪明

(寧波市北侖明港高級(jí)中學(xué) 浙江 寧波 315800)

1 相同位移無(wú)初速度曲面與斜面下滑快慢比較

如圖1所示，物體(可以看成質(zhì)點(diǎn))第一次從靜止開(kāi)始沿著光滑斜面從頂端A點(diǎn)下滑到斜面底端B點(diǎn)，所用時(shí)間為t1；第二次從靜止開(kāi)始沿著光滑曲面從頂端A點(diǎn)下滑到曲面底端B點(diǎn)，所用時(shí)間為t2.請(qǐng)比較二次所用時(shí)間的大小？

A.t1>t2B.t1=t2

C.t1

圖1

常見(jiàn)錯(cuò)誤解法：采取速度-時(shí)間圖像即v-t圖像來(lái)解析，沿著直線AB下滑是勻變速直線運(yùn)動(dòng)a=gsinθ，而曲面下滑時(shí)的加速度a=gsinφ(θ與φ分別是切線與水平方向的夾角),曲線下滑的加速度逐漸減小，由于v-t圖像中曲線與時(shí)間軸所圍的面積Ⅰ和直線與時(shí)間軸所圍成的面積Ⅱ相等(即位移相等)，如圖2(a),必然是曲線運(yùn)動(dòng)下滑的時(shí)間比直線下滑的時(shí)間短，結(jié)論為A，t1>t2．

圖2

比較軌跡中任一點(diǎn)與最低點(diǎn)，應(yīng)滿足

圖3

因?yàn)?/p>

y=R(1-cosθ)

則

既然，擺線自由下滑的時(shí)間是最短的．那么，題目中的曲線沒(méi)有說(shuō)明是否是擺線，所以就存在三種可能

(1)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間大于曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

(2)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

(3)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

拓展應(yīng)用：如圖4所示，AB和AC為兩等高的光滑面，AB為斜面，AC為曲面，且二者路程相等．今從A處由靜止釋放一小物體，沿AB面運(yùn)動(dòng)時(shí)，到達(dá)B用時(shí)間為t1；沿AC面運(yùn)動(dòng)時(shí)，到達(dá)C用時(shí)間為t2．試比較t1和t2的大?。?/p>

證明方法同上，結(jié)論t1>t2．

圖4

2 相同位移相同初速度曲面與水平直線運(yùn)動(dòng)快慢比較

如圖5所示，讓一個(gè)小球(可以看成質(zhì)點(diǎn))沿著光滑直線AB與沿著光滑曲面CDE運(yùn)動(dòng)，曲面水平方向位移與直線相同，曲面對(duì)稱(chēng)，兩次初速度都是水平方向v0,比較沿著直線運(yùn)動(dòng)到右端所用的時(shí)間t1與沿著曲線運(yùn)動(dòng)到右端所用的時(shí)間t2大小關(guān)系

A.t1>t2B.t1=t2

C.t1

圖5

也就是說(shuō)在前半程的任意時(shí)刻在曲線運(yùn)動(dòng)中沿著水平方向分速度都大于直線運(yùn)動(dòng)同位置的水平速度．這樣前一半位移內(nèi)曲線運(yùn)動(dòng)水平方向的平均速度快，另一半所用時(shí)間對(duì)稱(chēng)，所以結(jié)論為

t1>t2

拓展思考：光滑直線AB與光滑曲面CDE水平位移相同，直線初速度是水平方向v0,曲線初速度大小也是v0，比較沿著直線運(yùn)動(dòng)到右端所用的時(shí)間t1與曲線運(yùn)動(dòng)到右端所用的時(shí)間t2大小關(guān)系

A.t1>t2B.t1=t2

C.t1

解析：?jiǎn)栴}乍一看上去好像和問(wèn)題2一樣，仔細(xì)推敲還是與問(wèn)題2有所不同，主要區(qū)別在于曲線運(yùn)動(dòng)的水平方向的分初速度變?yōu)関x

從任意時(shí)刻的速度水平方向上的分量來(lái)看，我們不能確定在下降到最低點(diǎn)之前，在曲面上運(yùn)動(dòng)時(shí)水平方向上速度的水平分速度的平均值與直線上的速度大小無(wú)法確定．

所以結(jié)論是不確定．

圖6

3 相同位移相同動(dòng)摩擦因數(shù)曲面摩擦力做功與斜面摩擦力做功比較

A.W1>W2B.W1=W2

C.W1

圖7

常見(jiàn)錯(cuò)誤解法：沿著斜軌道滑動(dòng)摩擦力做功，受力分析不難求解出為W2=μmgLcosθ=μmgR(其中L為斜面長(zhǎng)，θ為斜面與水平面的夾角)這是很多教師會(huì)直接得出一個(gè)重要的結(jié)論，就是無(wú)論斜面的與水平面的夾角有多大，只要水平位移相等的話，那么滑動(dòng)摩擦力做功就等于μmgR．沿著圓弧摩擦力做功直接很難求解，這時(shí)可以引用斜面做功的結(jié)論，把圓弧分成N份如圖8(a)，當(dāng)N∞大時(shí)可以用直線逼近曲面，在每一小段斜面上滑動(dòng)時(shí)，其滑動(dòng)摩擦力做功都等于μmgL水平，那么把每一小段的滑動(dòng)摩擦力做功進(jìn)行累加，也就相等于圓弧在水平方向投影長(zhǎng)度一樣，那么結(jié)論就是滑動(dòng)摩擦力在圓弧上做功W1=μmgR，結(jié)論為W1=W2，以上分析方法是錯(cuò)誤的．

圖8

錯(cuò)解剖析：上述結(jié)論應(yīng)用過(guò)程中形成這樣一個(gè)結(jié)論的本質(zhì)就是物體與斜面之間的彈力

FN=mgcosθ

導(dǎo)致在斜面上滑動(dòng)摩擦力做功為

W=FNL=μmgLcosθ=μmgs

s為斜面所對(duì)應(yīng)的水平位移大小．而實(shí)際上物體在沿著圓弧下滑時(shí)，由于實(shí)際運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)需要向心力，此時(shí)受力如圖8(b)所示

無(wú)論在哪個(gè)位置

這樣就導(dǎo)致此時(shí)的滑動(dòng)摩擦力在任意微元弧長(zhǎng)Δs內(nèi)做的元功為

如果對(duì)整個(gè)圓弧進(jìn)行積分所得做的功比直線逼近圓弧時(shí)做的功要多．這樣告訴我們一個(gè)重要的事實(shí)就是在進(jìn)行曲線分割用微元法求解相應(yīng)問(wèn)題的時(shí)，任意曲線運(yùn)動(dòng)應(yīng)該用一系列的圓形進(jìn)行逼近，這樣才能保證向心力的存在符合事實(shí)．類(lèi)似的當(dāng)曲面向外突出時(shí)候所得到結(jié)果應(yīng)該是

所得到的元功為

對(duì)整個(gè)弧長(zhǎng)累加的結(jié)果是得到功比沿斜面下滑滑動(dòng)摩擦力做的總功要少．以前結(jié)果是我們?cè)谥本€下滑時(shí)進(jìn)行了理想處理認(rèn)為在任意一個(gè)轉(zhuǎn)角處沒(méi)有機(jī)械能損耗，實(shí)際上速度的改變是需要力的作用，這樣就導(dǎo)致用直線逼近曲線的結(jié)果與直接用曲線求得的結(jié)果存在一定的差異．因此，W1>W2，正確結(jié)論為A.

參考文獻(xiàn)

1 趙燦冬.擺線性質(zhì)的物理分析方法.大學(xué)物理,2010，29(2):11～13