恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)中避免偽壽命分布誤指定的一種建模方法

徐廷學(xué),王浩偉,張磊

(1.海軍航空工程學(xué)院兵器科學(xué)與技術(shù)系,山東煙臺(tái) 264000;2.海軍航空工程學(xué)院科研部,山東煙臺(tái) 264000)

恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)中避免偽壽命分布誤指定的一種建模方法

徐廷學(xué)1,王浩偉1,張磊2

(1.海軍航空工程學(xué)院兵器科學(xué)與技術(shù)系,山東煙臺(tái) 264000;2.海軍航空工程學(xué)院科研部,山東煙臺(tái) 264000)

為了避免恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)(CSADT)中偽壽命分布類型誤指定的發(fā)生,提出了基于退化軌跡參數(shù)折算的建模方法。區(qū)別于傳統(tǒng)建模方法對(duì)壽命分布模型的參數(shù)進(jìn)行加速建模的做法,提出的建模方法對(duì)退化軌跡函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行加速建模,以獲取所有樣品在工作應(yīng)力下的偽壽命值從而可以準(zhǔn)確辨識(shí)其分布類型。通過某型碳膜電阻CSADT數(shù)據(jù)對(duì)所提方法進(jìn)行了實(shí)例應(yīng)用,研究結(jié)果表明所提方法有效解決了偽壽命分布誤指定問題。

兵器科學(xué)與技術(shù)；恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)；偽壽命；誤指定；加速系數(shù)

0 引言

加速壽命試驗(yàn)(ALT)和加速退化試驗(yàn)(ADT)可為快速評(píng)估產(chǎn)品的可靠性提供有效、可行的手段,因此成為了可靠性領(lǐng)域的重要研究方向[1-3]。通常情況下,ADT比ALT更為高效,因?yàn)闃悠吩贏DT中勿需失效,可通過樣品的退化規(guī)律預(yù)測(cè)出失效時(shí)間,預(yù)測(cè)的失效時(shí)間被稱為偽壽命。恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)(CSADT)憑借其比較容易操控的試驗(yàn)過程和成熟的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方法,被廣泛應(yīng)用于產(chǎn)品的可靠性評(píng)估[4-7]。

在CSADT建模時(shí),確定樣品偽壽命的分布類型是非常重要的環(huán)節(jié),直接影響到產(chǎn)品壽命預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。目前,對(duì)產(chǎn)品壽命分布類型的確定有3種途徑[8]:一是通過分析產(chǎn)品的失效機(jī)理確定;二是根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)或?qū)＜遗袛啻_定;三是通過對(duì)壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)擬合檢驗(yàn)確定。對(duì)一些新產(chǎn)品來說,由于缺少工程經(jīng)驗(yàn)和歷史認(rèn)識(shí),失效機(jī)理又沒被完全掌握,第3種途徑比較穩(wěn)妥,本文針對(duì)第3種方法研究避免分布類型誤指定的問題。傳統(tǒng)的基于偽壽命的建模方法(以下簡稱傳統(tǒng)方法)需要估計(jì)出各個(gè)應(yīng)力水平下的偽壽命值,根據(jù)Pieruschka假定[9],產(chǎn)品在各個(gè)應(yīng)力水平下的偽壽命值應(yīng)服從同一分布類型。然而在實(shí)際應(yīng)用中,各應(yīng)力水平下壽命值的最優(yōu)擬合分布類型往往并不一致,難以判斷產(chǎn)品壽命的最優(yōu)分布類型,容易造成分布類型誤指定。

CSADT中的傳統(tǒng)方法源自恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)(CSALT),區(qū)別是增加了利用退化軌跡函數(shù)對(duì)產(chǎn)品退化過程建模的步驟。針對(duì)此特點(diǎn),本文提出了基于退化軌跡函數(shù)參數(shù)折算的建模方法,利用加速模型對(duì)退化軌跡函數(shù)的各參數(shù)與加速應(yīng)力之間的關(guān)系進(jìn)行建模,而傳統(tǒng)方法是利用加速模型對(duì)分布函數(shù)的各參數(shù)與加速應(yīng)力之間的關(guān)系進(jìn)行建模。參數(shù)折算的方法可獲得所有樣品在工作應(yīng)力水平下的偽壽命值,從而可以對(duì)所有偽壽命值統(tǒng)一進(jìn)行最優(yōu)擬合檢驗(yàn),有效避免產(chǎn)品壽命分布誤指定的發(fā)生。

1 退化建模與參數(shù)估計(jì)

假設(shè)tijk為第j個(gè)樣品在第k個(gè)加速應(yīng)力下進(jìn)行第i次測(cè)量的時(shí)間點(diǎn),y(tijk)為相應(yīng)的退化增量測(cè)量值,有y(0)=0,i=1,2,…,njk,j=1,2,…,mk,k= 1,2,…,l,其中l(wèi)表示加速應(yīng)力的總數(shù),mk表示第k個(gè)加速應(yīng)力下的樣品數(shù),njk表示第j個(gè)樣品在第k個(gè)加速應(yīng)力下的測(cè)量次數(shù)。樣品的退化軌跡函數(shù)可由(1)式表示[10]:

式中:g(tijk;θ)表示樣品的退化增量真值;θ表示未知參數(shù)向量;εijk為測(cè)量誤差,且εijk～N(0,σ2jk);

樣品的退化軌跡一般可分為直線型、指數(shù)型和冪律型,指數(shù)型和冪律型可通過對(duì)數(shù)變化轉(zhuǎn)換成直線型。不失一般性,假設(shè)退化軌跡為冪律型,則

式中:a,b為未知參數(shù);θ=(a,b).

對(duì)于ADT中的每一個(gè)樣品,可通過其測(cè)量值(yjk,tjk),得到退化軌跡函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值jk.由(1)式可得[yijk-g(tijk,θ)]～N(0,σ),則可對(duì)每個(gè)樣品建立如下的極大似然函數(shù)并估計(jì)出:

2 參數(shù)的加速模型

Pieruschka在1961提出了ALT的第1個(gè)基本假定:在不同的應(yīng)力水平下,產(chǎn)品的壽命服從同族的失效分布類型,即改變應(yīng)力水平不改變失效分布族,而僅僅改變分布參數(shù)。此后,關(guān)于ALT的所有假定都在這一基本假定下展開。Pieruschka假定在ADT中得到了擴(kuò)展:在不同的應(yīng)力水平下,產(chǎn)品的退化路徑應(yīng)服從同一形式,改變應(yīng)力水平不改變退化路徑的形式,而僅僅改變其中的參數(shù)。據(jù)此,可推斷參數(shù)a應(yīng)該隨著應(yīng)力變化而改變,參數(shù)b決定著產(chǎn)品退化路徑的形狀,應(yīng)該與應(yīng)力無關(guān)。假設(shè)加速應(yīng)力為溫度T,選擇Arrhenius方程作為加速模型,則可設(shè)

式中:γ1、γ2為待定系數(shù)。

2.1 參數(shù)與加速應(yīng)力關(guān)系的推導(dǎo)

Pieruschka假定指出分布參數(shù)在加速應(yīng)力下會(huì)發(fā)生改變,卻沒有說明會(huì)如何變化。周源泉等[11]提出了加速系數(shù)不變?cè)瓌t,并在此基礎(chǔ)上給出了推導(dǎo)分布函數(shù)的各參數(shù)如何變化的方法。加速系數(shù)不變?cè)瓌t是指為了保證加速系數(shù)具有工程應(yīng)用性,需要求加速系數(shù)為一個(gè)不隨時(shí)間變化的常數(shù),僅由加速應(yīng)力水平所決定。文獻(xiàn)[12]進(jìn)一步指出產(chǎn)品的失效機(jī)理不變是保證加速系數(shù)不變的充要條件,有效的ALT必須保證產(chǎn)品的失效機(jī)理不變,因此也應(yīng)滿足加速系數(shù)不變?cè)瓌t。

本文將加速系數(shù)不變?cè)瓌t引入到ADT,用以推導(dǎo)退化軌跡函數(shù)的各參數(shù)在加速應(yīng)力下應(yīng)如何變化,驗(yàn)證(4)式中的關(guān)系式。加速系數(shù)的定義在ADT中與ALT中并不相同,但內(nèi)涵一致。馮靜等[13]給出了ADT中加速系數(shù)較為規(guī)范的定義:當(dāng)產(chǎn)品在ADT不同的應(yīng)力水平下具有相等的平均退化量d時(shí),將其退化時(shí)間的比值定義為應(yīng)力水平之間的加速系數(shù)

式中:AFk,0為加速應(yīng)力水平Tk相對(duì)于正常應(yīng)力水平T0的加速系數(shù);td,k、td,0分別為產(chǎn)品在Tk、T0下的平均退化量達(dá)到d的時(shí)間。平均退化量可分別由gk(t;ak,bk)和g0(t;a0,b0)表示,當(dāng)平均退化量都為d時(shí),則

將(6)式代入(5)式,則

因?yàn)閐為時(shí)間t的函數(shù),如要保證AFk,0為一個(gè)不隨時(shí)間t變化的常數(shù),也就是要求(7)式中的AFk,0與d無關(guān)。據(jù)此可推導(dǎo)出bk=b0=b,此時(shí)ak/a0=(AFk,0)1/b.可知參數(shù)b與加速應(yīng)力無關(guān),而參數(shù)a與加速應(yīng)力相關(guān),描述了產(chǎn)品在不同應(yīng)力水平下的退化速率,故參數(shù)a、b與溫度T的關(guān)系可表示為(4)式中的形式。

2.2 額定應(yīng)力下的參數(shù)值

式中:Bk,0為折算系數(shù)。

因?yàn)閰?shù)b值與加速應(yīng)力無關(guān),在各應(yīng)力水平下應(yīng)保持不變,所有bh0取為bjk的平均值。由參數(shù)折算值h0=(ah0,bh0)和失效閾值D,可計(jì)算出各樣品在工作應(yīng)力T0下的偽壽命值ξh0.

3 偽壽命參數(shù)估計(jì)

使用最優(yōu)擬合檢驗(yàn)的方法確定與偽壽命值擬合最好的分布類型,因?yàn)橹笖?shù)分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布、伽瑪分布具有比較好的分布特性并能涵蓋絕大多數(shù)分布情況,故選擇此5種分布作為偽壽命值的備選分布類型。

Anderson-Darling統(tǒng)計(jì)量具有良好的統(tǒng)計(jì)特性[14],不但可用于最優(yōu)擬合檢驗(yàn)而且可以對(duì)特定分布類型進(jìn)行擬合優(yōu)度的假設(shè)檢驗(yàn)。Anderson-Darling統(tǒng)計(jì)量可描述數(shù)據(jù)服從特定分布類型的程度,數(shù)據(jù)與分布擬合得越好,統(tǒng)計(jì)量的AD值越小。AD值的計(jì)算公式如下:

式中:Fn(x)為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù);F(x)為累積分布函數(shù);n為檢驗(yàn)樣本的個(gè)數(shù)。

當(dāng)利用Anderson-Darling統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí),設(shè)顯著性水平為0.05,如果得到統(tǒng)計(jì)量的P值大于0.05,則可以得出偽壽命值服從指定分布類型的結(jié)論。假設(shè)偽壽命值ξh0的最優(yōu)擬合分布為伽瑪分布,則產(chǎn)品在工作應(yīng)力T0下的可靠度函數(shù)為

4 傳統(tǒng)的基于偽壽命的建模方法

為了分析偽壽命分布誤指定給壽命預(yù)測(cè)帶來的影響,文本亦給出了傳統(tǒng)的基于偽壽命的建模方法,其特點(diǎn)是利用加速模型對(duì)分布函數(shù)的各參數(shù)與加速應(yīng)力之間的關(guān)系進(jìn)行建模。工程實(shí)踐中,威布爾分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布及伽瑪分布之間比較容易發(fā)生誤指定。

1)假設(shè)ξjk服從威布爾分布,由加速系數(shù)不變?cè)瓌t可推導(dǎo)出尺度參數(shù)與加速應(yīng)力有關(guān)而形狀參數(shù)與應(yīng)力無關(guān)。利用Arrhenius方程將Tk下的尺度參數(shù)表示為ηk=exp(α1+α2/Tk),設(shè)mk=α3.由威布爾分布的概率密度函數(shù)建立融合所有ξjk的似然函數(shù)如下:

2)假設(shè)ξjk服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,由加速系數(shù)不變?cè)瓌t可推導(dǎo)出其對(duì)數(shù)均值μ與加速應(yīng)力有關(guān),對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與應(yīng)力無關(guān)。利用Arrhenius方程將Tk下的對(duì)數(shù)均值表示為μk=β1+β2/Tk,設(shè)對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為σk=β3.建立融合所有ξjk的似然函數(shù)如下:

5 案例分析

Meeker等[15]提供了某型碳膜電阻在CSADT中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。加速應(yīng)力為溫度,3組加速應(yīng)力水平分別為83℃、133℃和173℃,產(chǎn)品的工作應(yīng)力水平為50℃.試驗(yàn)過程中所有樣品同時(shí)測(cè)量,測(cè)量時(shí)刻為452 h、1 030 h、4 341 h和8 084 h,退化參量為電阻值的百分比增量,更為詳細(xì)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)可參考文獻(xiàn)[15]中的Table C.3.

圖1描述了在3個(gè)加速應(yīng)力水平下樣品電阻值百分比增量y的變化軌跡,可見圖中的退化曲線為冪率型,對(duì)各樣品進(jìn)行退化建模,得到(ajk,bjk)的極大似然估計(jì)值如表1所示(為了方便計(jì)算,時(shí)間單位取為103h).不同的加速應(yīng)力之間的^αjk值有明顯的變化,而^bjk值變化不明顯,這也印證了參數(shù)a與加速應(yīng)力有關(guān)而參數(shù)b與加速應(yīng)力無關(guān)的結(jié)論。由于技術(shù)手段的限制,測(cè)量到的退化數(shù)據(jù)不可避免地帶有一定的誤差,所以^bjk值很難相等,會(huì)在一定范圍內(nèi)波動(dòng),但在預(yù)測(cè)偽壽命時(shí)^bjk取為平均值較為穩(wěn)妥。當(dāng)失效閾值設(shè)為D=5%,^bjk取平均值0.412 7時(shí),可計(jì)算得各個(gè)樣品的偽壽命值如表1中所示。使用Anderson-Darling統(tǒng)計(jì)量對(duì)各加速應(yīng)力下的偽壽命值進(jìn)行最優(yōu)擬合檢驗(yàn),得到AD值如表2所示?？芍猑ξj1最優(yōu)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,^ξj2最優(yōu)服從伽瑪分布,^ξj3最優(yōu)服從威布爾分布,此時(shí)無法判斷產(chǎn)品壽命的最優(yōu)分布類型,容易發(fā)生分布類型誤指定。

圖1 電阻值百分比增量的變化軌跡Fig.1 The changing paths of the resistance percentage increments

5.1 傳統(tǒng)的基于偽壽命的方法

表1 (ajk,bjk)的極大似然估計(jì)值及偽壽命預(yù)測(cè)值Tab.1 MLEs of(ajk,bjk)and the pseudo life predictions

表2 偽壽命在各分布類型下的AD值Tab.2 AD s of pseudo life for each distribution type

圖2 3種分布類型下的可靠度曲線Fig.2 The reliability curves for 3 distribution types

5.2 參數(shù)折算的方法

由^ajk,通過最小二乘法解得(^γ1,^γ2)= (7.171,2 978.110),然后利用(8)式可得折算系數(shù)為B1,0=2.349,B2,0=6.575,B3,0=12.689,進(jìn)一步可得折算值ah0及對(duì)應(yīng)的偽壽命預(yù)測(cè)值ξh0如表3所示。使用Anderson-Darling統(tǒng)計(jì)量對(duì)ξh0進(jìn)行最優(yōu)擬合檢驗(yàn),得到AD值如表2中所示,可知ξh0最優(yōu)服從伽瑪分布,從而可確定產(chǎn)品壽命的分布類型為伽瑪分布。通過(11)式,可解得參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值為(,)=(3 362.804,2.387),利用Bootstrap自助抽樣法解得兩參數(shù)置信水平為95%的區(qū)間估計(jì)分別為[0.863,4.996],產(chǎn)品的可靠度R曲線及95%的置信上限和下限如圖3所示。為了驗(yàn)證參數(shù)折算方法的有效性,圖3中亦給出了利用傳統(tǒng)方法得到的可靠度R曲線(此時(shí)的分布類型為伽瑪分布,不存在誤指定)?？梢?使用參數(shù)折算方法和傳統(tǒng)方法得到的可靠度曲線較為接近但不完全一致,由于測(cè)量數(shù)據(jù)的不完美,參數(shù)估計(jì)方法不同等因素造成了兩種方法預(yù)測(cè)結(jié)果的差異。

表3 折算值ah0與對(duì)應(yīng)的偽壽命預(yù)測(cè)值ξh0Tab.3 Converted values ah0and corresponding pseudo life predictionξh0

圖3 產(chǎn)品的可靠度曲線Fig.3 The reliability curves of product

6 結(jié)論

CSADT中,傳統(tǒng)的建模方法是利用加速模型對(duì)分布函數(shù)的各參數(shù)與加速應(yīng)力之間的關(guān)系進(jìn)行建模,而本文提出的參數(shù)折算方法是利用加速模型對(duì)退化軌跡函數(shù)的各參數(shù)與加速應(yīng)力之間的關(guān)系進(jìn)行建模。案例應(yīng)用分析了偽壽命分布誤指定的存在,驗(yàn)證了提出的方法可有效避免誤指定的發(fā)生。

利用加速試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模時(shí),必不可少的一個(gè)步驟是建立參數(shù)的加速模型。加速系數(shù)不變?cè)瓌t為確定參數(shù)與加速應(yīng)力之間的關(guān)系提供了理論支撐和推導(dǎo)方法,克服了依據(jù)經(jīng)驗(yàn)假定參數(shù)與應(yīng)力關(guān)系所引入的主觀性較大的不足,對(duì)建立合理、準(zhǔn)確的可靠性模型具有一定的指導(dǎo)意義。

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A Reliability M odeling Approach to Avoiding M is-specification of Pseudo Life Distribution in CSADT

XU Ting-xue1,WANG Hao-wei1,ZHANG Lei2
(1.Department of Ordnance Science and Technology,Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai264000,Shandong,China;
2.Department of Scientific Research,Naval Aeronautical and Astronautical University,Yantai264000,Shandong,China)

A reliabilitymodeling approach based on parameter conversion is proposed to avoid the misspecification of pseudo-life distribution in constant stress accelerated degradation test(CSADT).The proposed method models the parameters of degradation path functions.It is different from the traditional method thatmodels the parameters of distribution functions.The pseudo life of all samples under the working stress is evaluated,and the distribution type can be accurately identified.A application example with the CSADT data of carbon-film resistors is provided.The research results show that the proposed method can effectively resolve the problem ofmis-specification of pseudo-life distribution.

ordnance science and technology;constant stress accelerated degradation test;pseudo life; mis-specification;acceleration factor

TB114.3

A

1000-1093(2014)12-2098-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.12.024

2014-03-13

國防預(yù)先研究基金項(xiàng)目(4010801020402)

徐廷學(xué)(1962—),男,教授,博士生導(dǎo)師。E-mail:xtx-yt@163.com