對數(shù)域的光學相干層析圖像噪聲模型分析

紀 文，孫水發(fā)，王 帥，董方敏

（三峽大學智能視覺與圖像信息研究所，宜昌443002）

對數(shù)域的光學相干層析圖像噪聲模型分析

紀 文，孫水發(fā)*，王 帥，董方敏

（三峽大學智能視覺與圖像信息研究所，宜昌443002）

為了分析光學相干層析成像技術（OCT）的圖像對數(shù)變換前后的斑點噪聲分布模型，為圖像去噪及其它圖像處理過程提供參考，采用了先推導斑點噪聲理論分布模型，再通過實驗數(shù)據(jù)驗證的方法。首先分析了對數(shù)變換前斑點噪聲的統(tǒng)計特性，利用數(shù)學理論推導得到斑點噪聲對數(shù)變換后的理論分布模型，然后用OCT心血管圖像的平滑區(qū)域作為噪聲的試驗數(shù)據(jù)，得到變換前后斑點噪聲的直方圖分布數(shù)據(jù)，最后用理論分布模型對試驗數(shù)據(jù)進行曲線擬合，取得了確定系數(shù)、均方根差和卡方檢測的評價數(shù)據(jù)。結果表明，對數(shù)變換后斑點噪聲分布符合Fisher-Tippett分布。這一結果對OCT圖像去噪等處理過程是有幫助的。

圖像處理；噪聲模型；對數(shù)變換；光學相干層析圖像；斑點噪聲

引 言

上個世紀末期，隨著寬帶光源的實用化，光學相干層析（optical coherence tomography，OCT）成像技術得到極大地發(fā)展［1-3］，因其低侵入性、高分辨率的特性成為臨床上的技術熱點［4］。但是OCT圖像中存在的斑點噪聲影響了該技術的廣泛使用。在OCT成像系統(tǒng)中，斑點噪聲本質(zhì)上也是由光的干涉引起的，樣品光會因為樣品內(nèi)部含有大量的散射顆粒而形成復雜的多次后向散射，因此反射光波前形成畸變，在與參考光干涉之后形成的圖像便會有大量的斑點噪聲［5］，它實質(zhì)上也是檢測目標的信息載體［6］。而關于干涉成像的噪聲分析，人們已經(jīng)做了很多研究，并建立起了關于斑點噪聲的統(tǒng)計分布模型［7-9］。參考文獻［7］中分析了斑點噪聲的分布模型，提出強度服從負指數(shù)分布，幅度服從瑞利分布的結論。參考文獻［9］中對幅度服從瑞利分布做了進一步的研究，并做了證明。

OCT圖像中的斑點噪聲一般被認為是乘性噪聲模型，然而在去噪和重建方面很多現(xiàn)行的算法都是基于加性噪聲的，并且在成像和視覺系統(tǒng)中加性噪聲也是最常見的。為了利用這些去噪算法以及噪聲模型，通過對數(shù)變換將乘性噪聲轉(zhuǎn)化為加性噪聲，成為OCT圖像去噪中必不可少的步驟之一。對數(shù)變換作為一種非線性變換，使得轉(zhuǎn)換之后的斑點噪聲的統(tǒng)計特性也相應的發(fā)生了變化。參考文獻［10］中對合成孔徑雷達圖像的斑點噪聲及其對數(shù)變換之后的分布模型進行了研究，考慮到OCT圖像與合成孔徑雷達圖像成像原理的類似性，借助這篇文章的思路，作者對OCT圖像斑點噪聲對數(shù)變換前后的分布模型從理論和實驗兩方面進行了研究。先回顧了斑點噪聲的統(tǒng)計特性，然后通過數(shù)學推導得到對數(shù)變換之后的分布模型；并通過試驗驗證推導出的數(shù)學模型，可知，對數(shù)變換后噪聲分布符合Fisher-Tippett（F-T）分布。

1 斑點噪聲統(tǒng)計特性

在OCT成像系統(tǒng)中，樣品光在樣品中經(jīng)過復雜的多次后向散射，再與參考光相干涉之后便會形成大量斑點噪聲［11-12］。對于OCT系統(tǒng)接收的回波信號，可以看作是多個回波的疊加，回波具有Akeiθk形式，那么接收傳感器得到總的回波信號也可以寫為：

式中，Akeiθk表示第k個散射點的回波，Ak和θk分別表示其幅度和相位，A和θ分別表示總回波信號的幅度和相位，M表示散射點的總個數(shù)?？偟幕夭ㄐ盘栆部梢杂靡粋€復數(shù)Z＝Ar＋j Ai＝A cosθ＋j A sinθ來表示。當M的值比較大時，根據(jù)中心極限定理知Ar和Ai兩者都可近似為均值為0，標準差σ為正態(tài)分布，據(jù)此可以求得回波信號幅度的概率密度函數(shù)為：

則其均值為E（I）＝σ2，方差為v（I）＝σ4。

2 對數(shù)域斑點噪聲統(tǒng)計模型

對數(shù)變換是一種非線性變換，它會使得斑點噪聲的統(tǒng)計特性發(fā)生變化，因此下面分析對數(shù)域下的斑點噪聲分布模型。根據(jù)參考文獻［13］和參考文獻［14］，知道OCT圖像中斑點噪聲為乘性噪聲，設其噪聲模型為：

式中，I（x，y）為OCT圖像的觀察值，F(xiàn)（x，y）是圖像沒有噪聲的期望值，N（x，y）是斑點噪聲。對（4）式兩邊同時取對數(shù)得：

假設：

式中，α和β為系數(shù)。那么N～的概率密度函數(shù)為：

整理得：

式中，γ表示歐拉常數(shù)［15］，γ＝0.5772。

3 實驗證明

為了驗證上述分析，下面用實驗進行驗證。在1幅OCT心血管圖上選擇6個平滑區(qū)域作為原始噪聲數(shù)據(jù)，對選擇區(qū)域?qū)?shù)變換前后的分布模型中的感興趣區(qū)域（regions of inferest，ROI）進行實驗分析，如圖1所示。

圖1由頻域系統(tǒng)平臺得到［16］。該系統(tǒng)利用的是半峰全寬為25nm、輸出功率為1.4W、脈沖時間為80fs的光源，光源被一個2×2的耦合器以1∶9分為兩份。兩束光經(jīng)參考臂和樣品臂反射回來后發(fā)生干涉，系統(tǒng)使用區(qū)域掃描相機代替?zhèn)鹘y(tǒng)的線掃描相機記錄OCT譜，得到OCT圖像。

Fig.1 ROIof OCT images

3.1 對數(shù)變換前后噪聲的統(tǒng)計模型變化及分析

圖2對數(shù)變換前后感興趣區(qū)域圖像信號的統(tǒng)計分布情況，帶方格的曲線表示變換前，帶圓點的曲線表示變換后的信號統(tǒng)計分布。

將選擇的平滑區(qū)域作為噪聲，統(tǒng)計出選擇區(qū)域的直方圖，并用曲線來繪制，圖2顯示了圖1中6個區(qū)域的直方圖曲線以及對數(shù)變換后的直方圖曲線。圖中帶方格的曲線表示變換前的直方圖，由于選擇的區(qū)域是平滑區(qū)域，像素灰度值較低且比較集中，灰度較高的像素點較少，畫出的直方圖不夠直觀，所以把選擇區(qū)域的數(shù)據(jù)進行了歸一化處理。盡管不是十分明顯，也可以發(fā)現(xiàn)變換前的直方圖曲線右側拖尾比左側長。帶圓圈的曲線表示對數(shù)變換之后的直方圖曲線，由于變換之后的像素值也比較小，且十分集中，于是把變換之后的數(shù)據(jù)也進行了歸一化處理。從圖中不難發(fā)現(xiàn)帶圓圈的曲線左側有很長的拖尾，右側卻幾乎沒有拖尾，這是Fisher-Tippett分布的重要特征之一。

3.2 對數(shù)變換后噪聲模型分析

3.2.1 曲線擬合 利用Fisher-Tippett分布函數(shù)和高斯分布函數(shù)對6個選區(qū)變換后的直方圖曲線進行擬合。

圖3對應圖1中6個所選區(qū)域，點狀對應選擇區(qū)域變換后的直方圖數(shù)據(jù)，使用F-T函數(shù)曲線f（x）＝exp［b（x－a）］exp｛－exp［d（x－c）］／2｝來對數(shù)據(jù)進行曲線擬合（其中，a，b，c，d為系數(shù)），利用最小二乘法得到公式中的參量，結果見表1，將得到的參量代入曲線方程，并將擬合曲線繪制在圖中（圖中實線表示），不難發(fā)現(xiàn)，擬合曲線恰巧穿過大量的數(shù)據(jù)點，且走勢與數(shù)據(jù)點分布走勢有很強的相似性，說明擬合曲線對數(shù)據(jù)的擬合效果比較好。

使用高斯函數(shù)f（x）＝a exp［－（x－b）2／c2］對數(shù)據(jù)進行擬合，得出的方程參量見表2，圖中帶有方格的曲線代表高斯擬合曲線。不難發(fā)現(xiàn)，該曲線走勢與數(shù)據(jù)點分布走勢有一定的相似性，但是大部分數(shù)據(jù)點分布在曲線的兩側，甚至與該曲線偏離很多。這說明高斯擬合曲線對數(shù)據(jù)的擬合效果較差。

Fig.2 Distributions of six ROIs before and after the logarithm transformation of Fig.1

Fig.3 Fitting curve of six ROIs of Fig.1

Table 1 Estimated parameters of F-T distribution function of Fig.1

Table 2 Estimated parameters of Gaussian distribution function of Fig.1

3.2.2 擬合性能分析 為了對擬合的效果進行評估，用確定系數(shù)（R-square）、均方根差（root mean square error，RMSE）和卡方（X2）檢測評價擬合效果。R-square稱為曲線方程的確定系數(shù)，范圍在0～1之間，越接近1，表明曲線對數(shù)據(jù)的擬合效果越好。均方根也稱回歸系統(tǒng)的擬合標準差，它是擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)的“和方差”取均值并開方得到的，該值越小說明擬合出的數(shù)據(jù)越是接近原始數(shù)據(jù)，假設模型的擬合效果越好。卡方檢驗法是在總體X的分布未知時，先對數(shù)據(jù)分布進行假設，然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗分布和所假設的理論分布之間的吻合程度來決定是否接受原假設的一種檢測方法，它也是擬合度檢驗的重要方式之一。

通過觀察表3、表4和表5不難發(fā)現(xiàn)，6個區(qū)域的F-T分布的RMSE檢測結果和X2檢測結果都小于高斯分布的檢測結果，而對應的R-square檢測結果較大，這證明F-T分布曲線對變換后的直方圖曲線擬合更精確。

Table 3 RMSE testing results of Fig.1

Table 4 X2testing results of Fig.1

Table 5 R-square testing results of Fig.1

3.3 更多圖像的實驗

為了進一步證明理論推導的可靠性，選擇在更多OCT圖像進行實驗驗證，如圖4所示，選擇兩幅心血管OCT圖像，該圖也是由頻域OCT系統(tǒng)平臺產(chǎn)生。在兩幅圖像中，分別選擇兩個平滑區(qū)域做對數(shù)變換，為了增加實驗的可對比性，不僅使用了Fisher-Tippett分布曲線和單高斯分布曲線（sigle Gaussian model，SGM）進行擬合，還使用了混合高斯分布（Gaussian mixfure model，GMM）進行擬合。文中使用了k＝2的混合高斯分布，理論上，隨著k的增加，混合高斯可以擬合任意形狀的數(shù)據(jù)，但是當k過大，便會出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，失去實際意義，所以k的選擇一般小于等于3。圖5a和圖5b兩圖分別是對圖4a中的兩個選擇區(qū)域的擬合效果圖，圖5c和圖5d分別是對圖4b中的兩個選擇區(qū)域的擬合效果圖。其中點狀為原始數(shù)據(jù)，帶有方格的曲線代表單高斯擬合曲線，帶有星號的曲線代表混合高斯擬合曲線，不帶標志的曲線代表F-T分布擬合曲線。從擬合效果圖（見圖5）來看，F(xiàn)-T分布和混合高斯分布擬合效果接近，且明顯優(yōu)于單高斯分布。表6～表8中分別給出了對4個選擇區(qū)域的曲線擬合效果的評價結果。從表6～表8中發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)-T分布曲線與單高斯分布曲線相比，擬合效果要好很多，和混合高斯分布相比盡管差距不大，但是效果相對較好。實際應用中由于混合高斯分布形式過于復雜，因此并無太多應用價值。

Fig.4 OCT images of cardiovascular

Fig.5 Fitting results of Fig.4

Table 6 RMSE testing results of Fig.4

Table 7 X2testing results of Fig.4

Table 8 R-square testing results of Fig.4

4 小 結

討論了OCT圖像的斑點噪聲分布模型，并從理論上推導了斑點噪聲對數(shù)變換之后的概率分布模型，最后通過實驗進行了驗證，證明對數(shù)域斑點噪聲分布符合Fisher-Tippet分布。該模型將對OCT圖像的去噪處理研究起到促進作用，例如在對圖像進行去噪處理時，需要將圖像的乘性噪聲轉(zhuǎn)化為加性，并得到變換后的圖像的均值與方差，可以起到參考作用。作者主要集中分析OCT圖像斑點噪聲對數(shù)變換前后的統(tǒng)計特性，并沒有進一步的分析變換后的Fisher-Tippet分布模型在OCT圖像分析處理中的應用，因此接下來的工作需要細致分析Fisher-Tippett分布模型在OCT圖像處理中的應用。

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Analysis of noise model of optical coherence tomography image in logarithm ic domain

JI Wen，SUN Shuifa，WANG Shuai，DONG Fangmin
（Institute of Intelligent Vision and Image Information，Three Gorges University，Yichang 443002，China）

In order to analyze the speckle noise distribution model of optical coherence tomography（OCT）images before and after logarithm transformation and provide references for image de-noising and other image processing，theoretical distribution model of the speckle noise was deduced firstly and then was verified by experimental results.First of all，the statistical properties of the speckle noise before the logarithm transformation were analyzed.The distribution model of the speckle noise after logarithm transform was derived through the mathematical theory.Then，the smooth regions of cardiovascular OCT images were selected as the experimental data to obtain the histogram distribution of the speckle noise before and after the logarithm transformation.Finally，the experimental data were fitted by the theoretical distribution model and the evaluated data，such as R-square，root mean square error and X-square tests.The results prove that the noise distribution after logarithm transformation presents Fisher-Tippett distribution.The results are helpful for the de-noising on OCT images.

image processing；noise model；logarithm transformation；optical coherence tomography image；speckle noise

TP391.4

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.06.027

1001-3806（2014）06-0848-06

國家自然科學基金資助項目（61272237；61272236）

紀 文（1989-），男，碩士研究生，現(xiàn)主要從事醫(yī)學圖像處理的研究。

*通訊聯(lián)系人。E-mail：watersun＠ctgu.edu.cn

2013-12-06；

2014-01-02