高斯光束質(zhì)量與波像差之間的關(guān)系

賀元興，穆佰利，李 建，李 偉

（中國人民解放軍95859部隊(duì)，酒泉735018）

高斯光束質(zhì)量與波像差之間的關(guān)系

賀元興，穆佰利，李 建，李 偉

（中國人民解放軍95859部隊(duì)，酒泉735018）

為了考察光闌截?cái)鄷r高斯光束質(zhì)量與波像差之間的關(guān)系，采用高斯光束β值作為截?cái)喔咚构馐|(zhì)量的評價參量，通過數(shù)值仿真的方法分析光學(xué)系統(tǒng)波像差對截?cái)喔咚构馐|(zhì)量的影響，給出了高斯光束β值與波像差間的擬合關(guān)系。討論了高斯光束質(zhì)量與Kolmogoroff大氣湍流強(qiáng)度間的關(guān)系，并給出了二者間的擬合公式。結(jié)果表明，該擬合公式的計(jì)算結(jié)果在相當(dāng)廣的湍流強(qiáng)度范圍內(nèi)與數(shù)值仿真結(jié)果較好吻合，這也進(jìn)一步驗(yàn)證了高斯光束β值與波像差擬合關(guān)系的正確性。

激光光學(xué)；高斯光束質(zhì)量；衍射積分；波像差；大氣湍流；澤尼克多項(xiàng)式

引 言

在工業(yè)加工及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，高斯光束是使用較多的一類激光束，對高斯光束質(zhì)量進(jìn)行合理評估是人們比較關(guān)心的研究課題。早在20世紀(jì)90年代初，SIEGMANN教授提出M2因子評價參量并用于衡量高斯光束的質(zhì)量［1］，后來該指標(biāo)被國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（the International Organization for Standardization，ISO）采納［2］，然而在實(shí)際應(yīng)用中，由于光束或多或少會受到空間光闌的截?cái)啵?dāng)光闌對光束的截?cái)啾容^明顯時，M2因子會遇到積分發(fā)散的困難［3］，所以對截?cái)喙馐|(zhì)量的評價也一直被排除在ISO文件之外。為克服M2的不足，廣義截?cái)喽A矩［4-5］、漸近分析［6］和自收斂束寬［7］等3種分析方法被獨(dú)立提出，漸進(jìn)分析法是通過功率含量百分比來確定積分范圍，自收斂束寬方法則是通過常數(shù)Fs與二階矩定義的束寬之積來確定積分范圍，從而克服了M2因子在理論上的數(shù)值發(fā)散問題。由于這些分析方法對計(jì)算參量較為敏感，參量取不同的值可能會得出不同的M2因子數(shù)值，而且在利用上述3種分析方法計(jì)算同一激光束的質(zhì)量時，得到的光束質(zhì)量優(yōu)劣結(jié)論也不盡相同，這使得廣義M2因子的應(yīng)用有待進(jìn)一步完善和推廣［8］。HERLOSKI［9］以及MAHAJAN［10］等人將相同發(fā)射口徑無像差高斯光束作為理想?yún)⒖脊馐?，定義峰值斯特列比來衡量高斯光束的質(zhì)量；JI［11］將相同發(fā)射口徑均強(qiáng)平面光束作為理想?yún)⒖脊馐?，定義光束β值來評價超高斯（包括基模高斯）光束的質(zhì)量，由此可見，目前人們對評價高斯光束質(zhì)量的理想?yún)⒖脊馐倪x取方法并不統(tǒng)一，并且評價參量不能客觀衡量光闌截?cái)嘁蛩貙Ω咚构馐|(zhì)量的影響。

在激光應(yīng)用領(lǐng)域，人們比較關(guān)心的是激光的遠(yuǎn)場能量集中度（亦激光可聚焦能力），光束β值是使用較多的光束質(zhì)量評價指標(biāo)。由于波像差是影響光束質(zhì)量尤為重要的因素，XIAN［12］，LI［13］等人曾分析過Zernike波像差對圓形實(shí)心平面光束質(zhì)量的影響，并提出了光束β值與波像差之間的擬合關(guān)系式，由于高斯光束質(zhì)量和波像差間的關(guān)系與截?cái)喙怅@的口徑密切相關(guān)，對高斯光束β值與波像差間的關(guān)系少見相類似的研究報道。本文中采用高斯光束β值作為衡量有截?cái)嗪蜔o截?cái)喔咚构馐|(zhì)量的評價參量，分析了評價指標(biāo)定義中理想?yún)⒖脊馐暮侠磉x擇問題。對高斯光束質(zhì)量與各階Zernike波像差之間的關(guān)系進(jìn)行了仿真計(jì)算，給出了高斯光束 β值與Zernike波像差間的近似擬合關(guān)系式，并依此討論了高斯光束質(zhì)量與Kolmogoroff大氣湍流波像差間的關(guān)系，為工程實(shí)際應(yīng)用提供一些理論指導(dǎo)。

1 理想?yún)⒖脊馐案咚构馐轮?/h2>

假設(shè)高斯光束被半徑為a的圓形發(fā)射光闌截?cái)?，光闌出射端的光波復(fù)振幅分布為：

式中，ρ為發(fā)射孔徑內(nèi)歸一化徑向距離；E0為復(fù)振幅常數(shù)；γ＝（a／w0）2為截?cái)嘞禂?shù)，w0為光闌所在平面上高斯光束半寬，γ越大，光闌對高斯光束的截?cái)嘣叫。茫?對應(yīng)于相同發(fā)射口徑的平面光束。容易求得在光闌截?cái)嗲闆r下，透過光闌的激光能量占入射激光總能量的份額為：

從上式可以看出，隨著光闌口徑的增大（γ增大），高斯光束透過光闌的能量占激光總能量的份額迅速增加，當(dāng)γ＝1時，Pratio＝86.5%時，Pratio＝99.97%時，Pratio幾乎為100%，因此通常認(rèn)為當(dāng)發(fā)射光闌的口徑不小于2倍高斯光束寬度時，光闌對光束的截?cái)嗉捌溲苌湫?yīng)可以忽略。

根據(jù)傅里葉光學(xué)原理［14］，在z＝f焦平面內(nèi)的光強(qiáng)分布由下式給出：

式中，λ為激光波長，f為焦距，φ（ξ，η）為波像差，E（ξ，η）exp［jφ（ξ，η）］為光波的近場復(fù)振幅分布。

圖1為根據(jù)（1）式和（3）式計(jì)算得到的不存在波前畸變時，不同截?cái)喑潭认赂咚构馐倪h(yuǎn)場桶中功率（power in the bucket，PIB）曲線及相同截?cái)嗫趶綍r實(shí)心均強(qiáng)平面光束的遠(yuǎn)場PIB曲線。圖中，橫軸為徑向距離，單位為λf／D，D＝2a為圓形截?cái)喙怅@直徑，特別地，對平面光波，其遠(yuǎn)場焦平面內(nèi)Airy光斑的中心亮斑半徑為1.22λf／D。由圖不難看出，在強(qiáng)截?cái)嗲闆r（γ＝1）下高斯光束的遠(yuǎn)場PIB曲線明顯高于實(shí)心平面光束遠(yuǎn)場PIB曲線；在弱截?cái)嗲闆r時高斯光束的遠(yuǎn)場PIB曲線與實(shí)心平面光束的遠(yuǎn)場PIB曲線存在交叉，特別地，當(dāng)時在實(shí)心平面光束遠(yuǎn)場光斑中心主核區(qū)域內(nèi)，高斯光束與平面光束具有相同的桶中功率份額。因此不能簡單地將實(shí)心平面光束作為衡量截?cái)喔咚构馐|(zhì)量的理想?yún)⒖脊馐@也就說明了參考文獻(xiàn)［11］中的相關(guān)分析并不合理。

Fig.1 Comparison of far-field PIB curves between the truncated Gaussian laser and plane laser

選擇無像差時的截?cái)喔咚构馐鳛樵u價截?cái)喔咚构馐|(zhì)量的理想?yún)⒖脊馐彩遣煌椎模绻凑瘴墨I(xiàn)中的相關(guān)結(jié)論，無像差時強(qiáng)截?cái)喔咚构馐c弱截?cái)喔咚构馐|(zhì)量二者均為最優(yōu)，實(shí)際上強(qiáng)截?cái)喔咚构馐嬖谳^大的衍射效應(yīng)，其遠(yuǎn)場光斑能量彌散程度會大于弱截?cái)喔咚构馐闆r。圖2中給出了在不同截?cái)喑潭认?，高斯光束的遠(yuǎn)場PIB曲線，同時給出無截?cái)嗲闆r下高斯光束的遠(yuǎn)場PIB曲線作對比。計(jì)算中高斯光束束腰寬度w0＝1mm，激光波長λ＝632.8nm，聚焦系統(tǒng)焦距f＝0.1m。由圖可以看出，隨著截?cái)嘞禂?shù)的減?。ń?cái)喑潭仍酱螅?，高斯光束的遠(yuǎn)場PIB曲線依次降低，無截?cái)喔咚构馐é茫?）的遠(yuǎn)場PIB曲線是所有存在明顯截?cái)嗟母咚构馐h(yuǎn)場PIB曲線中最高的。

Fig.2 Far-field PIB curves of Gaussian laser with different truncation

根據(jù)以上分析，在評價截?cái)喔咚构馐|(zhì)量時選擇無截?cái)喔咚构馐鳛槔硐雲(yún)⒖脊馐^為合理，高斯光束β值定義為實(shí)際光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角θreal與理想?yún)⒖脊馐倪h(yuǎn)場發(fā)散角θideal的比值，即：

Fig.3 Influence of truncation on different Gaussian beamβfactor

其中，實(shí)際光束與理想?yún)⒖脊馐倪h(yuǎn)場發(fā)散角均是基于遠(yuǎn)場平面內(nèi)某一規(guī)范能量比定義的。如果應(yīng)用者更關(guān)心激光遠(yuǎn)場焦斑中心部分的光強(qiáng)，規(guī)范能量比可取為63.2%，它與理想光斑峰值光強(qiáng)的1／e處光斑半徑相對應(yīng)，這也與工程應(yīng)用中規(guī)范能量比的取法一致。圖3中給出光闌截?cái)鄬Ω咚构馐轮档挠绊懀梢钥闯?，隨著截?cái)喑潭鹊脑黾樱咚构馐轮抵饾u增加，光束質(zhì)量變差，當(dāng)截?cái)噍^小時，實(shí)際光束逼近理想光束，光束β值也逐漸趨于1，因此，這里定義的高斯光束β值是能夠考察光闌截?cái)鄬馐|(zhì)量的影響，從而彌補(bǔ)了相關(guān)參考文獻(xiàn)［9-10］的不足。

2 波像差與高斯光束β值的關(guān)系

激光在遠(yuǎn)距離傳輸過程中（如通過大氣湍流介質(zhì)傳輸），由于受到外界擾動的影響，光束將具有十分復(fù)雜的波前形狀，一般很難用簡單的函數(shù)精確地描述，在各種近似描述方法中，由于Zernike多項(xiàng)式在單位圓域內(nèi)彼此正交，且其低階模式與光學(xué)設(shè)計(jì)中的Siedel像差相對應(yīng)，成為迄今為止應(yīng)用較廣的一種像差描述模型。圓孔徑上任意波像差均可以用Zernike多項(xiàng)式的加權(quán)和來表示，若不考慮1階活塞像差，則有：

式中，θ為極角，ak為Zernike多項(xiàng)式系數(shù)，Zk（ρ，θ）為第k階Zernike多項(xiàng)式，本文中采用NOLL所給出的定義［15］，即：

式中，下標(biāo)e表示k為偶數(shù)，下標(biāo)o表示k為奇數(shù)；徑向自由度m和角向頻率數(shù)n滿足關(guān)系m≤n，n－為偶數(shù)。

將（1）式、（5）式帶入（3）式，通過快速傅里葉變換算法可計(jì)算出存在波像差時高斯光束的遠(yuǎn)場光斑分布，并進(jìn)而通過（4）式計(jì)算高斯光束β值。計(jì)算了在不同截?cái)喑潭认?，各階Zernike波像差均方根（rootmean square，RMS）值與光束β值間的關(guān)系，其中幾個典型Zernike像差的計(jì)算結(jié)果如圖4、圖5所示。

Fig.4 Relationship between beam qualityβfactor and wavefront error with k＝3 and k＝6

Fig.5 Relationship between beam qualityβfactor and wavefront error with k＝21 and k＝30

由圖4和圖 5可以看出，對于相同類型的Zernike波像差，在不同截?cái)喑潭认赂咚构馐轮稻S像差RMS值的增大而遞增，而對于相同RMS值的Zernike像差，強(qiáng)截?cái)喔咚构馐摩轮狄笥谌踅財(cái)喔咚构馐轮?，且隨著波像差的增大而愈加明顯?？趶綖楦咚构馐鼘挾鹊?倍時，約有99.97%的激光能量通過光瞳，且光束β值幾乎為1，該口徑的光瞳不會改變高斯光束的質(zhì)量，因此在接下來的分析中可選擇臨界口徑為D＝4w0。

XIAN［12］等人在研究波像差與光束質(zhì)量間的關(guān)系時，針對實(shí)心平面光束情況，發(fā)現(xiàn)波像差與光束質(zhì)量因子β之間滿足簡單的二次函數(shù)關(guān)系（這里簡稱為XH_method）；LI［13］等人指出對于小波像差情況，二次函數(shù)關(guān)系式擬合效果較好，對于大波像差情況則會存在較大擬合誤差，并進(jìn)而通過唯像的方法提出了新的解析關(guān)系式（簡稱為LXY_method）。設(shè)Ak和Bk為與第k階Zernike波像差相對應(yīng)的擬合系數(shù)，σk2為第k階Zernike波像差的均方值，σ2為總的波像差均方值，表1中列出了關(guān)于光束質(zhì)量因子β與波像差間的兩種擬合關(guān)系式。實(shí)際上，由于高斯光束的能量分布在十分有限的空間范圍以內(nèi)，當(dāng)截?cái)喙怅@的口徑大于其能量分布范圍時，Zernike波像差的有效分布范圍也就小于截?cái)喙怅@的口徑，波像差的RMS值也將偏小，進(jìn)而導(dǎo)致弱截?cái)喔咚构馐馁|(zhì)量要優(yōu)于相同均方值Zernike波前擾動情況下強(qiáng)截?cái)喔咚构馐馁|(zhì)量。

根據(jù)以上分析，光闌的強(qiáng)截?cái)鄷档透咚构馐倪h(yuǎn)場能量集中度，惡化其光束質(zhì)量，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)盡量避免該情況，而較大的口徑又會低估波像差對光束質(zhì)量的影響，因此從理論研究的角度出發(fā)，一種分析方法是取某一臨界光瞳口徑，其對高斯光束截?cái)嘣斐傻难苌湫?yīng)可以忽略，而且也不會造成光瞳內(nèi)有效波像差的損失。從第1節(jié)中可知，當(dāng)光瞳

Table 1 Fitting relationship between beam qualityβfactor and wavefront error［12-13］

作者對前65階Zernike波像差進(jìn)行擬合計(jì)算，發(fā)現(xiàn)諸如離焦、球差等對高斯光束β值有較大影響的Zernike像差類型，LXY_method的擬合效果非常好，如圖6所示，但對于某些類型的波像差（如k為13，19，26等），隨著像差RMS的逐漸增大，遠(yuǎn)場中心主核內(nèi)的能量并沒有顯著的減小，光束質(zhì)量變化不明顯，此時LXY_method的擬合誤差會偏大，相比之下XH_method可對前65階Zernike像差給出較好的擬合結(jié)果，如圖7所示。

Fig.6 The fitted results of Gaussian beam qualityβfactor and different wavefront error with k＝3 and k＝10

Fig.7 The fitted results of Gaussian beam qualityβfactor and different wavefront error with k＝13 and k＝35

不考慮k為1和2的整體平移像差，基于XH_ method擬合關(guān)系式，利用最小二乘法對高斯光束β值與k取3階～65階Zernike波像差RMS間的關(guān)系進(jìn)行擬合，計(jì)算求得的擬合系數(shù)Ak和Bk列于表2中。

Table 2 The fitting coefficient of beam quality factor of Zernike aberration

激光通過大氣湍流介質(zhì)的遠(yuǎn)場傳輸問題是人們比較關(guān)心的問題，那么作為對上述擬合公式的應(yīng)用，研究高斯光束通過Kolmogoroff大氣湍流介質(zhì)的傳輸問題是有意義的。對符合Kolmogoroff功率譜統(tǒng)計(jì)規(guī)律的大氣湍流，NOLL［15］等人理論上推導(dǎo)出大氣湍流各階Zernike像差的均方值，由于大氣湍流的整體傾斜像差僅改變光斑在遠(yuǎn)場平面內(nèi)的位置，因而在計(jì)算光束質(zhì)量時去除波前整體傾斜的影響。去傾斜后整個大氣湍流波像差的均方值由下式給出：

式中，r0為大氣湍流的相干長度。

考慮到3階～65階Zernike波像差的均方值占整個大氣湍流去傾斜后湍流總均方值的94.16%，故在計(jì)算波前總方差時需對（7）式乘以該比例系數(shù)。根據(jù)XH_method擬合公式，給出符合Kolmogoroff譜的光束質(zhì)量因子β與波像差間的擬合關(guān)系式，如下式所示：

根據(jù)Kolmogoroff譜的3階～65階Zernike波像差的均方值，按照Roddier方法［16］產(chǎn)生一系列不同強(qiáng)度的大氣湍流相位屏，并通過快速傅里葉變換（fast Fourier transform，F(xiàn)FT）算法計(jì)算出高斯光束通過隨機(jī)相位屏的遠(yuǎn)場光斑分布，進(jìn)而求得不同湍流強(qiáng)度D／r0時所對應(yīng)的高斯光束β值，示于圖8中，圖中同時給出擬合（8）式的計(jì)算結(jié)果以作對比。由圖8可以看出，本文中給出的擬合式在較廣的湍流強(qiáng)度范圍內(nèi)與仿真結(jié)果符合得較好。

Fig.8 Relationship between beam qualityβfactor and atmospheric turbulence wavefront error

3 結(jié) 論

高斯光束質(zhì)量的評價在強(qiáng)截?cái)嗲闆r下存在較大的分歧，作者在分析現(xiàn)有各種評價方法不足的基礎(chǔ)上，針對能量集中度的應(yīng)用目的，提出采用高斯光束β值作為衡量有截?cái)嗪蜔o截?cái)喔咚构馐|(zhì)量的評價參量，該評價指標(biāo)不僅具有概念簡單、計(jì)算方便的特點(diǎn)，而且能夠衡量發(fā)射光闌截?cái)鄬Ω咚构馐|(zhì)量的影響，是衡量高斯光束質(zhì)量的一種較好的評價參量。通過數(shù)值仿真的方法分析計(jì)算了光學(xué)系統(tǒng)波像差對高斯光束質(zhì)量的影響，給出了波像差與高斯光束β值間的擬合關(guān)系，并依此討論了高斯光束質(zhì)量與Kolmogoroff大氣湍流波像差間的關(guān)系，給出了擬合關(guān)系式，為工程實(shí)際應(yīng)用提供一些理論指導(dǎo)。

［1］ SIEGMAN A E.New developments in laser resonators［C］／／Optical Resonators.Los Angeles，USA：Proceedings of the International Society for Optical Engineering，1990：2-14.

［2］ INTERNATIONALl ORGZNIZATION FOR STANDARDIZATION.11146-1 Laser and laser-related equipment-test methods for laser beam widths，divergence angles and beam propagation ratios-part 1：Stigmatic and simple astigmatic beams［S］.Geneva，Switzerland：ISO，2005：1-16.

［3］ SIEGMAN A E.How to（maybe）measure laser beam quality［J］.OSA Trends in Optics and Photonics Series，1998，17（2）：184-199.

［4］ MARTINEZ-HERRERO R，MEJIAS P M.Second-order spatial characterization of hard-edge diffracted beams［J］.Optics Letters，1993，18（19）：1669-1671.

［5］ MARTINEZ-HERRERO R，MEJIAS P M，ARIAS M.Parametric characterization of coherent，lowest-order Gaussian beams propagation through hard-edged apertures［J］.Optics Letters，1995，20（2）：124-126.

［6］ PARE C，BELANGER PA.Propagation law and quasi-invariance properties of the truncated second-order moment of a diffracted laser beam［J］.Optics Communications，1996，123（4）：679-693.

［7］ AMARANDE S，GIESEN A，HUGEL H.Propagation analysis of self-convergent beam width and characterization of hard-edge diffracted beams［J］.Applied Optics，2000，39（22）：3914-3924.

［8］ LUO Sh R.Flat-topped beam characterization，simulation and intensity-moments-based laser beam quality［D］.Chengdu：Sichuan University，2003：75-103（in Chinese）.

［9］ HERLOSKIR.Strehl ratio for untruncated aberrated Gaussian beams［J］.Journal of the Optical Society of America，1985，A2（7）：1027-1030.

［10］ MAHAJAN V N.Strehl ratio of a Gaussian beam［J］.Journal of the Optical Society of America，2005，A22（9）：1824-1833.

［11］ JIX L.Study on the propagation properties and beam control of high-power laserswith distortions［D］.Chengdu：Sichuan University，2004：36-40（in Chinese）.

［12］ XIAN H，JIANGW H.The relation between wavefront aberration and the beam quality factor［J］.Chinese Journal of Lasers，1999，26（5）：415-419（in Chinese）.

［13］ LIX Y，XIAN H，WANG Ch H，et al.Relationship between beam quality factorβand wavefront error［J］.Chinese Journal of Lasers，2005，32（6）：798-802（in Chinese）.

［14］ JI JR，F(xiàn)ENG Y.Advanced optics cource［M］.Beijing：Science Press，2008：179-181（in Chinese）

［15］ NOLL R J.Zernike polynomials and atmospheric turbulence［J］.Journal of the Optical Society of America，1976，66（3）：207-211.

［16］ RODDIER N.Atmospheric wavefront simulation using Zernike polynomials［J］.Optical Engineering，1990，29（10）：1174-1180.

Relationship between Gaussian beam quality and wavefront aberration

HE Yuanxing，MU Baili，LI Jian，LI Wei
（95859 Unit，Chinese People’s Liberation Army，Jiuquan 735018，China）

In order to investigate the relationship between the truncated Gaussian beam and wavefront aberration，the parameter of Gaussian beamβfactor was proposed to evaluate the beam quality of the truncated Gaussian laser.The influence of wavefront aberration of optical system on Gaussian beam quality was analyzed by using numerical simulation method and the fitting relationship between Gaussian beam qualityβfactor and wavefront aberration was given.As an example，the relationship between Gaussian beam quality and atmospheric turbulence strength with Kolmogoroff spectral was discussed and their fitting formula was given.The calculating results show that the fitted curve is in good agreement with the corresponding simulated data in a relatively wide range of turbulence strength，which further validate the correctness of the fitting formula between Gaussian beamβfactor and wavefront aberration.

laser optics；Gaussian beam quality；diffraction integral；wavefront aberration；atmospheric turbulence； Zernike polynomials

TN012

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.06.006

1001-3806（2014）06-0747-06

賀元興（1984-），男，博士，工程師，現(xiàn)從事高能激光技術(shù)、精密光學(xué)測量技術(shù)等方面的研究。

E-mail：yuanxing-he＠163.com

2013-12-23；

2014-01-08