區(qū)間直覺梯形模糊幾何Bonfer roni平均算子及其應(yīng)用

周曉輝， 姚 儉

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093）

區(qū)間直覺梯形模糊幾何Bonfer roni平均算子及其應(yīng)用

周曉輝， 姚 儉

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093）

研究了決策信息為區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)且屬性間存在相互關(guān)聯(lián)的多屬性群決策問題，提出一種基于區(qū)間直覺梯形模糊幾何加權(quán)Bonferroni平均算子的決策方法.基于區(qū)間梯形直覺模糊數(shù)的運(yùn)算法則和幾何Bonferroni平均算子，定義了區(qū)間直覺梯形模糊幾何Bonferroni平均算子及其加權(quán)算子.給出了這些算子的一些性質(zhì)，建立基于區(qū)間直覺梯形模糊幾何加權(quán)Bonferroni平均算子的多屬性群決策模型.最后，將該方法應(yīng)用在供應(yīng)商選擇的群決策問題中，結(jié)果表明了該方法的有效性與可行性.

區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)；幾何Bonferroni平均算子；多屬性群決策

Key words：interval-valued intuitionistic trapezoidal fuzzy number；geometric weighted Bonferroni means operator；multi-attribute group decision making

自Atanassov提出直覺模糊集［1］（intuitionistic fuzzy sets，IFS）以來，因IFS綜合考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面的信息，能更加細(xì)膩地描述和刻畫客觀世界的模糊性本質(zhì)，眾多學(xué)者對(duì)IFS進(jìn)行了深入研究.目前關(guān)于IFS的拓展形式主要有區(qū)間直覺模糊集（interval-valued intuitionistic fuzzy sets，IVIFS）［2-4］、三角直覺模糊數(shù)（triangular intuitionistic fuzzy numbers，TIFN）［5-6］、直覺梯形模糊數(shù)（intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers，ITFN）和區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)（interval-valued intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers，IVITFN）［7］.王堅(jiān)強(qiáng)［7］于2008年首次提出了IVITFN的概念，但與其相關(guān)的研究并不多見.因IVITFN的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)用區(qū)間數(shù)描述，在刻畫客觀世界的模糊性本質(zhì)方面比IFS，IVIFS，ITFN 和TIFN更為精細(xì)和準(zhǔn)確，因而引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.萬(wàn)樹平［8］探討了IVITFN的運(yùn)算法則，定義其得分函數(shù)和精確函數(shù)，給出了IVITFN的排序方法，定義了IVITFN的加權(quán)算術(shù)平均（IVITFNWAA）和加權(quán)幾何平均算子（IVITFNWGA），并將其應(yīng)用于多屬性群決策（MAGDM）領(lǐng)域.Wu等［9］研究了IVITFN的加權(quán)幾何算子（IVITFNWG）、有序加權(quán)幾何算子（IVITFNOWG）和混合幾何算子（IVITFNHG），并給出MAGDM方法.汪新凡等［10］定義了新的IVITFN加法運(yùn)算法則，結(jié)合IVITFN的期望值給出了新的IVITFN加權(quán)算術(shù)平均（IVITFNWAA）算子、有序加權(quán)平均（IVITFNOWA）算子和混合集成（IVITFNHA）算子.

上述研究的IVITFN集成算子僅考慮了屬性間相互獨(dú)立的情況，實(shí)際決策中，不同屬性間會(huì)存在不同程度的聯(lián)系，如互補(bǔ)、冗余、偏好關(guān)系等.有關(guān)屬性間具有相互關(guān)聯(lián)的IVITFN集成算子卻不曾見到報(bào)道.基于Bonferroni提出的BM算子［11］能夠很好地捕獲輸入變量之間的相互關(guān)聯(lián)情況，其可以將多個(gè)輸入變量集結(jié)為一個(gè)輸入變量，是一種介于最大和最小之間的集成算子.Xu等［12］在直覺模糊環(huán)境下拓展了BM算子進(jìn)行IFS的信息集成，另外將BM算子與IVIFS結(jié)合，提出了IVIFBM算子，研究了相關(guān)的性質(zhì)，并應(yīng)用于MAGDM領(lǐng)域［13］.Dutta等［14］將ITFN和BM算子結(jié)合，提出了直覺梯形模糊Bonferroni（ITFBM）算子和廣義直覺梯形模糊Bonferroni（GITFBM）算子.Xia等［15］研究了幾何Bonferroni平均（GBM）算子，在直覺模糊環(huán)境下將IFS與GBM算子結(jié)合，提出了直覺模糊幾何Bonferroni平均（IFGBM）算子和直覺模糊幾何加權(quán)Bonferroni平均（IFGWBM）算子，同時(shí)研究了其性質(zhì)，并通過MADGM算例驗(yàn)證了IFGWBM算子的有效性和實(shí)用性.

基于以上分析，本文將IVITFN與GBM算子相結(jié)合，提出IVITFGBM算子和IVITFGWBM算子，同時(shí)研究它們的一些性質(zhì).最后給出一種基于IVITFGWBM算子的MAGDM方法.

1 基本理論

1.1 IVITFN定義

定義1［7-9］設(shè)α～實(shí)數(shù)集上的一個(gè)IVITFN的區(qū)間值隸屬函數(shù)為

圖1 區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)Fig.1 Interval-valued intuitionistic trapezoidal fuzzy number

1.2 IVITFN的運(yùn)算法則

1.3 IVITFN的排序方法

1.4 GBM算子

定義4［15］設(shè)p，q＞0，且非負(fù)實(shí)數(shù)集合｛a1，a2，…，an｝滿足

則稱函數(shù)GBp，q為GBM算子.

為處理決策信息以IVITFN給出的MAGMD問題，結(jié)合GBM算子給出IVITFGBM算子.

1.5 IVITFGBM算子

1.6 IVITFGWBM算子

基于以上研究知，IVITFGBM算子考慮了屬性間關(guān)聯(lián)性，是一種IVITFN集成的新方法，但是在實(shí)際應(yīng)用中，屬性具有不同的重要程度，為此，提出IVITFGWBM算子.

定理6的證明類似定理1，限于篇幅，證明過程略.

2 基于IVITFGWBM算子的MAGDM方法

步驟1 設(shè)決策者dk給出方案Ai在屬性Cj下的評(píng)價(jià)值為IVITFN，從而得到?jīng)Q策矩陣為D（k）= （α）n×t.

步驟2 利用IVITFGWBM算子，對(duì)m位決策專家給出的決策矩陣進(jìn)行信息集成，綜合專家權(quán)重，得到方案Ai（i=1，2，…，t）的總體評(píng)價(jià)值.

步驟3 計(jì)算得分函數(shù)值與精確函數(shù)值，根據(jù)IVITFN排序方法對(duì)方案進(jìn)行優(yōu)劣排序，進(jìn)而得到最佳方案. wj=1.具體決策步驟如下：

3 實(shí)例分析

某食品公司擬從3個(gè)供應(yīng)商（A1，A2，A3）中選擇合適的合作伙伴，故針對(duì)每個(gè)供應(yīng)商的4個(gè)屬性進(jìn)行了評(píng)估，4個(gè)屬性分別為：產(chǎn)品質(zhì)量C1；技術(shù)能力C2；污染控制C3；環(huán)境管理C4.屬性的權(quán)重向量為w=［0.25，0.2，0.35，0.2］T，有3位決策專家d1，d2，d3分別對(duì)這A1，A2，A3根據(jù)上述的4個(gè)屬性進(jìn)行滿意度測(cè)評(píng)，如表1～3所示.給出的測(cè)評(píng)值均為IVITFN，其中3位決策者的權(quán)重向量為ω= ［0.2，0.3，0.5］T.采用本文提出來的方法對(duì)供應(yīng)商進(jìn)行選擇.

表1 決策者d1給出的決策矩陣Tab.1 Decision matrix from decision maker d1

表2 決策者d2給出的決策矩陣Tab.2 Decision_ matrix from decision maker d2

表3 決策者d3給出的決策矩陣Tab.3 Decision matrix from decision maker d3

步驟1 本文研究p=1，q=1的情況，由式（22）算出各個(gè)決策者對(duì)每個(gè)供應(yīng)商的測(cè)評(píng)值如下：

步驟2 考慮到?jīng)Q策者的權(quán)重，通過加權(quán)得到每個(gè)供應(yīng)商的測(cè)評(píng)結(jié)果如表4所示.

表4 測(cè)評(píng)結(jié)果、得分函數(shù)值和精確函數(shù)值Tab.4 Evaluation results，scoring function values and precise function value

步驟3 由式（5）、式（6）計(jì)算得分函數(shù)值和精確函數(shù)值如表5所示，然后根據(jù)IVITFN排序方法對(duì)供應(yīng)商進(jìn)行優(yōu)劣排序?yàn)锳1＞A3＞A2.因此，最優(yōu)的供應(yīng)商為A1.

對(duì)比分析文獻(xiàn)［8］，運(yùn)用IVITFWAA算子和IVITFWGA算子的結(jié)果如表5所示.

表5 IVITFWAA算子和IVITFWGA算子集成結(jié)果Tab.5 Integration results of IVITFWAA operator and IVITFWGA operator

由表5知，通過IVITFWAA算子和IVITFWGA算子得到供應(yīng)商的優(yōu)劣排序均為A1＞A2＞A3.最優(yōu)的供應(yīng)商為A1，而A2，A3的優(yōu)劣排序與IVITFGWBM算子的不同，主要因?yàn)楸疚奶岢龅腎VITFGWBM算子考慮了屬性間的關(guān)聯(lián)性.

4 結(jié)束語(yǔ)

實(shí)際生活中的MAGDM問題，決策屬性之間往往存在不同程度上的相互關(guān)聯(lián)［17-19］.針對(duì)現(xiàn)有IVITF信息集結(jié)算子存在的不足，結(jié)合GBM算子，研究了IVITFGBM算子和IVITFGWBM算子，并研究了IVITFGBM算子的一些性質(zhì)，最后將IVITFGWBM算子應(yīng)用在MAGDM中.算例結(jié)果表明了該算子的有效性和正確性.與傳統(tǒng)方法對(duì)比，該方法考慮了決策屬性間的關(guān)聯(lián)性，使決策分析更接近決策問題的實(shí)際情況，決策結(jié)果更加合理，為解決MAGDM問題提供了新思路.

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（編輯：丁紅藝）

Interval-valued Intuitionistic Trapezoidal Fuzzy Geometric Bonferroni Means and Its Application

ZHOU Xiao-hui， YAOJian
（Business School，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

For solving multiple attributes group decision-making（MAGDM）problems where attribute values are in the form of interval-valued intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers and attributes are associated with each other，an approach was proposed based on interval-valued intuitionistic trapezoidal fuzzy geometric weighted Bonferroni means（IVITFGWBM）operator.The concepts of interval-valued intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers were introduced，and intervalvalued intuitionistic trapezoidal fuzzy geometric Bonferroni means（IVITFGBM）operator and IVITFGWBM operator were defined based on operational laws and Bonferroni means operator. Meanwhile，the related properties were analysed，then a model of multi-attribute group decision making was constructed based on IVITFGWBM operator，which was for making decisions combined with sort methods.The approach was further applied in group decision-making problems of supplier selection，and the results show that the developed approach is feasible and effective.

C 934文獻(xiàn)標(biāo)示碼：A

1007-6735（2014）05-0461-08

10.13255／j.cnki.jusst.2014.05.010

2013-12-25

周曉輝（1987-），男，碩士研究生.研究方向：系統(tǒng)工程、模糊決策理論與應(yīng)用.E-mail：zxhhappy521g＠163.com

姚 儉（1960-），男，教授.研究方向：智能控制、模糊系統(tǒng)理論、系統(tǒng)工程.E-mail：yaojian＠usst.edu.cn