新型兩轉(zhuǎn)動自由度完全解耦并聯(lián)機構(gòu)及其特性

侯雨雷，張占葉，胡鑫喆，曾達幸

（燕山大學機械工程學院，066004河北秦皇島）

新型兩轉(zhuǎn)動自由度完全解耦并聯(lián)機構(gòu)及其特性

侯雨雷，張占葉，胡鑫喆，曾達幸

（燕山大學機械工程學院，066004河北秦皇島）

針對并聯(lián)機構(gòu)內(nèi)部耦合性給其運動學和動力學分析以及控制系統(tǒng)的開發(fā)帶來的問題，提出一種新型的兩自由度轉(zhuǎn)動解耦并聯(lián)機構(gòu).運用約束螺旋法對機構(gòu)的自由度和運動特性進行分析，通過修正的Kutzbach-Grübler公式計算出機構(gòu)自由度數(shù)目；利用各構(gòu)件間幾何關(guān)系，求解機構(gòu)位置正反解解析表達式；根據(jù)機構(gòu)輸入與輸出參數(shù)間關(guān)系式，推導得到機構(gòu)雅可比矩陣，進而依據(jù)雅可比矩陣表達式，驗證了機構(gòu)的解耦特性，并進而討論了驅(qū)動輸入的選擇對機構(gòu)奇異的影響.提出的解耦并聯(lián)機構(gòu)豐富了機構(gòu)構(gòu)型庫，對進一步應(yīng)用具有理論指導意義.

并聯(lián)機構(gòu)；轉(zhuǎn)動解耦；約束螺旋；奇異；雅可比矩陣

并聯(lián)機構(gòu)由固定與運動平臺及連接兩平臺的兩個或者兩個以上開環(huán)運動鏈組成，與串聯(lián)機構(gòu)相比，具有比剛度大、無誤差累積、承載能力強等優(yōu)點，在諸多領(lǐng)域得到獨特的應(yīng)用.然而，一般而言，并聯(lián)機構(gòu)工作空間較小，奇異具有多樣性，且控制系統(tǒng)復雜，在一定程度上限制了其應(yīng)用.而若并聯(lián)機構(gòu)實現(xiàn)解耦，即輸入、輸出變量呈一一對應(yīng)關(guān)系，則其理論分析和實體研制將更簡便，故解耦并聯(lián)機構(gòu)已成為當前機構(gòu)學領(lǐng)域的研究熱點之一.Kong等［1］利用幾何描述法對3類2～4自由度解耦并聯(lián)機構(gòu)進行了型綜合.李為民等［2］提出了僅由轉(zhuǎn)動副組成的R-CUBE三自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu).Altuzarra等［3］以具體實例闡述了如何通過分支選擇及組裝方式實現(xiàn)少自由度多級操作器部分解耦的問題.Glazunov［4］基于封閉螺旋組的思想研究了解耦并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計方法.Legnani等［5］對Stewart結(jié)構(gòu)予以改進，研制出在特定位形下解耦和各向同性的六自由度并聯(lián)機構(gòu).相比六自由度機構(gòu)而言，少自由度并聯(lián)機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單，設(shè)計制造成本低廉等優(yōu)點［6-7］.黃田等［8］分析了少自由度并聯(lián)機構(gòu)的廣義雅可比.Amine等［9］提出一個分析少自由度機器人奇異性的通用方法.作為并聯(lián)機構(gòu)的重要分支，轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)引起了許多學者的關(guān)注［10-11］.Carricato等［12］提出一個包含兩個曲柄滑塊機構(gòu)的兩轉(zhuǎn)動完全解耦并聯(lián)機構(gòu).劉辛軍等［13］提出一類具有高轉(zhuǎn)動能力的空間三自由度并聯(lián)機器人.Gogu［14］利用線性變換理論綜合出完全各向同性的兩自由度并聯(lián)手腕. Hervé［15］利用位移子群的代數(shù)特性綜合得到多種解耦的非過約束定位機構(gòu).轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)已在許多領(lǐng)域得以廣泛應(yīng)用，但迄今已有具有解耦特性的轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)比較復雜，而兩自由度轉(zhuǎn)動解耦并聯(lián)機構(gòu)還很缺乏［16］.

本文提出了一種新型的RU-RPR（R為轉(zhuǎn)動副，U為虎克鉸，P為移動副）兩轉(zhuǎn)動解耦并聯(lián)機構(gòu)，并對其運動特性進行分析.描述了所提出并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)組成，利用約束螺旋法分析了機構(gòu)可能的運動，并由修正的Kutzbach-Grübler公式計算出機構(gòu)自由度，然后討論了機構(gòu)的位置正反解、解耦特性及不同驅(qū)動輸入下機構(gòu)的奇異性.

1 RU-RPR轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)組成

轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)由定平臺、動平臺以及連接兩平臺的兩條支鏈組成（見圖1），從定平臺開始計，第一條分支AB依次由轉(zhuǎn)動副（R）和虎克鉸（U）組成，第二條分支CD依次由轉(zhuǎn)動副（R）、移動副（P）和轉(zhuǎn)動副（R）組成.其中，移動副的導路方向垂直于第二條分支中兩個轉(zhuǎn)動副的軸線，兩分支中與固定平臺相連的兩轉(zhuǎn)動副軸線相互平行且與虎克鉸的一條軸線平行，虎克鉸的另一條軸線與第二分支中與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副軸線重合［17-18］.

圖1 RU-RPR 2自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)

初始狀態(tài)下，RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的動平臺與定平臺平行.以定平臺的幾何中心為原點建立固定坐標系O-XYZ，其Y軸平行于第二分支中和動平臺相連的轉(zhuǎn)動副的軸線，Z軸沿鉛垂方向且平行于與定平臺相連的轉(zhuǎn)動副軸線．在動平臺幾何中心建立動坐標系o-xyz，其y軸和第二分支中與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副軸線共線，z軸垂直于動平臺平面．

2 RU-RPR轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)自由度分析

圖2所示為RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)螺旋系，第一分支坐標系o1-x1y1z1的原點建立在虎克鉸的中心位置，y1軸和z1軸分別沿虎克鉸的兩個轉(zhuǎn)動軸線；第二分支坐標系o2-x2y2z2的原點建立在移動副運動方向和與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副軸線的交點處，y2軸沿與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副軸線方向，z2軸垂直于動平臺平面．

圖2 RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)螺旋系

則分支1的運動螺旋系為

式中a、b均為非零實數(shù)．

對式（1）求反螺旋，可得分支1的約束螺旋為

式（2）的約束螺旋系表示兩個約束力和1個約束力偶，即分支1限制了動平臺在xy平面內(nèi)沿AB的移動、沿z1軸的移動以及繞x1軸的轉(zhuǎn)動．

類似的，可得分支2的運動螺旋為

式中c為非零實數(shù)．

對式（3）求反螺旋，可得分支2的約束螺旋為

式（4）的約束螺旋系表示兩個約束力和1個約束力偶，即分支2限制了動平臺沿z2軸的移動、過轉(zhuǎn)軸D沿y2方向的移動以及繞x2軸的轉(zhuǎn)動．

綜合上述分析可見，轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)分支1和分支2的6個約束螺旋限制了動平臺的全部移動和繞X軸的轉(zhuǎn)動.因此，RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)只具有繞Y軸和Z軸轉(zhuǎn)動的兩個自由度.

并聯(lián)機構(gòu)的自由度也可通過修正的Kutzbach-Grübler公式［19］求得，需要說明的是該機構(gòu)有兩個公共約束，分別是沿Z軸的約束力和繞X軸的約束力偶，機構(gòu)沒有冗余約束和局部自由度，因此其自由度為

式中:M為機構(gòu)的自由度；d為機構(gòu)的階數(shù)，且d=

6-λ；λ為公共約束；n為包括機架在內(nèi)的構(gòu)件數(shù)目；g為運動副的數(shù)目；fi為第i個運動副的自由度數(shù)目；ν為多環(huán)并聯(lián)機構(gòu)在除去公共約束因素后冗余約束的數(shù)目；ζ為機構(gòu)中存在的局部自由度．

3 RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)位置分析

如圖3所示，選擇第1分支的轉(zhuǎn)動副和第2分支與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副作為驅(qū)動輸入副.定義各符號如下:θ為第1分支的轉(zhuǎn)動副繞Z軸旋轉(zhuǎn)角度，γ為第2分支與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副繞Y軸旋轉(zhuǎn)角度；α和β分別為動平臺繞動坐標系z軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角度；L為與定平臺相連的兩個轉(zhuǎn)動副軸線間的垂直距離，l1和l2分別表示桿AB和BC的長度．

圖3 RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)運動參數(shù)示意圖

3.1 位置反解

RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的位置反解即指通過給定的機構(gòu)動平臺姿態(tài)轉(zhuǎn)角（α，β）來求解機構(gòu)的輸入量（θ，γ）．

根據(jù)前述RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)組成特點，顯然可得

如圖4所示，在XY平面內(nèi)，ABCD構(gòu)成一個平面四桿機構(gòu)，假設(shè)AB與BC共線時為機構(gòu)的初始狀態(tài)，且令δ為AD和AB的夾角．當?shù)?分支AB繞Z軸轉(zhuǎn)過θ角后，RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)動平臺將相應(yīng)的轉(zhuǎn)過α角，則此時平面四桿機構(gòu)變化至AB′C′D位置．

圖4 XY平面內(nèi)四桿機構(gòu)簡圖

由圖4中所示幾何關(guān)系，有

對于四桿機構(gòu)AB′C′D，可建立如下方程式:

即

其中:θ′=δ+θ，α′=δ+α．

進而可求得輸入?yún)?shù)θ為

3.2 位置正解

RU-RPR轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的位置正解指的是通過已知的機構(gòu)兩個輸入?yún)?shù)（θ，γ）來求解動平臺的姿態(tài)參數(shù)（α，β）．由式（5），可得

又根據(jù)式（6），有

進一步整理可求得

式中:Δ=-l1sinθ′，Γ=L-l1cosθ′．

4 RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)速度分析

對并聯(lián)機構(gòu)而言，其動平臺速度和驅(qū)動關(guān)節(jié)速度之間的映射關(guān)系可借助雅可比矩陣表達，即

式中:V為機構(gòu)動平臺的速度矢量；˙q為驅(qū)動關(guān)節(jié)的輸入速度矢量；J為雅可比矩陣，表征了機構(gòu)的輸入速度和動平臺輸出速度間的映射關(guān)系．

根據(jù)雅可比矩陣的表達形式，并聯(lián)機構(gòu)可以分為以下4種類型［20］:1）完全各向同性并聯(lián)機構(gòu)，J是對角陣且對角線上的元素都相同；2）完全解耦并聯(lián)機構(gòu)，J為對角陣，但對角線上的元素并不全部相同；3）部分解耦并聯(lián)機構(gòu)，J是三角陣；4）耦合并聯(lián)機構(gòu)，J既不是對角陣，又不是三角陣．

將式（5）和式（6）分別對時間求導，可得

將式（7）改寫為矩陣形式，即

其中:

如果矩陣Φ非奇異，則由式（8）可得RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣為

由式（9）可見，RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣為對角陣，這意味著該并聯(lián)機構(gòu)運動解耦，且實現(xiàn)了完全解耦.

5 RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)奇異性分析

機構(gòu)在運動過程中，如果處于奇異位置，會導致機構(gòu)處于死點或失去穩(wěn)定或使機構(gòu)的自由度瞬時發(fā)生突變，使得機構(gòu)傳遞運動和動力的能力失常，因此奇異位形的分析是并聯(lián)機構(gòu)研究的重要環(huán)節(jié)之一.

對同一個并聯(lián)機構(gòu)而言，選取的驅(qū)動副不同，會導致不同的奇異表現(xiàn)，換言之，如果并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動改變，則其奇異的類型或是狀態(tài)也會隨之發(fā)生改變.

如前述分析，RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)具有繞Y軸和Z軸轉(zhuǎn)動的兩個自由度，在本節(jié)，以第2分支中與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副作為實現(xiàn)動平臺繞Y軸轉(zhuǎn)動的驅(qū)動副，并保持不變；而選擇不同的運動副驅(qū)動動平臺實現(xiàn)繞Z軸轉(zhuǎn)動，本節(jié)將分析這兩種情況下機構(gòu)的奇異性．

考慮到RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的實際結(jié)構(gòu)需要，有不等式L＞l1+l2成立．

5.1 A處轉(zhuǎn)動副作為驅(qū)動時機構(gòu)的奇異

首先選取第1分支中A處的轉(zhuǎn)動副作為驅(qū)動．令｜J｜=0，由式（9）可知，RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)發(fā)生奇異時有如下方程成立:

l1sin（θ-α）=0．

考慮到實際情況下，機構(gòu)桿長l1不可能為零，故有

或

上述兩式對應(yīng)于RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的兩種邊界奇異情況如圖5所示，此時運動鏈ABC完全拉直共線（圖a）或折疊共線（圖b），而桿DC分別到達最短或最長極限位置.

圖5 RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)以A作驅(qū)動副時邊界奇異

5.2 D處轉(zhuǎn)動副作為驅(qū)動時機構(gòu)的奇異

若以第2分支中D處的轉(zhuǎn)動副作為驅(qū)動，則由于機構(gòu)構(gòu)型并不因驅(qū)動副選擇而發(fā)生變化，故前述機構(gòu)位置分析中所得幾何關(guān)系式依然成立，只是表達式中不應(yīng)再以A處轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)角為輸入變量，而應(yīng)代以D處轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角．不妨定義φ為第2分支與定平臺相連轉(zhuǎn)動副（D處轉(zhuǎn)動副）繞Z軸旋轉(zhuǎn)角度，相應(yīng)的XY平面內(nèi)機構(gòu)簡圖如圖6所示．

圖6 D為驅(qū)動副時XY平面內(nèi)四桿機構(gòu)簡圖

由機構(gòu)簡圖顯見，對應(yīng)此情況下，當存在φ= arcsin（（l1+l2）／L）或φ=arcsin（（l2-l1）／L）時，RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)發(fā)生奇異，相應(yīng)的機構(gòu)奇異位形如圖7所示.

圖7 RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)D作驅(qū)動副時的死點奇異

5.3 兩種奇異下機構(gòu)運動特性對比分析

對比圖5和圖7可知，盡管機構(gòu)奇異位形外在表現(xiàn)形式一樣，但由于驅(qū)動副選取的不同，使得兩種情況下奇異的物理意義和運動特性截然不同.

在圖7中所示機構(gòu)狀態(tài)，因為D處的轉(zhuǎn)動副為驅(qū)動輸入，則此時RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)處于死點，意味著無論施加多大的驅(qū)動力，也不能使機構(gòu)產(chǎn)生運動.而對應(yīng)圖5所示機構(gòu)狀態(tài)，因A處轉(zhuǎn)動副為驅(qū)動輸入，故并不存在死點，而是瞬時運動不確定，即機構(gòu)動平臺此時既可能繞Z軸順時針轉(zhuǎn)動，也可能逆時針轉(zhuǎn)動.

可見，因機構(gòu)驅(qū)動副選取的不同，導致盡管奇異時機構(gòu)所處的位形一樣，但其運動特性是不同的.此外，還值得考慮的一個問題是，處于上述奇異位形時，是否會導致RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)自由度性質(zhì)或數(shù)目發(fā)生改變.

針對上述兩種奇異位形中的ABC拉直共線情況，建立RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)及其各分支坐標系如圖2所示.

此時，相對于坐標系o1-x1y1z1下的分支1的運動螺旋系為

式中e為非零實數(shù).

對式（10）求反螺旋，可得分支1的約束螺旋為

式（11）的約束螺旋系表示兩個約束力和一個約束力偶，其限制了機構(gòu)動平臺沿y1軸、z1軸的移動以及繞x1軸的轉(zhuǎn)動．

分支2的運動螺旋為

對式（12）求反螺旋，可得分支2的約束螺旋為

式中h為非零實數(shù).

式（13）的約束螺旋系表示兩個約束力和一個約束力偶，其限制了機構(gòu)動平臺沿z2方向的移動和過D處沿y2方向的移動以及繞x2軸的轉(zhuǎn)動．

綜合以上分析可知，機構(gòu)兩分支6個約束螺旋的共同作用限制了RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)動平臺沿Y軸和Z軸的移動以及繞X軸和Z軸的轉(zhuǎn)動，此時RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)只能繞Y軸轉(zhuǎn)動和沿X軸移動，即具有一轉(zhuǎn)動一移動兩個自由度．

換言之，在這種奇異位形下，盡管RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的自由度數(shù)仍為2，但是自由度的性質(zhì)發(fā)生了改變，由兩轉(zhuǎn)動變成了一轉(zhuǎn)動一移動，而且，這種情況僅取決于機構(gòu)的位形，而與驅(qū)動副的選擇無關(guān).

對于運動鏈ABC折疊共線情況，機構(gòu)奇異位形的分析過程與上述類似，所得出的結(jié)論也是一致的，不再贅述.

6 結(jié) 論

1）本文提出了一種新型的RU-RPR兩轉(zhuǎn)動完全解耦并聯(lián)機構(gòu)，豐富了并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型庫.利用約束螺旋理論分析了所提出并聯(lián)機構(gòu)的可能運動，并借助修正的Kutzbach-Grübler公式驗證了該機構(gòu)的自由度；求解獲得機構(gòu)的位置正反解解析表達式，并基于所求得的雅可比矩陣證實了機構(gòu)的解耦特性.

2）通過分析不同驅(qū)動對RU-RPR轉(zhuǎn)動解耦機構(gòu)奇異位形的影響，發(fā)現(xiàn)選擇不同驅(qū)動導致奇異位形下機構(gòu)的運動特性不同，并且奇異時機構(gòu)的自由度性質(zhì)發(fā)生了變化，由兩轉(zhuǎn)動自由度瞬時轉(zhuǎn)變?yōu)橐晦D(zhuǎn)動一移動.

3）本文所提出的RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單且運動解耦，不需復雜的運動學計算，易于控制實現(xiàn)，可預(yù)見在兩自由度空間定向領(lǐng)域?qū)泻芎玫膽?yīng)用前景.研究內(nèi)容對轉(zhuǎn)動解耦并聯(lián)機構(gòu)的更進一步研究具有一定的理論指導意義.

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（編輯楊 波）

A novel 2-DOF fully decoupled rotational parallelmechanism and its characteristics

HOU Yulei，ZHANG Zhanye，HU Xinzhe，ZENG Daxing
（School of Mechanical Engineering，Yanshan University，066004 Qinhuangdao，Hebei，China）

To avoid the difficulties in the kinematics and dynamic analysis，development of control system，and so on brought by the existence of coupling in the parallel mechanism，a novel two degrees of freedom（DOF）rotational decoupled parallelmechanism（DPM）is proposed.Themobility and motion feature of this 2-DOF rotational DPM is analyzed with the constraint screw method，and the number ofmobility is calculated by using the Modified Kutzbach-Grübler criterion.The inverse and forward displacement problems of the proposed DPM are solved according to the geometrical relationship.The expression of the Jacobian matrix is deduced with the relational expression between the input and output parameters of the mechanism.And according to the expression of the Jacobianmatrix，the decoupled feature of the proposed parallelmechanism is validated.Aiming at different selection of the drive，the singular configuration of the mechanism is analyzed according to the Jacobianmatrix.The contents of this paper enrich the configurations of the decoupled parallel mechanisms and should be useful for the further application of the parallelmechanisms.

parallelmechanism；rotational decoupled；constraint screw；singularity；Jacobian matrix

TH112

A

0367-6234（2014）09-0080-06

2013-08-12.

國家自然科學基金資助項目（51005195，51205339）；中國博士后科學基金資助項目（2013M541199）.

侯雨雷（1980—），男，博士，副教授.

曾達幸，roboms＠ysu.edu.cn.