地震學(xué)百科知識(shí)（十二）
——地震波散射＊

吳如山 謝小碧

1）美國加州大學(xué)圣克魯斯分校，地球與行星科學(xué)學(xué)院，美國加州CA 95064

2）美國加州大學(xué)圣克魯斯分校，地球物理與行星物理研究所，美國加州CA 95064

地震科普

地震學(xué)百科知識(shí)（十二）
——地震波散射＊

吳如山1）謝小碧2）

1）美國加州大學(xué)圣克魯斯分校，地球與行星科學(xué)學(xué)院，美國加州CA 95064

2）美國加州大學(xué)圣克魯斯分校，地球物理與行星物理研究所，美國加州CA 95064

廣義地說，由地球介質(zhì)的任何三維非均勻性引起的地震波場(chǎng)畸變均可稱為地震波散射。不過，通常地震波散射是指由地球小尺度（與波長(zhǎng)相比）非均勻性引起的、不適合用射線理論（幾何射線）研究的地震波場(chǎng)畸變現(xiàn)象。例如，波場(chǎng)傳播方向的偏折和分裂，P波和S波的相互轉(zhuǎn)換，地震尾波的產(chǎn)生，地震波的走時(shí)和振幅橫跨觀測(cè)臺(tái)陣的隨機(jī)起伏變化等。

1 地球介質(zhì)的不均勻性及地震波散射

隨著對(duì)地球結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的深入，經(jīng)典的球?qū)ΨQ地球模型或分層地球模型常常不能滿足研究的需要。人們逐漸認(rèn)識(shí)到地球各個(gè)部分，包括地殼、地幔和地核都是橫向不均勻的。其不均勻性的變化范圍可以小到晶粒尺度，也可以大到整個(gè)大陸的尺度。

地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)的非均勻性的存在往往揭示出地質(zhì)構(gòu)造活動(dòng)的存在，例如，地震斷層活動(dòng)、板塊俯沖、大陸碰撞、地幔對(duì)流或熱柱活動(dòng)等。目前，地震波是研究這些非均勻性的最有效的工具之一。

不同尺度的非均勻體對(duì)地震波傳播具有不同的影響。全球性的非均勻性會(huì)使大地震激發(fā)出來的地球自由振蕩的振型產(chǎn)生分裂。區(qū)域性的或局部的非均勻性會(huì)使地震波的走時(shí)、波形以及振幅發(fā)生起伏變化。核幔邊界處的非均勻性會(huì)在地核影區(qū)產(chǎn)生散射波震相。小尺度的局部非均勻性會(huì)產(chǎn)生地震尾波并引起地震波的視衰減（散射衰減）。非常小尺度的非均勻體，例如介質(zhì)中的裂隙或沉積地層中的薄互層，可以引起介質(zhì)中的宏觀各向異性。

對(duì)于具有平均尺度a和速度擾動(dòng)強(qiáng)度指數(shù)?v的非均勻體，它對(duì)地震波的影響可以用三個(gè)無量綱的特征量劃分為不同的區(qū)域來討論。這三個(gè)特征量是ka＝2πa／λ，L／a和?v，其中k是波數(shù)，λ是介質(zhì)中的波長(zhǎng)，L是波傳播的距離或非均勻區(qū)的尺度，?v＝（δv／v0）rms是速度相對(duì)擾動(dòng)的均方根值，v0是區(qū)域速度的平均值。以下是介質(zhì)不均勻性對(duì)地震波傳播的不同影響區(qū)域［1，2］（圖1）。

（1）準(zhǔn)均勻區(qū)。當(dāng)ka＜0.01時(shí)，地震波很難探測(cè)到非均勻性的存在。利用等效參數(shù)，介質(zhì)可以被近似看成均勻介質(zhì)。

（2）瑞利散射。當(dāng)ka?1（例如ka＜0.1）時(shí)，散射能量正比于k4（振幅正比于k2）。在這一范圍中的散射會(huì)引起明顯的地震波衰減。

圖1 地球中地震波散射現(xiàn)象的分類及不同近似方法的使用范圍。a為非均勻體尺度；L為波傳播距離；k＝2π／λ為波數(shù)；IS是散射波功率，I0是入射波功率

（3）大角度散射。當(dāng)ka≈（例如0.1＜ka＜10）時(shí)，非均勻體的大小與波長(zhǎng)接近，散射現(xiàn)象變得非常重要。入射能量以較大的角度被散射到各個(gè)方向。在這一范圍中的散射現(xiàn)象也被稱為共振散射或Mie散射。它對(duì)于形成地震尾波或引起散射衰減具有重要貢獻(xiàn)。

（4）小角度散射或前向散射。當(dāng)ka?1時(shí)，絕大部分散射能量集中在波前進(jìn)的方向。在這一范圍，可以用拋物方程來近似全波波動(dòng)方程。從物理上講，這是因?yàn)榇蟛糠帜芰肯蚯皞鞑?，所以可以用單向波方程來代替全波方程。在?shí)踐中，單向波方程的應(yīng)用常常被推廣到ka＞1。小角度散射問題與地震波的焦散現(xiàn)象、衍射現(xiàn)象和干涉現(xiàn)象有密切關(guān)系。它可以產(chǎn)生地震波走時(shí)和振幅的起伏，而由此產(chǎn)生的觀測(cè)結(jié)果也可作為研究地球內(nèi)部速度分布的數(shù)據(jù)。引入兩個(gè)參數(shù)：

衍射參數(shù)：

散射強(qiáng)度參數(shù)：

其中衍射參數(shù)Λ是一個(gè)跟費(fèi)涅爾半徑與不均勻尺度之比有關(guān)的無量綱量；LF＝是沿傳播路徑L上的平均費(fèi)涅爾半徑；散射強(qiáng)度參數(shù)Φ可以被近似地理解為波通過距離L后所產(chǎn)生的均方根相位變化；aL是沿傳播方向上非均勻體的尺度；ξ＝aL／a是非均勻性的各向異性比率。根據(jù)這兩個(gè)參數(shù)，可以將小角度散射進(jìn)一步細(xì)分為三個(gè)區(qū)域：

（1）幾何光學(xué)區(qū)。這個(gè)區(qū)域處于ka＞1，Λ＜1以及ΛΦ＜2π。由于Λ＜1，沿著路徑的平均費(fèi)涅爾半徑小于非均勻體的橫向尺度，所以衍射現(xiàn)象可以被忽略。如果使用射線理論，同時(shí)還要滿足ΛΦ＜2π。由方程（1）和（2），ΛΦ＝（L／a）3／2，所以使用射線理論受到傳播長(zhǎng)度和速度擾動(dòng)強(qiáng)度v?的限制。當(dāng)ΛΦ＞2π，射線會(huì)分裂成互相干涉的微射線（microrays），問題會(huì)變得更加復(fù)雜。

（2）衍射區(qū)。這個(gè)區(qū)域由ka＞1，Λ＞1以及Φ＜2π來界定。由于Λ＞1，衍射現(xiàn)象必須加以考慮。Φ＜2π把問題限定在弱（非飽和）振幅起伏的范圍。在衍射和幾何光學(xué)的范圍內(nèi)，可利用里托夫（Rytov）近似（或平滑擾動(dòng)近似）來處理問題。

（3）飽和區(qū)。這個(gè)區(qū)域由Φ＞2π和ΛΦ＜2π來界定。在這一區(qū)域中，振幅起伏趨于飽和，射線分裂為無數(shù)相互干涉的微射線。目前尚無有效的解析方法來研究這種現(xiàn)象。隨機(jī)介質(zhì)的散射理論可以用來導(dǎo)出一些關(guān)于波特性的統(tǒng)計(jì)學(xué)特征（更詳細(xì)的分析，請(qǐng)參考文獻(xiàn)［1-2］）。

2 地震波散射研究方法

2.1 確定性理論研究方法

在一個(gè)無源的線性彈性介質(zhì)中，適合位移場(chǎng)u的運(yùn)動(dòng)方程為

其中ρ是密度，ui是位移分量，“，j”代表?／?xj，重復(fù)角標(biāo)表示對(duì)于空間變量的求和，λ和μ是介質(zhì)的拉梅常數(shù)。λ、μ和ρ均為位置χ的函數(shù)。為簡(jiǎn)便起見，這里僅考慮各向同性介質(zhì)。

（1）適用于離散非均勻體的邊界元方法。如果在非均勻體的內(nèi)部和外部，介質(zhì)分別是均勻的且二者之間有明確的分界面，則可以利用邊界元或界面積分方程的方法求解和研究散射問題。

（2）利用擾動(dòng)方法研究弱散射問題。當(dāng)利用擾動(dòng)方法來處理問題的時(shí)候，可以將非均勻介質(zhì)分解為背景部分和擾動(dòng)部分。例如，在方程（9）中，介質(zhì)的參數(shù)可以被表示為

其中λ0、μ0和ρ0是背景介質(zhì)參數(shù)，它們是均勻的或者是位置的緩變函數(shù)。δλ、δμ和δρ是介質(zhì)參數(shù)偏離參考值的部分。與此類似，位移場(chǎng)也可以分解為

其中u0是對(duì)于背景介質(zhì)的解，U是散射場(chǎng)。將方程（4）和（5）帶入（3），得到

方程（13）是背景介質(zhì)中的波動(dòng)方程，Q（χ，t）是由于波場(chǎng)與非均勻性相互作用所產(chǎn)生的等效體力。引用格林函數(shù)G0ij（χ，t|χ′，t′）并利用表象定理，散射場(chǎng)可以表示為

如果散射場(chǎng)U相對(duì)于初始場(chǎng)u0來說比較弱，我們可以用初始場(chǎng)u0來近似式（8）中的總場(chǎng)u。這一近似被稱為波恩（Born）近似。這時(shí)，式（8）變成對(duì)于散射場(chǎng)的顯式方程，可以很方便地用來研究弱散射問題。

（3）高頻近似方法：平滑介質(zhì)近似。當(dāng)非均勻體的尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)的時(shí)候（ka?1），反向散射或大角度散射可以被忽略。如果波傳播的距離不是很大，即費(fèi)涅爾半徑不大于非均勻體的尺度a，則傳播方式在幾何光學(xué)描述的范圍內(nèi)（見圖1）。其中僅有聚焦現(xiàn)象起作用。通常，我們并不把幾何光學(xué)描述的范圍包括在散射的范疇之內(nèi)。但是，當(dāng)傳播距離加大，以至于費(fèi)涅爾半徑大于非均勻體的尺度a時(shí)，問題就進(jìn)入了衍射的范疇。此時(shí)，我們必須考慮衍射和干涉現(xiàn)象。在這種情況下里托夫近似是適當(dāng)?shù)姆椒?，因?yàn)樗瑫r(shí)適用于衍射范疇和幾何光學(xué)范疇。

（4）高頻近似方法：間斷面散射問題。如果非均勻體的尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)，它與周圍介質(zhì)的性質(zhì)有很大差別且由清晰的間斷面分隔（例如邊緣、劈形體、塊體、空腔、裂縫等），可以利用很多高頻近似的方法。例如，適用于衍射的幾何理論。當(dāng)非均勻體是由彎曲界面的層狀結(jié)構(gòu)組成，且與波長(zhǎng)相比它的分界面比較光滑，則可以利用物理光學(xué)近似（也稱為克希霍夫近似）的方法。

2.2 隨機(jī)理論方法和介質(zhì)的統(tǒng)計(jì)特性

對(duì)于非常復(fù)雜的介質(zhì)，特別是當(dāng)波散射牽涉到大量的不規(guī)則小尺度非均勻體時(shí)，確定性的研究方法或者非常困難，或者根本不可能。在這種情況下，我們通常采用隨機(jī)介質(zhì)散射的研究方法。例如，當(dāng)波傳播距離遠(yuǎn)大于不均勻尺度，即L／a?1時(shí)（見圖1），就非常適合于用隨機(jī)方法來研究。對(duì)于隨機(jī)介質(zhì)，我們并不奢望能確定每個(gè)小非均勻體的位置、形狀和參數(shù)，而只是希望能觀測(cè)反演出它們的統(tǒng)計(jì)特性，用幾個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)來表征它們：例如它們的平均尺度或功率譜（即非均勻性在不同波數(shù)下的能量密度），介質(zhì)參數(shù)變化起伏的均方根值等。如果數(shù)據(jù)足夠多，還可以求出這種統(tǒng)計(jì)參數(shù)隨空間的變化。散射波場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)特性有波場(chǎng)的相關(guān)函數(shù)或相干函數(shù)，包括空間相關(guān)，頻率相關(guān)，角度相關(guān)，或它們的聯(lián)合相關(guān)函數(shù)，用這些相關(guān)函數(shù)可建立波場(chǎng)統(tǒng)計(jì)特性與非均勻體統(tǒng)計(jì)特性之間的關(guān)系。一旦這兩種統(tǒng)計(jì)特性之間的關(guān)系被建立（有了隨機(jī)散射的正演模型），就可根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征來反推地下非均勻體的統(tǒng)計(jì)特性了。

隨機(jī)散射理論大致可分為弱散射理論和強(qiáng)散射理論［3］。

（1）弱散射理論。在非均勻性很弱或傳播距離較小的情況下，可根據(jù)確定性理論中的微擾法，先用波恩近似或里托夫（Rytov）近似（常與拋物近似相結(jié)合）得到散射場(chǎng)的公式，然后再用集平均（ensemble average）的方法求波長(zhǎng)相關(guān)函數(shù)（或統(tǒng)計(jì)矩）。這樣就可得到波長(zhǎng)相關(guān)函數(shù)與介質(zhì)統(tǒng)計(jì)參數(shù)的關(guān)系。

（2）強(qiáng)散射理論（多次散射理論）。在強(qiáng)散射時(shí)，多次散射變得明顯而重要。波恩散射等單次散射理論已不再有效。在強(qiáng)散射情況下曾推導(dǎo)出2階和4階統(tǒng)計(jì)矩方程。但在地震波研究中應(yīng)用較少。地震波，特別是尾波理論研究中應(yīng)用較多的是輻射傳輸（radiation transfer）或稱能量傳輸（energy transfer）理論。在這種理論中，波長(zhǎng)的相位及干涉效應(yīng)均被忽略，而只考慮在多次散射時(shí)的能量傳輸關(guān)系。因此這種方法本質(zhì)上是一種高頻近似。而輻射傳輸理論本身也是在處理粒子散射時(shí)發(fā)展起來的。在處理強(qiáng)散射下長(zhǎng)距離波傳播時(shí)，即當(dāng)傳播距離遠(yuǎn)大于波散射的平均自由路徑（相當(dāng)于單次散射的有效范圍）時(shí)，詳細(xì)的波相位信息可被忽略，而集中研究波傳播的能量關(guān)系。在理論與觀測(cè)對(duì)比時(shí)，只注意地震圖包絡(luò)的衰降，而不管波形變化的細(xì)節(jié)。

2.3 數(shù)值模擬或物理模型實(shí)驗(yàn)

最常用的數(shù)值模擬方法是有限差分法、有限元法、邊界元法、譜元法（spectral elements）和晶格玻爾茲曼方法，還有一些建立在單向波基礎(chǔ)上的計(jì)算方法，例如單向（one-way）及單返折（one-return）彈性波廣義屏方法。數(shù)值模擬方法的最大優(yōu)點(diǎn)是適用性強(qiáng)，原則上可以處理任何散射問題。不過考慮到實(shí)際效率，通常利用理論方法對(duì)散射問題進(jìn)行一定的近似，然后進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

物理模型實(shí)驗(yàn)是研究散射問題的另一種有用工具。模型通常由金屬、樹脂或玻璃鋼材料制成。實(shí)驗(yàn)所用的頻率通常為幾十kHz至1MHz的超聲波。使用的P波波長(zhǎng)通常為5～100mm，S波波長(zhǎng)為3～60mm。散射體通常利用在材料上打孔或在材料中摻入其他成分來產(chǎn)生。在應(yīng)用地震學(xué)中，水槽或固體槽的模型實(shí)驗(yàn)也很普遍。

3 地震波散射的各種現(xiàn)象及其觀測(cè)應(yīng)用

3.1 地震尾波的觀測(cè)和應(yīng)用研究

地震波散射在地震圖中產(chǎn)生的最顯著的現(xiàn)象之一就是地震尾波的產(chǎn)生。地震尾波是指出現(xiàn)在主要地震震相（例如P波、S波或面波等）之后不規(guī)則的波列，它就像是這些震相的尾巴。在地震學(xué)的早期，這些尾波常被視為噪聲干擾。地震學(xué)家安藝敬一（K.Aki）最早開始研究尾波及其應(yīng)用，并認(rèn)為尾波是由地球內(nèi)部小尺度不均勻性對(duì)地震波散射而產(chǎn)生?，F(xiàn)在大家都承認(rèn)尾波帶有大量的關(guān)于地球內(nèi)部小尺度不均勻性的信息。提取并研究這些散射波攜帶的信息也成為地震學(xué)的一個(gè)分支，并日益得到重視。對(duì)于震中距為200～300km的地方震，在S波之后的尾波通常被稱為S-尾波（S-coda）。在遠(yuǎn)震P波之后的尾波通常被稱為P-尾波（P-coda）。對(duì)于地方震產(chǎn)生的S波尾波已經(jīng)做過相當(dāng)細(xì)致的研究［4］。

3.2 透射地震數(shù)據(jù)中振幅和相位的起伏

地震波通過介質(zhì)時(shí)，介質(zhì)中的非均勻性使地震波產(chǎn)生衍射和焦散現(xiàn)象。由此會(huì)產(chǎn)生波前的不同參數(shù)（例如，振幅、到時(shí)、入射角等）的起伏變化。地震波到時(shí)和振幅的起伏已經(jīng)在NORSOR、LASA等大型地震臺(tái)陣以及一些區(qū)域地震臺(tái)陣中被廣泛觀測(cè)到了。對(duì)于來自不同震源的數(shù)據(jù)，即使入射方向只相差一個(gè)很小的角度，波前的起伏就會(huì)有很大的差別。另一方面，對(duì)于來自同一方向的地震波，臺(tái)陣中相距很近的臺(tái)站觀測(cè)到的信號(hào)往往有比較大的差別。這些差別中含有關(guān)于地殼、上地幔和巖石層中非均勻性的寶貴信息。在臺(tái)站和震源分布相對(duì)于所要研究的結(jié)構(gòu)有足夠的密度時(shí)，各種層析成像等確定性方法可被應(yīng)用。但對(duì)高頻地震波（高于1Hz），小尺度非均勻性分布廣泛的情況下，隨機(jī)散射的理論可以用來反演地下非均勻體的統(tǒng)計(jì)特性，例如非均勻體的平均尺度，均方根速度擾動(dòng)，非均勻?qū)雍穸龋蚍蔷鶆蝮w的功率譜。這種小尺度非均勻體的統(tǒng)計(jì)參數(shù)可以給地球內(nèi)部的動(dòng)力過程提供有用的信息。

3.3 核幔邊界處的地震波散射

由地幔底部和核幔邊界處小尺度非均勻性產(chǎn)生的散射波在震中距為120°～142°之間以PKIKP和PKP前驅(qū)波的形式出現(xiàn)。這種波為研究地球深部的介質(zhì)特性提供了非常寶貴的信息。散射波通常比較弱，且在近3000 km的傳播過程中受到很大衰減，因此常常需要在地核造成的直達(dá)波影區(qū)中觀測(cè)，或者利用臺(tái)陣技術(shù)通過疊加等方法來提取有效信息。近十幾年來，隨著數(shù)字地震資料的增加，特別是地震臺(tái)陣和高密度流動(dòng)臺(tái)網(wǎng)的應(yīng)用，相干疊加的方法獲得了很大發(fā)展。通過對(duì)PKP散射資料的研究，目前一般認(rèn)為在核幔邊界之上數(shù)百千米的D”層中存在百分之幾的非均勻性，非均勻性的形式比較復(fù)雜。例如，散射波的存在表明其中有小尺度（10～30km）的散射體。而散射能量的空間分布揭示出存在尺度為1 000km以上的區(qū)域性變化。某些區(qū)域性特征與地球的大尺度過程存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這些觀測(cè)結(jié)果為研究若干地球動(dòng)力學(xué)問題，例如熱柱起源、殘余板塊的下沉深度、下地幔介質(zhì)物理性質(zhì)與化學(xué)成分的不均勻性、以及地核與地幔的耦合等提供了約束條件。類似地，也可以利用對(duì)PKKP波的散射來研究地核中的不均勻性［5］。

3.4 裂隙產(chǎn)生的散射及由此產(chǎn)生的各向異性

當(dāng)散射介質(zhì)中存在大量微小的隨機(jī)散射體的時(shí)候，如果單一散射體的尺度遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)，則個(gè)別散射體對(duì)于波傳播的影響并不重要。人們更感興趣的是大量散射體作為整體對(duì)波傳播的影響。在這種情況下，利用隨機(jī)方法研究散射問題更為合適。如果非均勻體在介質(zhì)中的分布是大致均勻的，則可以將這種介質(zhì)處理為具有某些等效介質(zhì)參數(shù)（例如等效速度、等效衰減、等效頻散和等效反射率等）的“準(zhǔn)均勻”介質(zhì)（見圖2）。如果單一散射體（例如裂隙）是各向異性的，且眾多散射體在介質(zhì)中的排列具有某種優(yōu)勢(shì)取向，作為整體，介質(zhì)可能表現(xiàn)出某種宏觀各向異性。在世界上的許多地區(qū)已經(jīng)觀察到由這種宏觀各向異性所造成的S波分裂等現(xiàn)象。

3.5 多次散射（multiple scattering）和干涉測(cè)量（interferometry）

在尾波研究中，由于眾多的小尺度非均勻體以及雜亂和多次散射，使得尾波的相位信息很難被利用。因此，傳統(tǒng)的尾波觀測(cè)和理論只研究其包絡(luò)和能量關(guān)系。但近年來由于干涉測(cè)量技術(shù)（例如在高空和衛(wèi)星干涉測(cè)量?jī)x中）的發(fā)展，使得在尾波相位信息的利用上也取得了很大發(fā)展。

在復(fù)雜的高頻地震圖中（在天然地震中一般指高于1Hz的地震圖；勘探地震中信號(hào)頻率可以從幾分之一到幾十或幾百赫茲，都應(yīng)屬于高頻地震），從概念上講可以把波（或事件）分為初次波（primary wave）（包括一次穿透、反射波或一次散射波）及多次波（多次反射或散射波）。在傳統(tǒng)的地震圖分析及物性成像研究中，反演數(shù)據(jù)多集中在利用初次波上，往往把多次波當(dāng)成噪聲干擾。在利用了干涉測(cè)量（interferometry）后，這種多次波就成了有用的信息。如果把初次波以外的成分都視為尾波，則這種多次波干涉測(cè)量的方法也可稱為尾波干涉測(cè)量法。這種技術(shù)主要是利用疊加求相關(guān)函數(shù)的方法，即測(cè)量不同時(shí)移（time-shift）或空移（空間位置變化）的相關(guān)系數(shù)，以求把相干事件的時(shí)差（或相位）測(cè)量得更精確。

（作者電子信箱，謝小碧：xxie＠ucsc.edu；許忠淮：xuzh＠cea-igp.ac.cn）

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